2017-2018年北京市第十五高三(理科)数学期中试卷及答案

第 1 页 共 9 页 北京十五中高三数学理科期中考试试卷北京十五中高三数学理科期中考试试卷 2017 112017 11 考生注意 考生注意 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 全卷满分 150 分 考试时间为 120 分钟 请将第 卷的答案填涂在机读卡上 第 卷的答案作答在答题纸 上 第第 卷卷 选择题 共 选择题 共 6060 分 分 一 选择题 一 选择题 本大题共 12 个小题 每小题 5 分 共 60 分 把答案填涂在机读卡上 1 设集合 A x x 2 B x x2 1 则 A B 1 2 A x 1 x 2 B x x 1 C x x 2 D x 1 x 2 1 2 2 复数的虚部为 1 i 1 2i A B C D 1 5 3 5 1 5 3 5 3 函数 f x 的定义域是 2x 1 2x2 x 1 A B 1 2 x x 1 2 x x C D 1 1 2 x xx 且 1 1 2 x xx 且 4 在平面直角坐标系中 已知 则的值为xoy 0 0 O 0 1 A 1 3 BOA AB uur uu u r A 1 B 31 C 3D 31 5 已知数列的前项和 则 n an 1 22n n S 3 a A 1 B 2 C 4 D 8 6 的值为 sin15cos15 A 1 2 B 6 4 C 6 2 D 3 2 2 7 是 函数在内存在零点 的 0t 2 f xxtxt A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件 C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 8 一张报纸 其厚度为 a 现将报纸对折 即沿对边中点连线折叠 7 次 这时 报纸的厚 度为 A 8a B 64a C 128a D 256a 第 2 页 共 9 页 9 直线 y 4x 与曲线 y x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为 A 2 B 4 22 C 2 D 4 10 若 a b 均为大于 1 的正数 且 ab 100 则 lg a lg b 的最大值是 A 0 B 1 C 2 D 5 2 12 某地某年第一季度应聘和招聘人数排行榜前 5 个行业的情况列表如下 若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况 则根据表 中数据 就业形势一定是 A 计算机行业好于化工行业 B 建筑行业好于物流行业 C 机械行业最紧张 D 营销行业比贸易行业紧张 第第 卷卷 非选择题 共 非选择题 共 2525 分 分 二 填空题 二 填空题 本大题共 5 个小题 每小题 5 分 共 25 分 把答案作答在答题纸上 13 等差数列 an 中 若 a2 a8 2 则 a5 14 已知函数 f x 则 f f 3 x2 x 0 log3x x 0 15 函数的单调递增区间是 sin 2 4 f xx 11 某三棱锥的正视图如图所示 则这个三 棱锥的俯视图不可能是 正视图 A B C D 行业名称计算机机械营销物流贸易 应聘人数7457065280 行业名称计算机营销机械建筑化工 招聘人数891157651670436 第 3 页 共 9 页 A B C C1 A1 B1 M 16 设ykxz 其中实数yx 满足 042 042 02 yx yx yx 若z的最大值为 12 则实数 k 17 已知 95 个数 a1 a2 a3 a95 则 a1a2 a1a3 a94a95的 1 1 195 i ai 最小正值是 三 解答题 三 解答题 本大题共 5 个小题 共 65 分 18 本小题满分 13 分 已知函数 2 sin 2 sin 2 2cos1 33 f xxxx xR 求函数 f x的最小正周期 求函数 f x在区间 4 4 上的最大值和最小值 19 本小题满分 13 分 已知 中 内角 的对边分别为 ABCABCabc 52 b 4 B 5 52 cos C 求的值 c 求的面积 ABC 20 本小题满分 13 分 如 图 在三棱柱中 侧棱底面 为 111 CBAABC 1 AA ABCM 棱中点 ACABBC 2AC 1 2AA 求证 平面 1 BC 1 ABM 求证 平面 1 AC 1 ABM 在棱的上是否存在点 使得平面 平面 如果存在 1 BBN 1 AC NCCAA 11 第 4 页 共 9 页 求此时的值 如果不存在 说明理由 1 BN BB 21 本题满分 13 分 设是在点处的切线 yf x x g xe 0 1 求的解析式 yf x 求证 f xg x 设 其中 若对恒成 ln h xg xf xax a R 1h x 0 x 立 求的取值范围 a 22 本小题满分 13 分 对于数集 其中 定义向量集 1 21n xxxX n xxx 21 02 n 若对于任意 存在 使得 则称 XtXstsaaY Ya 1 Ya 2 0 21 aa X具有性质 P 例如具有性质 P 2 1 1 X 若 x 2 且具有性质 P 求 x 的值 2 1 1 x 若 X 具有性质 P 求证 1 X 且当 xn 1 时 x1 1 若 X 具有性质 P 且 x1 1 x2 q q 为常数 求有穷数列的通项 n xxx 21 公式 第 5 页 共 9 页 北京十五中高三年级 数学理科试卷答案北京十五中高三年级 数学理科试卷答案 2017 112017 11 一 选择题一 选择题 题号 12345678 答案AA D B DC AC 题号91011 12 答案DBC B 二 填空题二 填空题 1313 1 1414 2 1515 1616 2 1717 13 3 88 kkkZ 三 解答题三 解答题 1818 解 sin2 coscos2 sinsin2 coscos2 sincos2 3333 f xxxxxx