圆的内接四边形

圆的内接四边形圆的内接四边形 一 教学案例实录一 教学案例实录 教学过程教学过程 1 1 概念学习概念学习 什么叫圆的内接四边形什么叫圆的内接四边形 如图如图 1 1 说明四边形说明四边形 ABCDABCD 与与 O O 的关系 的关系 2 2 探讨性质探讨性质 前面我们已经学习了一类特殊四边形前面我们已经学习了一类特殊四边形 平行四边形平行四边形 矩形矩形 菱形菱形 正方形正方形 等腰梯形的性质等腰梯形的性质 那么要探讨圆内接四边形的性质那么要探讨圆内接四边形的性质 一般要从哪几个方面入手一般要从哪几个方面入手 打开打开 几何画板几何画板 让学生动手任意画让学生动手任意画 O O 和和 O O 的内接四边形的内接四边形 ABCDABCD 教师适当指导教师适当指导 量出可量出可试题试题的所有值的所有值 圆的半径和四边形的边圆的半径和四边形的边 内角内角 对角线对角线 周长周长 面积面积 并观察这些量之并观察这些量之 间的关系 间的关系 改变圆的半径大小改变圆的半径大小 这些量有无变化这些量有无变化 由由 3 3 观察得出的某些关系有无变化观察得出的某些关系有无变化 移动四边形的一个顶点移动四边形的一个顶点 这些量有无变化这些量有无变化 由由 3 3 观察得出的某些关系有无变化观察得出的某些关系有无变化 移动四边形的移动四边形的 四个顶点呢四个顶点呢 移动三个顶点呢移动三个顶点呢 如何用命题的形式表述刚才的实验得出来的结论呢如何用命题的形式表述刚才的实验得出来的结论呢 让学生回答让学生回答 3 3 性质的证明及巩固练习性质的证明及巩固练习 证明猜想证明猜想 已知已知 如图如图 1 1 四边形四边形 ABCDABCD 内接于内接于 O O 求证 求证 BAD BCD 180 ABC ADC 180 BAD BCD 180 ABC ADC 180 完善性质完善性质 若将线段若将线段 BCBC 延长到延长到 E E 如图如图 2 2 那么那么 DCE DCE 与与 BAD BAD 又有什么关系呢又有什么关系呢 圆的内接四边形的性质定理圆的内接四边形的性质定理 圆内接四边形的对角互补圆内接四边形的对角互补 并且任何一个外角都等于它的内对角 并且任何一个外角都等于它的内对角 练习练习 已知已知 在圆内接四边形在圆内接四边形 ABCDABCD 中中 已知已知 A 50 D B 40 A 50 D B 40 求求 B C D B C D 的度数 的度数 已知已知 如图如图 3 3 以等腰以等腰 ABC ABC 的底边的底边 BCBC 为直径的为直径的 O O 分别交两腰分别交两腰 AB ACAB AC 于点于点 E D E D 连结连结 DE DE 求证求证 DE BC DE BC 演示作业本演示作业本 4 4 例题讲解例题讲解 引例已知引例已知 如图如图 4 AD4 AD 是是 ABC ABC 中中 BAC BAC 的平分线的平分线 它与它与 ABC ABC 的外接圆交于点的外接圆交于点 D D 求证求证 DB DC DB DC 引例由学生证明并板演引例由学生证明并板演 教师先评价学生的板演情况教师先评价学生的板演情况 然后提出然后提出 若将已知中的若将已知中的 ADAD 是是 ABC ABC 中的中的 BAC BAC 的平分线的平分线 改为改为 ADAD 是是 ABC ABC 的外角的外角 EAC EAC 的平分线的平分线 又该如何证明又该如何证明 引出例题 引出例题 例已知例已知 如图如图 5 AD5 AD 是是 ABC ABC 的外角的外角 EAC EAC 的平分线的平分线 与与 ABC ABC 的外接圆交于点的外接圆交于点 D D 求证求证 DB DC DB DC 5 5 小结小结 为了使学生对所学的内容有一个完整而深刻的印象为了使学生对所学的内容有一个完整而深刻的印象 让学生组成小组让学生组成小组 从概念从概念 性质性质 方方 法法 特殊性进行讨论特殊性进行讨论 然后对讨论的结果进行归纳 然后对讨论的结果进行归纳 本节课我们学习了圆内接四边形的概念和圆内接四边形的和要性质本节课我们学习了圆内接四边形的概念和圆内接四边形的和要性质 要求同学们理解圆内接四边形和要求同学们理解圆内接四边形和 四边形的外接圆的概念四边形的外接圆的概念 理解圆内接四边形的性质定理理解圆内接四边形的性质定理 并初步应用性质定理进行有关命题的证明和计并初步应用性质定理进行有关命题的证明和计 算 算 我们结合我们结合 几何画板几何画板 的使用导出了圆内接四边形的性质的使用导出了圆内接四边形的性质 在这一过程中用到了许多数学方法在这一过程中用到了许多数学方法 实实 验验 