函数图像的切线问题

高二数学 学案 编号 1 函数图像的切线问题 要点梳理归纳 1 1 求曲线求曲线 y y f x f x 的切线方程的三种类型及其方法的切线方程的三种类型及其方法 1 已知切点 P x0 f x0 求 y f x 在点 P 处的切线方程 切线方程为 y f x0 f x0 x x0 2 已知切线的斜率为 k 求 y f x 的切线方程 设切点为 P x0 y0 通过方程 k f x0 解得 x0 再由点斜式写出方程 3 已知切线上一点 非切点 A s t 求 y f x 的切线方程 设切点为 P x0 y0 利用导数将切线方程表示为 y f x0 f x0 x x0 再将 A s t 代入求出 x0 2 两个函数图像的公切线 两个函数图像的公切线 函数 y f x 与函数 y g x 存在公切线 若切点为同一点 P x0 y0 则有 Error Error 若切点分别为 x1 f x1 x2 g x2 则有 21 21 21 xx xgxf xgxf 题型分类解析 题型一题型一 已知切线经过的点求切线方程已知切线经过的点求切线方程 例例 1 1 求过点与已知曲线相切的切线方程 2 2 P 3 3Syxx 解 点不在曲线上 PS 设切点的坐标 则 函数的导数为 00 xy 3 000 3yxx 2 33yx 切线的斜率为 0 2 0 33 x x kyx 2 000 33 yyxxx 切线方程为 点在切线上 又 二者联 2 2 P 2 000 2 33 2 yxx 3 000 3yxx 立可得相应的斜率为或 00 1 13 xx 或0k 96 3k 高二数学 学案 编号 2 切线方程为或 2y 96 3 2 2yx 例例 2 2 设函数 曲线在点处的切线方程为 2 f xg xx yg x 1 1g 则曲线在点处的切线方程为 21yx yf x 1 1f 解析 由切线过可得 所以 另一方面 1 1g 13g 2 1114fg 且 所以 从而切线方程为 12g 2fxgxx 1124fg 4414yxyx 例例 3 3 已知直线与曲线切于点 则的值为 1ykx 3 yxaxb 1 3 b 解析 代入可得 1 3 2k 2 3fxxa 所以有 解得 113 132 fab fa 1 3 a b 题型二题型二 已知切线方程 或斜率 求切点坐标 或方程 参数 已知切线方程 或斜率 求切点坐标 或方程 参数 例例 4 4 已知函数 则 ln2fxxx 1 在曲线上是否存在一点 在该点处的切线与直线平行 fx420 xy 2 在曲线上是否存在一点 在该点处的切线与直线垂直 fx30 xy 解 设切点坐标为 由切线与平行可得 00 xy 0 0 1 2fx x 420 xy 00 0 11 24 2 fxx x 0 11 ln1 22 yf 切线方程为 1 1ln244ln21 2 yxyx 高二数学 学案 编号 3 2 设切点坐标 直线的斜率为 00 xy 0 0 1 2fx x 30 xy 1 而 00 0 11 21 3 fxx x 0 0 x 不在定义域中 舍去 0 1 3 x 不存在一点 使得该点处的切线与直线垂直 30 xy 例例 5 5 函数上一点处的切线方程为 2 lnfxaxbx 2 2Pf32ln22yx 求的值 a b 思路 本题中求的值 考虑寻找两个等量条件进行求解 在直线 a bP 上 即 得到32ln22yx 3 22ln222ln24y 2 2ln24f 的一个等量关系 在从切线斜率中得到的导数值 进而得到的另一个等量 a b2x a b 关系 从而求出 a b 解 在上 P 32ln22yx 23 22ln222ln24f 2ln242ln24fab 又因为处的切线斜率为 P3 2 a fxbx x 243 2 a fb ln242ln24 2 143 2 ab a a bb 例例 6 6 设函数 若曲线的斜率最小的切线与直 32 910fxxaxxa yfx 线平行 求的值126xy a 高二数学 学案 编号 4 思路 切线斜率最小值即为导函数的最小值 已知直线的斜率为 进而可得导函数12 的最小值为 便可求出的值12 a 解 2 22222 21111 3293939 39333 fxxaxxaaaxaa 直线的斜率为 依题意可得 2 min 11 9 33 fxfaa 126xy 12 2 1 9123 3 aa 0a 3a 题型三题型三 公切线问题公切线问题 例例 7 7 若存在过点 1 0 的直线与曲线和都相切 则等于 3 yx 2 15 9 4 yaxx a A 或 B 或 C 或 D 或1 25 64 1 21 4 7 4 25 64 7 4 7 思路 本题两条曲线上的切点均不知道 且曲线含有参数 所以考虑 2 15 9 4 yaxx 先从常系数的曲线入手求出切线方程 再考虑在利用切线与曲线 3 yx 求出的值 