sin2cos22sin 2 4 xxx f x的最小正周期 2 2 T 6 分 由 得 44 x 3 2 444 x 所以 2 sin 2 1 24 x 12sin 2 2 4 x 函数 f x在区间 4 4 上的最大值为2 最小值为1 13 分 1919 本小题满分 13 分 解 在中 且 所以 ABC C0 5 52 cos C 5 5 sin C 因为 且 B b C c sinsin 52 b 4 B 第 6 页 共 9 页 所以 22 2 2 5 5 52 sin sin B Cb c 所以 6 分2 2c 因为 Baccabcos2 222 所以 0124 2 aa 所以或 舍 6 a2 a 所以 13 分6sin 2 1 BacS ABC 2020 解 连结交于 连结 1 AB 1 ABOOM 在中 因为 分别为 中点 1 B AC MOAC 1 AB 所以 OM 1 BC 又因为平面 平面 OM 1 ABM 1 BC 1 ABM 所以 平面 3 分 1 BC 1 ABM 因为侧棱底面 平面 1 AA ABCBM ABC 所以 1 AABM 又因为为棱中点 所以 MACABBC BMAC 因为 所以平面 1 AAACA BM 11 ACC A 所以 1 BMAC 因为为棱中点 所以 MAC2AC 1AM 又因为 所以在和中 1 2AA 1 Rt ACC 1 Rt A AM 11 tantan2AC CAMA 所以 即 11 AC CAMA 1111 90AC CC ACAMAC AC 所以 11 AMAC O M B1 A1 C1 C B A 第 7 页 共 9 页 因为 1 BMAMM 所以平面 8 分 1 AC 1 ABM 当点为中点时 即 平面平面 N 1 BB 1 1 2 BN BB 1 AC N 11 AAC C 设中点为 连结 1 ACDDMDN 因为 分别为 中点 DM 1 ACAC 所以 且 DM 1 CC 1 1 2 DMCC 又因为为中点 N 1 BB 所以 且 DMBNDMBN 所以 BMDN 因为平面 BM 11 ACC A 所以平面 DN 11 ACC A 又因为平面 所以平面平面 13 分DN 1 AC N 1 AC N 11 ACC A 2121 解 设 则 所以 exg x exg x 0 1g 所以 3 分 1f xx 令 m xg xf x 满足 且 m x 0 0m 1e1 x m xg x 当时 故单调递减 0 x 0m x m x 当时 故单调递增 0 x 0m x m x 所以 0 0m xm x R 所以 8 分 f xg x 的定义域是 且 h x 1 x x 1 e 1 x h xa x M B1 A1 C1 C B A D N 第 8 页 共 9 页 当时 由 得 2a e1 x x 所以 11 e120 11 x h xaxaa xx 所以 在区间上单调递增 h x 0 所以 恒成立 符合题意 0 1h xh 当时 由 2a 0 x 且的导数 h x 2 22 1 1 e1 e0 1 1 x x x hx xx 所以 在区间上单调递增 10 分 h x 0 因为 0 20ha 1 ln 0 1 ln ha a 于是存在 使得 12 分 0 0 x 0 0h x 所以 在区间上单调递减 在区间上单调递增 h x 0 0 x 0 x 所以 此时不会恒成立 不符合题意 0 0 1h xh 1h x 综上 的取值范围是 13 分a 2 2222 解 1 选取 Y 中与垂直的元素必有形式 2 1 xa 1 a 1 b 所以 x 2b 从而 x 4 3 分 2 证明 取 设满足 Yxxa 111 Ytsa 2 0 21 aa 由得 所以 异号 0 1 xts0 tsst 因为 1 是 X 中唯一的负数 所以 中之一为 1 另一为 1 st 故 1 X 假设 其中 则 1 k xnk 1 n xx 10 1 选取 并设满足 即 Yxxa n 11 Ytsa 2 0 21 aa0 1 n txsx 则 异号 从而 之中恰有一个为 1 stst 若 1 则 矛盾 s 11 xttxx n 若 1 则 矛盾 t nn xssxx 1 所以 x1 1 8 分 3 解法一 猜测 i 1 2 n 1 i i qx 记 k 2 3 n 1 1 2kk xxA 先证明 若具有性质 P P 则也具有性质 P P 1 k A k A 任取 当 中出现 1 时 显然有满足 1 tsa st k Ast 2 a0 21 aa 当且时 1 1 s1 tst 第 9 页 共 9 页 因为具有性质 P P 所以有 使得 1 k A 112 tsa 1 s 1 t 1 k A0 21 aa 从而和中有一个是 1 不妨设 1 1 s 1 t 1 s 假设 且 则 由 得 与 1 t 1 k A 1 t k A 11 k xt0 1 1 k xts 11 kk xtxs 矛盾 所以 从而也具有性质 P P s k A 1 t k A k A 现用数学归纳法证明 i 1 2 n 1 i i qx 当 n 2 时 结论显然成立 假设 n k 时 有性质 P P 则 i 1 2 k 1 1 2kk xxA 1 i i qx 当 n k 1 时 若有性质 P P 则 1 1 121 kkk xxxA 1 1 2kk xxA 也有性质 P P 所以 1 1 1 1 1 k k k xqqA 取 并设满足 即 由此可得 s 11 qxa k 2 tsa 0 21 aa0 1 qtsxk 与 t 中有且只有一个为 1 若 则 所以 这不可能 1 t1 sqx s q k 1 所以 又 所以 1 s kk k qqqqtx 1 1 1 1 k k qx k k qx 1 综上所述 i 1 2 n 13 分 1 i i qx 1 i i qx 解法二 设 则等价于 111 tsa 222 tsa 0 21 aa 2 2 1 1 s t t s 记 则数集 X 具有性质 P P 当且仅当数集 B 关于 tsXtXsB t s 原点对称 注意到 1 是 X 中的唯一负数 共有 n 1 个数