《空间几何体的表面积和体积》要点精析

空间几何体的表面积和体积空间几何体的表面积和体积 知识要点精析知识要点精析 一 学习目标 根据新的课程理念的要求 要 用教材教 而不能一味地 教教材 那么 对于 立体几何初步 这一章的第 3 节 空间几何体的表面积和体积 来说 在学习的过程中 怎样准确地把握教与学的尺度呢 本章内容是义务教育阶段 空间与图形 课程的延续与 发展 重点是帮助学生逐步形成空间想象能力 为了符合学生的认知规律 培养学生对几 何学习的兴趣 增进学生对几何本质的理解 本章在内容的选编及内容的呈现方式上 与 以往相比有较大的变化 首先 通过观察和操作 使学生了解空间简单几何体 柱 锥 台 球 的结构特征 以此作为发展空间想象能力的基本模型 然后 通过归纳和分析 使学生进一步认识和理解空间的点 线 面之间的位置关系 作为思维辨证的基础 由于 几何图形的面积和体积的计算需要应用垂直的概念 因而这一部分内容放入本章最后一节 本章内容的设计遵循从整体到局部 从具体到抽象的原则 强调借助实物模型 通过整体 观察 直观感知 操作确认 思辨论证 度量计算 引导学生多角度 多层次地揭示空间 图形的本质 重视合情推理和逻辑推理的结合 注意适度形式化 倡导学生积极主动 勇 于探索的学习方式 帮助学生完善思维结构 发展空间想象能力 二 知识点拨 空间几何体的表面积和体积 这一节 新教材没有像以往那样重在介绍公式的推导 过程 而是侧重介绍了公式推导的思想方法 采用了 阅读 的形式介绍了祖恒原理 让 学生体会祖恒原理和积分思想 为了增强学生的数学应用意识 教材还通过 问题与建模 栏目介绍了两种体积计算的近似方法 既有利于提高学生的建模能力 又为学生解决生产 实践中的实际问题提供了知识基础和基本思想 教材内容突出直观感知 操作确认 思辨论证 度量计算等探索 研究空间几何图形 的过程 涉及的数学思想主要有数形结合思想 符号化与形式化思想 化归思想等 涉及 的一般科学方法主要有观察 实验 归纳 类比 分析 综合 抽象等 本节内容涉及到以下一些面积与体积公式 chS 正棱柱侧 hcS 2 1 正棱锥侧 hccS 2 1 正棱台侧 rlclS 2 圆柱侧 rlclS 2 1 圆锥侧 lrrlccS 2 1 圆台侧 ShV 柱体 ShV 3 1 锥体 3 1 SSSShV 台体 3 3 4 RV 球体 2 4 RS 球面 虽然以上公式较多 但对于大多数公式学生并不感到陌生 教学中只需要让学生初步 了解公式推导的方法 体会祖恒原理和积分思想 另外 对展图方法与割补法 也要在解 题的过程中加以渗透 课本中例 2 介绍了把圆柱沿母线展开 将问题转化为平面几何问题 的思路 对于课本的例 1 应重点分析六角螺帽毛坯的结构特征 正六棱柱挖去一个圆柱 渗透 割 与 补 的思想和方法 三 典例精析 除了课本中给出的典型例题外 还可适当补充一些经典的事例 帮助学生更好地认识 立体几何 学习好立体几何 例例 1 正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1 P 是面对角线 BC 上一动点 Q 是底面 图 3 O A B C D A B S C M N ABVF 上一动点 则 D1P PQ 的最小值等于 分析分析 如图 2 由题意可知 D1P PQ 取最小值时 点 Q 一定是 P 在底面上的射影 因为 D1P 与 PQ 分别在两个平面内 所以把 BC1C 沿 BC1翻转 90 使 BC1C 与对角面 ABC1D1在同一平面内 因为 PQ BC 所以当 D1 P Q 三点共线且与 BC 垂直时 D1P PQ 最小 即为 D1Q1 2 2 1 点评点评 利用 展图法 成功地将立体几何问题化归成了平面几何问题 从而使问题得 到了很好的解决 例例 2 如图 3 圆台上底半径为 1 下底半径为 4 母线 AB 18 从 AB 中点 M 拉一条绳子绕圆台侧面转到 A 点 1 求绳子的最短长度 2 求绳子最短时 上底圆周上的点到绳子的最短距离 分析分析 1 要求绳子 AM 绕圆台一周的最短长度 则可沿 AB 将圆台的曲面展开 得 扇环面 即将曲面问题转化为平面问题 然后求出扇环面上 AM 间的距离 AM 即绳子的最短长度为 21 2160cos241522415 22 2 要研究此时上底圆周上的点到绳子的最短距离 则需将扇环补充成扇形 这样将 BB 上的点到 AM 的最短距离问题转化为点 S 到 AM 的最短距离 因为点 S 到 BB 上的点 的距离等于半径 SB 故只需求出 S 到 AM 的距离 SQ 再减去半径 SP 即可 即上底圆周 上的点到绳子最短距离 PQ SQ SP SQ SB 6 7 360 点评点评 此题用到将圆台 补成 圆锥再展开进行研究 这种割 补 拼凑的思想 是 重要的数学思维方法 例例 3 一个球与正四面体的六条棱都相切 若正四面体的 棱长为 a 则这个球的体积是 分析分析 将正四面体 ABCD 嵌入 到正方体中 使正四 面体的六条棱分别是正方体六个面的面对角线 如图 4 则 球 O 与正四面体的六条棱都相切等价于球 O 与正方体的六个 面都相切 易知正方体棱长为 所以球半径为 故 a 2 2 a 4 2 图 4 球的体积为 3 6 33 3 4 aR 例例 4 如图 5 在正三棱锥 S ABC 中 M N 分别为棱SC 图 2 图 1 BC 的中点 并且 MN AM 若侧棱长 SA 则正三棱32 锥 S ABC 的外接球的表面积为 A B 12 36 C 32 D 48 分析 分析 由条件中的 MN AM 可以推得 图 5AMSB 又由正三棱锥 S ABC 中对棱互相垂直 得 所以 SB 平面 SAC 从而该正三ACSB 棱锥的三个顶角都是直角 将该三棱锥补成正方体 使 S 成为正方体的一个顶点 则正三 棱锥 S ABC 的外接球也即是正方体的