一元二次方程的解法例析

一元二次方程的解法 学案 要点综述要点综述 一元二次方程和一元一次方程都是整式方程 它是初中数学的一个 重点内容 也是学生今后学习数学的基础 一元一次方程与一元一次方程区别 根据定义可知 只含有一个未知数 且未知数的最高次数是 2 的 整式方程叫做一元二次方程 一般式为 一元二次方程有三个特点 1 只含有一个未知数 2 未知数的最高次数是 2 3 是整式方程 因此判断一个方程是否为一元二次方程 要先看它是否为整式方 程 若是 再对它进行整理 如能整理为的形式 那么这个方程就是一元二次方程 一元二次方程的解法 解一元二次方程的基本思想方法是通过 降次 将它化为两个 一元一次方程 一元二次方程的基本解法有四种 1 直接开平方法 2 配方法 3 公式法 4 因式分解法 如下表 方法适合方程类型注意事项 直接开平方法 0 时有解 0 时无解 配方法二次项系数若不为 1 必须先把系数化为 1 再进行配方 公式法 0 时 方程有解 0 时 方程无解 先化为一般 形式再用公式 因式分解法方程的一边为 0 另一边 分解成两个一次因式的积 方程的一边必须是 0 另一边可用任何方 法分解因式 举例解析举例解析 例例 1 已知 解关于的方程 例例 2 用开平方法解下面的一元二次方程 1 2 3 4 说明说明 解一元二次方程时 通常先把方程化为一般式 但如果不要求化为一般式 像本题要求用开平方法直接求解 就不必化成一般式 用开平方法直接求解 应注意 方程两边同时开方时 只需在一边取正负号 还应注意不要丢解 例例 3 用配方法解下列一元二次方程 1 2 说明 说明 配方是一种基本的变形 解题中虽不常用 但作为一种基本方法要熟练掌握 配方时应按下面的步骤进行 先把二次项系数化为 1 并把常数项移到一边 再在方 程两边同时加上一次项系数一半的平方 最后变为完全平方式利用直接开平方法即可完成 解题任务 例例 4 用公式法解下列方程 1 2 说明 说明 公式法可以用于解任何一元二次方程 在找不到简单方法时 即考虑化为一般 形式后使用公式法 但在应用时要先明确公式中字母在题中所表示的量 再求出判别式的 值 解得的根要进行化简 例例 5 用分解因式法解下列方程 1 2 说明 说明 使用分解因式法时 方程的一边一定要化为 0 这样才能达到降次的目的 把方程一边化为 0 把另一边分解因式的方法可以用于解今后遇到的各类方程 因为 这是把方程降次的重要手段之一 从上述例题来看 解一元二次方程的基本思路是向一元 一次方程转化 转化的方法主要为开平方法和使方程一边为 0 把方程另一边分解因式 配方 或利用求根公式法 另外 在解一元二次方程时 要先观察方程是否可以应用开平 方 分解因式等简单方法 找不到简单方法时 即考虑化为一般形式后使用公式法 例例 6 选用恰当的方法解下列方程 1 2 3 4 总结 总结 直接开平方法是最基本的方法 公式法和配方法是最重要的方法 公式法适用 于任何一元二次方程 在使用公式法时 一定要把原方程化成一般形式 以便确定系数 而且在使用公式前应先计算出判别式的值 以便判断方程是否有解 配方法是推导公式的 工具 掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了 所以一般不用配方法解一元 二次方程 但是 配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用 是初中要求掌握的重要的 数学方法之一 最常用的方法还是因式分解法 在应用因式分解法时 一般要先将方程写 成一般式 同时应使二次项系数化为正数 因此在解一元二次方程时 首先观察是否可以 应用开平方 分解因式等简单方法 找不到简单方法时 即考虑化为一般形式后使用公式 法 通常先把方程化为一般式 但如果不化为一般式就可以找到简便解法时就应直接求解 附训练典题附训练典题 1 用直接开平方法解下列方程 1 2 3 4 2 用配方法解下