高中数学：合情推理与演绎推理.ppt

1 推理的概念根据一个或几个已知事实 或假设 得出一个判断 这种叫做推理 从结构上说 推理一般由两部分组成 一部分是已知事实 或假设 叫做 一部分是由已知推出的判断 叫做推理一般分为和两类 思维方式 前提 结论 合情推理 演绎推理 2 合情推理根据已有的事实 经过 再进行 然后提出的推理 称为合情推理 具体分为两类 1 归纳推理 由某类事物的部分对象具有某些特征 推出该类事物的都具有这些特征的推理 或者由个别事实概括出的推理 称为归纳推理 简称归纳 简言之 归纳推理是的推理 观察 分析 比较 联想 归纳 类比 猜想 全部对象 一般结论 由部分到整体 由个别到一般 2 类比推理 由两类对象具有某些和其中一类对象的某些已知特征 推出也具有这些特征的推理 称为类比推理 简称类比 简言之 类比推理是的推理 对一般的数学问题进行推理的过程可以概括为 类似特征 另一类对象 由特殊到特殊 3 演绎推理 1 从一般性的原理出发 推出某个特殊情况下的结论的推理称为演绎推理 又称逻辑推理 简言之 演绎推理是的推理 2 三段论推理 在推理中 若b c 而a b 则a c 这种推理规则叫三段论推理 是演绎推理的一般模式 包括 大前提 已知的一般原理 小前提 所研究的特殊情况 结论 根据一般原理 对特殊情况做出的判断 由一般到特殊 三段论 3 用集合知识说明 三段论 若集合M的都具有性质P S是M的一个子集 那么S中 4 合情推理与演绎推理的关系从上看 归纳是由部分到整体 个别到一般的推理 类比是由特殊到特殊的推理 而演绎推理是由一般到特殊的推理 所有元素 所有元素也都具有性质P 推理形式 金手指考试网元贝驾考网科目一科目四仿真考试题C1 Grammar 从来看 合情推理的结论不一定正确 有待进一步证明 演绎推理在大前提 小前提和推理形式都正确的前提下 得到的结论一定正确 演绎推理是证明数学结论 建立数学体系的重要思维过程 但数学结论 证明思路等的发现 主要靠 推理所得的结论 合情推理 1 2010 陕西 12 观察下列等式 13 23 32 13 23 33 62 13 23 33 43 102 根据上述规律 第五个等式为 解析 由13 23 1 2 2 32 13 23 33 1 2 3 2 62 13 23 33 43 1 2 3 4 2 102 13 23 33 43 53 1 2 3 4 5 2 152 则第五个式子为13 23 33 43 53 63 1 2 3 4 5 6 2 212 答案 13 23 33 43 53 63 212 2 2009 江苏卷 在平面上 若两个正三角形的边长的比为1 2 则它们的面积比为1 4 类似地 在空间内 若两个正四面体的棱长的比为1 2 则它们的体积比为 解析 考查类比的方法 体积比为1 8 答案 1 8 答案 ab 分析 先计算f 0 f 1 f 1 f 2 f 2 f 3 的值 通过这些结论发现其规律 再猜想并证明 点评与警示 1 要善于从特殊的个例中 发现其中具有的一般性规律 如本题中 除了通过计算 发现f 0 f 1 f 1 f 2 f 2 f 3 为定值外 还要发现这三对函数值中自变量之和均为1 并且在证明的过程中 可推出与3是无关的 可推广到a亦成立 2 归纳推理分为完全归纳和不完全归纳 由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的 但它由特殊到一般 由具体到抽象的认识功能 对科学的发现是十分有用的 观察 实验 对有限的资料作归纳整理 提出带有规律性的说法 乃是科学研究最基本的方法之一 3 用归纳推理得到的结论 虽然无需证明 但一定要保证所得命题为真 2007 广东卷理 如果一个凸多面体是n棱锥 那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有 条 这些直线中共有f n 对异面直线 则f 4 f n 答案用数字或n的解析式表示 分析 首先 从两点可确定一条直线得共有Cn 12条直线 其次 两条异面直线是指既不平行 也不相交 点评与警示 本题注意到n棱锥共有n 1个顶点 其次将组成一对异面直线的两条直线分为三类 都是侧棱 都是底面内的直线 一条是侧棱另一条是底面内的直线 这里渗透了归纳推理 分类讨论的思想方法 设平面内有n条直线 n 3 其中有且仅有两条直线互相平行 任意三条直线不过同一点 若用f n 表示这n条直线交点的个数 则f 4 当n 4时 f n 用n表示 解析 解法一 f 2 0 f 3 2 f 4 5 f 5 9 f 3 f 2 2 f 4 f 3 3 f 5 f 4 4 f n f n 1 n 1 分析 考虑到平面中的图形是直角三角形 所以我们在空间选取有3个侧面两两垂直的四面体P A B C 且这三个面分别与底面A B C 所成的二面角是 解 如图 在Rt ABC中 c2 a2 b2 点评与警示 这是一个典型的从平面到空间的类比推理 把平面几何的问题类比立体几何问题 常常有如下规律 将平面中的点类比为空间中的线 将平面中的线类比为空间中的面 将平面中的平面区域类比为空间中的空间区域 将平面中的面积类比成空间中的体积 在平面几何里 有勾股定理 设 ABC的两边AB AC互相垂直 则AB2 AC2 BC2 拓展到空间 类比平面几何的勾股定理 研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系 可以得出的正确结论是 如图 已知空间四边形ABCD中 点E F分别是AB AD的中点 求证 EF 平面BCD 证明 点E F分别是AB AD的中点 EF BD 又EF 平面BCD BD 平面BCD EF 平面BCD 点评与警示 数学的证明主要是通过演绎推理来进行的 一个