设过的直线与曲线切于点 切线方 2 15 9 4 yaxx a 1 0 3 yx 3 00 x x 程为 即 因为在切线上 所以解得 32 000 3yxxxx 23 00 32yx xx 1 0 或 即切点坐标为或 当切点时 由与 0 0 x 0 3 2 x 0 0 3 27 28 0 00y 相切可得 2 15 9 4 yaxx 高二数学 学案 编号 5 同理 切点为解得 2 1525 490 464 aa 3 27 28 1a 答案 A 小炼有话说 1 涉及到多个函数公切线的问题时 这条切线是链接多个函数的桥梁 所以可以考虑先从常系数的函数入手 将切线求出来 再考虑切线与其他函数的关系 2 在利用切线与求的过程中 由于曲线为抛 2 15 9 4 yaxx a 2 15 9 4 yaxx 物线 所以并没有利用导数的手段处理 而是使用解析几何的方法 切线即联立方程后 的来求解 减少了运算量 通过例 7 例 8 可以体会到导数与解析几何之间的联系 0 一方面 求有关导数的问题时可以用到解析的思想 而有些在解析中涉及到切线问题时 若曲线可写成函数的形式 那么也可以用导数来进行处理 尤其是抛物线 例例 8 8 若曲线 2 1 xyC 与曲线 x aeyC 2 存在公切线 则a的最值情况为 A 最大值为 2 8 e B 最大值为 2 4 e C 最小值为 2 8 e D 最小值为 2 4 e 解析 设公切线与曲线切于点 与曲线切于点 由可 1 C 2 11 x x 2 C 2 2 x x ae 2 x yx yae 得 所以有 所以 2 2 2 1 1 21 2 x x aex xae xx 2 2 11 112 21 1 2 222 2 x xx xxx xx xae 即 设 则 可知 2 2 44 x aex 2 2 41 x x a e 41 x x f x e 4 2 x x fx e 在单调递增 在单调递减 所以 f x 1 2 2 max 2 4 2af e 高二数学 学案 编号 6 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 2 4 6 8 3025201510551015202530 ae x x 2 a 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 2 4 6 8 3025201510551015202530 ae x x 2 l a 12 10 8 6 4 2 2 4 6 8 10 12 20151055101520 O 题型四题型四 切线方程的应用切线方程的应用 例例 9 9 已知直线与曲线有公共点 则的最大值为 ykx lnyx k 解 根据题意画出右图 由图可知 当直线和曲线相切时 取得最大值 k 设切点坐标为 则 切线方程为 00 xy 00 lnyx 1 y x 0 0 1 x x y x 原点在切线上 斜率的最大值为 00 0 1 ln yxxx x 0 ln1x 0 xe 1 e 例例 10 10 曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 x ye 2 2 e A B C D 2 e 2 2e 2 4e 2 2 e 思路 由图像可得三角形的面积可用切线的横纵截距计算 进而先利用求出 x fxe 切线方程 所以切线方程为 即 2 2fe 22 2yeex 22 0e xye 与两坐标轴的交点坐标为 2 1 00 e 2 2 1 1 22 e Se 例例 11 11 一点在曲线上移动 设点处切线的倾斜角为 则角的取P 3 2 3 yxx P 值范围是 高二数学 学案 编号 7 A B C D 0 2 3 0 24 3 4 3 24 思路 倾斜角的正切值即为切线的斜率 进而与导数联系起来 对于曲线 2 31yx 上任意一点 斜率的范围即为导函数的值域 所以倾斜角的P 2 311 yx 范围是 答案 B 3 0 24 例例 12 12 已知函数 若过点存在 3 条直线与曲线相切 3 23fxxx 1 Pt yf x 求 的取值范围t 思路 由于并不知道 3 条切线中是否存在以为切点的切线 所以考虑先设切点P 切线斜率为 则满足 所以切线方程为 00 xyk 3 000 2 00 23 63 yxx kfxx 即 00 yyk xx 代入化简可得 所 32 0000 2363yxxxxx 1 Pt 32 00 463txx 以若存在 3 条切线 则等价于方程有三个解 即与 32 00 463txx yt 有三个不同交点 数形结合即可解决 32 463g xxx 解 设切点坐标 切线斜率为 则有 00 xyk 切线方程为 3 000 2 00 23 63 yxx kfxx 32 0000 2363yxxxxx 因为切线过 所以将代入直线方程可得 1 Pt 1 Pt 32 