专题--数列求和的基本方法和技巧

11 数列求和的基本方法与技巧数列求和的基本方法与技巧 一 利用常用求和公式求和 一 利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法 1 等差数列求和公式 d nn na aan S n n 2 1 2 1 1 2 等比数列求和公式 1 11 1 1 11 1 q q qaa q qa qna S n n n 3 4 1 2 1 1 nnkS n k n 12 1 6 1 1 2 nnnkS n k n 5 2 1 3 1 2 1 nnkS n k n 例例1 已知 求的前 n 项和 3log 1 log 2 3 x n xxxx 32 解 由 2 1 2loglog 3log 1 log 33 2 3 xxx 由等比数列求和公式得 利用常用公式 n n xxxxS 32 1 x xx n 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 n n 2 1 例例2 设 Sn 1 2 3 n n N 求的最大值 1 32 n n Sn S nf 解 由等差数列求和公式得 利用常用公式 1 2 1 nnSn 2 1 2 1 nnSn 1 32 n n Sn S nf 6434 2 nn n n n 64 34 1 50 8 1 2 n n 50 1 当 即 n 8 时 8 8 n 50 1 max nf 22 二 错位相减法求和 二 错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法 这种方法主要用于求各项 是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的数列 an bn 的前 n 项和 其中 an bn 分别是等差数列和等比数列 例例 设数列满足 1 求数列的通项公式 n a 21 11 2 3 2 n nn aaa A n a 2 令 求数列的前 n 项和 nn bna n S 解 解 由已知 当 n 1 时 111211 nnnnn aaaaaaaa 2123 3 222 2 nn 而 所以数列 的通项公式为 2 1 1 2 n 1 2 a n a 21 2 n n a 由知 21 2 n nn bnan 3521 1 22 23 22 n n Sn 从而 235721 21 22 23 22 n n Sn 得 2352121 1 2 22222 nn n Sn 即 21 1 31 22 9 n n Sn 例例3 求和 132 12 7531 n n xnxxxS 解 由题可知 的通项是等差数列 2n 1 的通项与等比数列 的通项之积 1 12 n xn 1 n x 设 设制错位 n n xnxxxxxS 12 7531 432 得 错位相减 nn n xnxxxxxSx 12 222221 1 1432 再利用等比数列的求和公式得 n n n xn x x xSx 12 1 1 21 1 1 33 2 1 1 1 12 12 x xxnxn S nn n 例例4 求数列前 n 项的和 2 2 2 6 2 4 2 2 32n n 解 由题可知 的通项是等差数列 2n 的通项与等比数列 的通项之积 n n 2 2 n 2 1 设 n n n S 2 2 2 6 2 4 2 2 32 设制错位 1432 2 2 2 6 2 4 2 2 2 1 n n n S 得 错位相减 1432 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 nn n n S 11 2 2 2 1 2 nn n 1 2 2 4 n n n S 三 倒序相加法求和三 倒序相加法求和 这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法 就是将一个数列倒过来排列 反序 再把它与原数列相加 就可以得到 n 个 1n aa 例例5 求证 nn nnnn nCnCCC2 1 12 53 210 证明 设 n nnnnn CnCCCS 12 53 210 把 式右边倒转过来得 反序 011 3 12 12 nn n n n nn CCCnCnS 又由可得 mn n m n CC n n n nnnn CCCnCnS 110 3 12 12 得 反序相加 nn n n nnnn nCCCCnS2 1 2 22 2 110 n n nS2 1 例例6 求的值 89sin88sin3sin2sin1sin 22222 解 设 89sin88sin3sin2sin1sin 22222 S 将 式右边反序得 反序 1sin2sin3sin88sin89sin 22222 S 又因为 1cossin 90cos sin 22 xxxx 44 得 反序相加 89 89cos89 sin 2cos2 sin 1cos1 sin2 222222 S S 44 5 四 分组法求和四 分组法求和 有一类数列 既不是等差数列 也不是等比数列 若将这类数列适当拆开 可分为几 个等差 等比或常见的数列 然后分别求和 再将其合并即可 形如 其中 nn ba 是等比数列 是等差数列 n n b a Nkknng knnf an 2 12 例例 已知数列的通项公式为求数列的前项和 n a 132 na n n n an 解 解 1325222 21 21 naaaS n nn 1352222 21 n n 2 132 21 212 nn n 2 2 1 2 3 2 21 nn n 例例7 求数列的前 n 项和 23 1 7 1 4 1 11 12 n aaa n 解 设 23 1 7 1 4 1 11 12 n aaa S n n 将其每一项拆开再重新组合得 分组 23741 111 1 12 n aaa S n n 当 a 1 时 分组求和 2 13 nn nSn 2 13 nn 当时 1 a 2 13 1 1 1 1 nn a a S n n 2 13 1 1 nn a aa n 例例8 求数列 n n 1 2n 1 的前 n 项和 解 设kkkkkkak 23 32 12 1 n k n kkkS 1 12 1 32 23 1 kkk n