观察观察 类比类比 分析分析 归纳归纳 猜想等猜想等 同学们要逐步学会用并关于应用这些方法去探讨有关的同学们要逐步学会用并关于应用这些方法去探讨有关的 数学问题数学问题 提高我们的数学实践能力与创新能力 提高我们的数学实践能力与创新能力 6 6 作业作业 如图如图 6 6 在等腰直角在等腰直角 ABC ABC 中中 C 90 C 90 以以 ACAC 为弦的为弦的 O O 分别交分别交 BC ABBC AB 于于 D E D E 连结连结 DEDE 求 求 证证 BDE BDE 是等腰直角三角形 是等腰直角三角形 已知已知 O O 和和 O O 相交于 相交于 A BA B 两点两点 经过经过 A BA B 两点分别作直线两点分别作直线 CDCD 和和 EF CDEF CD 交交 O O O O 于 于 C D EFC D EF 交交 O O O O 于 于 E F E F 连结连结 CE AB DFCE AB DF 问问 当当 CDCD 和和 EFEF 满足怎样的条件时满足怎样的条件时 四边形四边形 CEDFCEDF 是怎样的特殊四边形是怎样的特殊四边形 并证明所得的结论 并证明所得的结论 选选 做做 二 对教学案例的分析二 对教学案例的分析 这一教学案例当然不能被看作是培养学生创新意识的初中数学课堂教学的范例这一教学案例当然不能被看作是培养学生创新意识的初中数学课堂教学的范例 其中许多环节还需要进其中许多环节还需要进 一步改进完善 但其较为真实地反映了目前数学课堂教学的一些情况一步改进完善 但其较为真实地反映了目前数学课堂教学的一些情况 一些教学环节的处理还是值得肯一些教学环节的处理还是值得肯 定的 定的 1 1 突出了数学课堂教学中的探索性突出了数学课堂教学中的探索性 关于圆的内接四边形性质的引出关于圆的内接四边形性质的引出 在本教学案例上没有像教材那样直接给出定理在本教学案例上没有像教材那样直接给出定理 然后证明然后证明 而是利而是利 用用 几何画板几何画板 采取了让学生动手画一画采取了让学生动手画一画 量一量的方式量一量的方式 使学生通过对直观图形的观察归纳和猜想使学生通过对直观图形的观察归纳和猜想 自己去发现结论自己去发现结论 并用命题的形式表述结论 关于圆内接四边形性质的证明并用命题的形式表述结论 关于圆内接四边形性质的证明 没有采用教师给学生演示没有采用教师给学生演示 定理证明定理证明 而是引导学生证明猜想而是引导学生证明猜想 并做了进一步的完善 这种探索性的数学教学方式在其后的例题讲并做了进一步的完善 这种探索性的数学教学方式在其后的例题讲 解中亦得到了进一步的贯彻 这样既调动了学生学习数学的积极性和主动性解中亦得到了进一步的贯彻 这样既调动了学生学习数学的积极性和主动性 增强了学生参与数学活动增强了学生参与数学活动 的意识的意识 又培养了学生的动手实践能力 同时又培养了学生的动手实践能力 同时 也向学生渗透了实践也向学生渗透了实践 认识认识 再实践再实践 再再 认识的辩证观点 一方面认识的辩证观点 一方面 使数学不再是一门单调枯燥使数学不再是一门单调枯燥 缺乏直观印象的高度抽象的学科缺乏直观印象的高度抽象的学科 通过提供通过提供 生动活泼的直观演示生动活泼的直观演示 让学生多角度让学生多角度 快节奏地去认识教学内容快节奏地去认识教学内容 达到事半功倍的教学效果达到事半功倍的教学效果 另一方另一方 面面 计算机所特有的计算机所特有的 对数学活动过程的展示对数学活动过程的展示 对数学细节问题的处理可以使学生体验到用运动的观对数学细节问题的处理可以使学生体验到用运动的观 点来研究图形的思想点来研究图形的思想 让学生充分感受到发现总是代和解决问题带来的愉悦让学生充分感受到发现总是代和解决问题带来的愉悦 培养学生的数学创新意识 培养学生的数学创新意识 2 2 引进了计算机引进了计算机 几何画板几何画板 技术技术 本课例在引导学生得出圆内接四边形的性质时本课例在引导学生得出圆内接四边形的性质时 通过使用通过使用 几何画板几何画板 从而实现了改变圆的半径从而实现了改变圆的半径 移动四边形的顶点等移动四边形的顶点等 从而使初中平面几何教学发生了重大的变化从而使初中平面几何教学发生了重大的变化 那就是让图形出来说话那就是让图形出来说话 充分调充分调 动学生的直觉思维 这样一来不仅极大地激发了学生学习的兴趣动学生的直觉思维 这样一来不仅极大地激发了学生学习的兴趣 而且比过去的教学更能够使学生深刻而且比过去的教学更能够使学生深刻 地理解几何 当然地理解几何 当然 本教学案例在这方面的探索还是初步的本教学案例在这方面的探索还是初步的 