0000 2363 1txxxx 23 0000 63 123txxxx 高二数学 学案 编号 8 23332 0000000 636323463xxxxxxx 所以问题等价于方程 令 32 00 463txx 32 463g xxx 即直线与有三个不同交点yt 32 463g xxx 2 1212121gxxxx x 令解得 所以在单调递减 在单调递 0gx 01x g x 0 1 0 1 增 11 03g xgg xg 极大值极小值 所以若有三个交点 则 3 1t 所以当时 过点存在 3 条直线与曲线相切 3 1t 1 Pt yf x 例例 13 13 已知曲线 C x2 y P 为曲线 C 上横坐标为 的点 过 P 作斜率为 k k 0 的直线交1 C 于另一点 Q 交 x 轴于 M 过点 Q 且与 PQ 垂直的直线与 C 交于另一点 N 问是否存在实 数 k 使得直线 MN 与曲线 C 相切 若存在 求出 K 的值 若不存在 说明理由 思路 本题描述的过程较多 可以一步步的拆解分析 点 则可求出 1 1P 从而与抛物线方程联立可解得 以及点坐标 1PQ ykxk 2 1 1Q kk M 从而可写出的方程 再与抛物线联立得到点坐标 如果从坐标入手得到QNN M N 方程 再根据相切求 方法可以但计算量较大 此时可以着眼于为切点 MN 0 kN 考虑抛物线本身也可视为函数 从而可以为入手点先求出切线 再利 2 xy 2 yx N 用切线过代入点坐标求 计算量会相对小些 MMk 解 由在抛物线上 且的横坐标为 1 可解得 PP 1 1P 高二数学 学案 编号 9 设化简可得 11PQ yk x 1ykxk 1 0k M k 消去 2 1 yx ykxk y 2 10 xkxk 12 1 1xxk 2 1 1Q kk 设直线即 21 11QNykxk k 21 11ykxk k 联立方程 2 21 11 yx ykxk k 2 11 110 xxkk kk 11 111 QNN xxkkxk kk 2 11 1 1Nkk kk 由可得 2 yx 2yx 切线的斜率 MN 1 21 N MNxx kyk k 2 111 1211MNykkxk kkk 代入得 1 0 k M k 高二数学 学案 编号 10 2 1111 12111kkk kkkk 2 1 1210kkkk k 15 2 k 小炼有话说 1 如果曲线的方程可以视为一个函数 比如开口向上或向下的抛物线 椭圆双曲线的一部分 则处理切线问题时可以考虑使用导数的方法 在计算量上有时 要比联立方程计算简便0 2 本题在求点坐标时 并没有对方程进行因式分解 而是利用韦达定理 已知N 的横坐标求出的横坐标 这种利用韦达定理求点坐标的方法在解析几何中常解决已QN 知一交点求另一交点的问题 例例 14 14 设函数 f x x3 2ax2 bx a g x x2 3x 2 其中 x R a b 为常数 已 知曲线 y f x 与 y g x 在点 2 0 处有相同的切线 l 1 求 a b 的值 并写出切线 l 的方程 2 若方程 f x g x mx 有三个互不相同的实根 0 x1 x2 其中 x1 x2 且对任意 的 x x1 x2 f x g x 0 即 m 1 4 又对任意的 x x1 x2 f x g x m x 1 恒成立 特别地 取 x x1时 f x1 g x1 mx1 m 成立 得 m0 x1x2 2 m 0 故 0 x10 则 f x g x mx x x x1 x x2 0 又 f x1 g x1 mx1 0 所以函数 f x g x mx 在 x x1 x2 的最大值为 0 于是当 m 0 时 对任意的 x x1 x2 f x g x m x 1 恒成立 1 4 综上 m 的取值范围是 1 4 0 例例 15 15 如图 3 1 有一正方形钢板 ABCD缺损一角 图中的阴影部分 边缘线OC是以直 线AD为对称轴 以线段AD的中点O为顶点的抛物线的一部分 工人师傅要将缺损一角 切割下来 使剩余的部分成为一个直角梯形 若正方形的边长为 2 米 问如何画切割线 EF 可使剩余的直角梯形的面积最大 并求其最大值 解法一 解法一 以O为原点 直线AD为y轴 建立如图所示的直角坐标系 依题意 可设抛物线弧OC的方程为 y ax2 0 x 2 点C的坐标为 2 1 22a 1 a 1 4 故边缘线OC的方程为y x2 0 x 2 1 4 要使梯形ABEF的面积最大 则EF所在的直线必与抛物线 弧OC相切 设切点坐标为P 0 t 2 t 1 4t2 y x 直线EF的方程可表示为y t2 x t 1 2 1 4 t 2 即y tx t2 由此可求得 1 2 1 4 E F AF 1 t2 2 t 1 4t2 0 1 4t2 1 4t2 1 1 4 BE t2 t 1 t 1 4t2 1 1 4 设梯形ABEF的面积为