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2020 4 1 1 3 6等直圆杆扭转时的应变能 纯剪切应力状态下的应变能密度 对处于纯剪切应力状态的单元体 图a 为计算其上的外力所作功dW可使左侧面不动 此时的切应力t仅发生在竖直平面内而只有右侧面上的外力tdydz在相应的位移gdx上作功 2020 4 1 2 三 应变能与能密度 单元体微功 2020 4 1 3 应变比能 单元体内蓄积的应变能dV 数值上等于单元体上外力所作功dW 即dV dW 单元体单位体积内的应变能 亦即纯剪切应力状态下的应变能密度为 由剪切胡克定律t Gg 该应变能密度的表达式可写为 2020 4 1 4 在扭矩T为常量时 长度为l的等直圆杆所蓄积的应变能为 等直圆杆在扭转时积蓄的应变能 由可知 亦有 2020 4 1 5 当等直圆杆各段横截面上的扭矩不同时 整个杆内蓄积的应变能为 在线弹性范围内工作的等直圆杆在扭矩T为常量 其长度为l范围内的应变能亦可如下求得 2020 4 1 6 例1图示AB CD为等直圆杆 其扭转刚度均为GIp BC为刚性块 D截面处作用有外力偶矩Me 试求 1 杆系内的应变能 2 利用外力偶矩所作功在数值上等于杆系内的应变能求D截面的扭转角jD 2020 4 1 7 解 1 静力平衡求扭矩 2 杆系应变能 其转向与Me相同 3 求D截面的扭转角jD 2020 4 1 8 例2试推导密圈圆柱螺旋弹簧 螺旋线升角a 5 受轴向压力 拉力 F作用时 簧杆横截面上应力和弹簧缩短 伸长 变形的近似计算公式 已知 簧圈平均半径R 簧杆直径d 弹簧的有效圈数n 簧杆材料的切变模量G 2020 4 1 9 解 1 求簧杆横截面上的内力 对于密圈螺旋弹簧 可认为簧杆的横截面就在包含外力F作用的弹簧轴线所在纵向平面内 如图 于是有 剪力FS F扭矩T FR 2020 4 1 10 2 求簧杆横截面上的应力 簧杆横截面上与剪力FS相应的切应力通常远小于与扭矩T FR相应的切应力 故在求近似解时将前者略去 又 在通常情况下 簧圈直径D 2R与簧杆直径d的比值D d较大 故在求簧杆横截面上扭转切应力时 略去簧圈的曲率影响 于是有 2020 4 1 11 3 求弹簧的缩短 伸长 变形 当弹簧所受外力F不超过一定限度而簧杆横截面上的最大切应力tmax不超过簧杆材料的剪切比例极限tp时 变形 与外力F成线性关系 如图 于是有外力所作功 2020 4 1 12 至于簧杆内的应变能V 如近似认为簧杆长度l 2pRn 且簧杆横截面上只有扭矩T FR 则 根据能量
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