设想今后通过计算机技术的进一步开发与设想今后通过计算机技术的进一步开发与 应用应用 初中平面几何课能够给学生更多动手的机会初中平面几何课能够给学生更多动手的机会 让学生以研究的方式学习几何让学生以研究的方式学习几何 进一步突出学生进一步突出学生 在学习中的主体地位 在学习中的主体地位 3 3 引入了数学开放题引入了数学开放题 本教学案例在增大数学课堂教学的探索性本教学案例在增大数学课堂教学的探索性 计算机技术进入数学课堂的同时计算机技术进入数学课堂的同时 在学生作业中还增加了开在学生作业中还增加了开 放题放题 作业作业 2 2 为学生创造了更为广阔的思维空间为学生创造了更为广阔的思维空间 对此应大力提倡 目前对此应大力提倡 目前 世界各国在数学教育改世界各国在数学教育改 革中都十分强调高层次思维能力的培养革中都十分强调高层次思维能力的培养 这些高层次思维能力包括了推理这些高层次思维能力包括了推理 交流交流 概括和解决问题等概括和解决问题等 方面的能力 要提高学生这种高层次的思维方面的能力 要提高学生这种高层次的思维 在数学课堂教学中引进开放性问题是十分有益的 我国的在数学课堂教学中引进开放性问题是十分有益的 我国的 数学题一直是化归型的数学题一直是化归型的 即将结论化归为条件即将结论化归为条件 所求的对象化归为已知的结果 这种只考查逻辑连接的所求的对象化归为已知的结果 这种只考查逻辑连接的 能力固然重要能力固然重要 并且永远是主要部分并且永远是主要部分 但是但是 它不能是惟一的 单一的题型已经严惩阻碍了学生数学它不能是惟一的 单一的题型已经严惩阻碍了学生数学 创新能力的培养 创新能力的培养 在数学教学中还可将一些常规性题目发行为开放题 如教材中有这样一个平面几何题在数学教学中还可将一些常规性题目发行为开放题 如教材中有这样一个平面几何题 证明证明 顺次连接顺次连接 四边形四条边的中点四边形四条边的中点 所得的四边形是平行四边形 所得的四边形是平行四边形 这是一个常规性题目这是一个常规性题目 我们可以把它发行为我们可以把它发行为 画一个四边形是什么样的特殊四边形画一个四边形是什么样的特殊四边形 并加以证明 并加以证明 我们还可用计算机来演示一个形状不断变化我们还可用计算机来演示一个形状不断变化 的四边形的四边形 让学生观察它们四条边中点的连线组成一个什么样的特殊四边形让学生观察它们四条边中点的连线组成一个什么样的特殊四边形 在学生完成猜想和证明过在学生完成猜想和证明过 程后程后 我们进而可提出如下问题我们进而可提出如下问题 要使顺次连接四条边的中点所得的四边形是菱形要使顺次连接四条边的中点所得的四边形是菱形 那么对原来的那么对原来的 四边形应有哪些新的要求四边形应有哪些新的要求 如果要使所得的四边形是正方形如果要使所得的四边形是正方形 还需要有什么新的要求还需要有什么新的要求 通过这些改通过这些改 造造 常规题便具有了常规题便具有了 开放题开放题 的形式的形式 例题的功能也可更充分地发挥 例题的功能也可更充分地发挥 在此在此 我们进一步强调培养学生创新意识的数学课堂教学我们进一步强调培养学生创新意识的数学课堂教学 不应仅仅把开放题作为一种习题形式不应仅仅把开放题作为一种习题形式 而而 应作为一咱教学思想 这种教学思想反映了数学教学观的转变应作为一咱教学思想 这种教学思想反映了数学教学观的转变 这主要反映在开放性问题强调了数学知这主要反映在开放性问题强调了数学知 识的整体性识的整体性 数学教学的思维性数学教学的思维性 数学解决问题的过程性数学解决问题的过程性 强调了学生在教学活动中的主体作用于以强调了学生在教学活动中的主体作用于以 及有利于提高学生学习的乐趣及有利于提高学生学习的乐趣 提高了学生学习的内在动力等 提高了学生学习的内在动力等 4 4 学生学习方式被确定为学生学习方式被确定为 发现学习发现学习 在学习理论上在学习理论上 按不同的学习方式按不同的学习方式 可分为接受学习可分为接受学习 reception reception learning learning 和发现学习和发现学习 discovery discovery learning learning 所谓接受学习 所谓接受学习 是指学习者将别人的经验变成自己的经验的时候是指学习者将别人的经验变成自己的经验的时候 所学习的内容是以定论所学习的内容是以定论 或确定的形式通过传授者的传授或确定的形式通过传授者的传授 不需要自己任何方式的独立发现不需要自己任何方式的独立发现 发现学习则是由学习者自己发现问发现学习则是由学习者自己发现问 题和解决问题的一种学习方式题和解决问题的一种学习方式 在课堂教学中则主要是指发现学习 尽管