k 将其每一项拆开再重新组合得 Sn 分组 kkk n k n k n k 1 2 1 3 1 32 21 21 3 21 2 222333 nnn 55 1nn c a a 分组求和 2 1 2 12 1 2 1 22 nnnnnnn 2 2 1 2 nnn 五 裂项法求和五 裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用 裂项法的实质是将数列中的每项 通项 分解 然后重新组合 使之能消去一些项 最终达到求和的目的 把数列的通项分成两项之差 在求和时中间的一些项可以相互抵消 从而求得其和 适 用于类似 其中是各项不为 0 的等差数列 为常数 的数列 以及部分无 n ac 理数列和含阶乘的数列等 用裂项法求和 需要掌握一些常见的裂项方法 通项 分解 裂项 如 1 2 1 nfnfan nn nn tan 1tan 1cos cos 1sin 3 4 1 11 1 1 nnnn an 11 11 n a n nkknnk 5 6 11 n ankn knkn 12 1 12 1 2 1 1 12 12 2 2 nnnn n an 7 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 nnnnnnn an 8 n n nnnn n n S nnnn nn nn n a 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 1 则 例例 已知等差数列 n a满足 3 7a 57 26aa n a的前 n 项和为 n S 求 n a及 n S 令 bn 2 1 1 n a n N 求数列 n b的前 n 项和 n T 解 解 设等差数列 n a的公差为 d 因为 3 7a 57 26aa 所以有 1 1 27 21026 ad ad 解得 1 3 2ad 所以321 2n 1 n an n S n n 1 3n 2 2 2 n 2n 66 由 知2n 1 n a 所以 bn 2 1 1 n a 2 1 2n 1 1 11 4 n n 1 111 4n n 1 所以 n T 111111 1 4223n n 1 11 1 4n 1 n 4 n 1 即数列 n b的前 n 项和 n T n 4 n 1 例例9 求数列的前 n 项和 1 1 32 1 21 1 nn 解 设 裂项 nn nn an 1 1 1 则 裂项求和 1 1 32 1 21 1 nn Sn 1 23 12 nn 11 n 例例10 在数列 an 中 又 求数列 bn 的前 n 项 11 2 1 1 n n nn an 1 2 nn n aa b 的和 解 211 2 1 1n n n nn an 裂项 1 11 8 2 1 2 2 nn nn bn 数列 bn 的前 n 项和 裂项求和 1 11 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 8 nn Sn 1 1 1 8 n1 8 n n 例例11 求证 1sin 1cos 89cos88cos 1 2cos1cos 1 1cos0cos 1 2 解 设 89cos88cos 1 2cos1cos 1 1cos0cos 1 S 裂项 nn nn tan 1tan 1cos cos 1sin 77 裂项求和 89cos88cos 1 2cos1cos 1 1cos0cos 1 S 88tan89 tan 2tan3 tan 1tan2 tan 0tan1 tan 1sin 1 0tan89 tan 1sin 1 1cot 1sin 1 1sin 1cos 2 原等式成立 六 合并法求和六 合并法求和 针对一些特殊的数列 将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质 因此 在求数列的 和时 可将这些项放在一起先求和 然后再求 Sn 例例12 求 cos1 cos2 cos3 cos178 cos179 的值 解 设 Sn cos1 cos2 cos3 cos178 cos179 找特殊性质项 180cos cos nn Sn cos1 cos179 cos2 cos178 cos3 cos177 cos89 cos91 cos90 合并求和 0 例例13 数列 an 求 S2002 nnn aaaaaa 12321 2 3 1 解 设 S2002 2002321 aaaa 由可得 nnn aaaaaa 12321 2 3 1 2 3 1 654 aaa 2 3 1 2 3 1 121110987 aaaaaa 2 3 1 2 3 1 665646362616 kkkkkk aaaaaa 找特殊性质项 0 665646362616 kkkkkk aaaaaa S2002 合并求和 2002321 aaaa 66261612876321 kkk aaaaaaaaaa 2002200120001999199819941993 aaaaaaa 88 2002200120001999 aaaa 46362616 kkkk aaaa 5 例例14 在各项均为正数的等比数列中 若的值 103231365 logloglog 9aaaaa 求 解 设 1032313 logloglogaaaSn 由等比数列的性质 找特殊性质项 qpnm aaaaqpnm 和对数的运算性质 得NMNM aaa logloglog 合并求和 log log log log log log 6353932310313 aaaaaaSn log log log 6539231013 aaaaaa 9log9log9log 333 10 七 利用数列的通项求和七 利用数列的通项求和 先根据数列的结构及特征进行分析 找出数列的通项及其特征 然后再利用数列的通项 揭示的规律来求数列的前 n 项和 是一个重要的方法 例例15 求之和 1 1111111111 个n 解 由于 找通项及特征 110 9 1 9999 9 1 1111 11 k kk 个个 1 1111111111 个n 分组求和 110 9 1 110 9 1 110 9 1 110 9 1 321 n 1111 9 1 10101010