5-8-1_数字迷与算式迷综合.题库教师版.doc

题库 教师版 4 数字迷从形式上可以分为横式数字迷与竖式数字迷，从运算法则上可以分为加减乘除四种形式的数字迷。横式与竖式亦可以互相转换，本讲中将主要介绍数字迷的一般解题技巧。主要涉及小数、分数、循环小数的数字迷问题，因此，会需要利用数论的知识解决数字迷问题 一、数字迷加减法 二、数字 迷乘除法 数字乘法个位数字的规律 三、数阵图 和与总和 方格），和关键点（方格） 般是交叉点）上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系， 得到关键点上所填数的范围 数） 四、数字谜问题解题技巧 如首位、个位以及位数的差异； 步缩小范围，并进行适当的估算； 注意 用不同符号表示不同数字这一条件来排除若干可能性； 模块一、 数字迷 【例 1】 下面算式 (1)是一个残缺的乘法竖式，其中 2，那么乘积是 例题精讲 知识点拨 教学目标 5字迷 与算式迷综合 题库 教师版 4 【 解解 析析 】 如式 (2)，由题意 a 2，所以 b 6，从而 d 6由 22 c 60和 c 2知 c=3，所以 22是 225或 228， 75或 76因为 75 399 30 000，所以 76再由乘积不小于 30000 和所有的 2，推出唯一的解 76 396=30096 【 巩巩 固固 】 每个方框内填入一个数字，要求所填数字都是质数，并使竖式成立 ？ 解解 析析 】 一位质数只有 2、 3、 5、 7，且两位数乘以三位数都需要进位，相乘个位为质数的只有 3步递推，答案 775 【 巩巩 固固 】 下面残缺的算式中，只写出了 3个数字 1，其余的数字都不是 1，那么这个算式的乘积是 ？ 【 解解 析析 】 为了说 明的方便，这个算式中的关键数字用英文字母表示很明显 e= 0从 c 的个位数是 1， 7， 9三数之一，两位数 是（ 100+f）的因数 101， 103， 107， 109 是质数， f=0或 5 也明显不行 102=17 6，则 17， C 只能取 3， 3 17c ，不是三位数； 104=13 8,则 13， ， c 7 13，仍不是三位数； 108=27 4，则 27， 3 27c ，还不是三位数只有 106=53 2， 53， c=7， 7 53c 是三位数 因此这个乘法算式是故这个算式的乘积是 3816。 【例 2】 在右边的算式中，相同的 符号代表相同的数字，不 同的符号代表不同的数字，根据这个算式，可以推算出： = _. 【 解解 析析 】 比较竖式中百位与十位的加法，如果十位上没有进位，那么百位上两个“”相加等于一个“”，得到“” 0 ，这与“”在首位不能为 0 矛盾，所以十位上的“ ”肯定进位，那么百位上有“ 1 10 ”，从而“” 9 ，“” 8 。再由个位的加法，推知“ 8 ”从而“ 9 8 8 25 ” 【 巩巩 固固 】 在右边的竖式中，相同字母代表相同数字 ，不同字母代表不同数字，则四位数 _？ s t v av t s tt t v t t 【 解解 析析 】 两个四位数相加得到一个五位数，显然这个五位数的首位只能为 1，所以可以确定 1t ，那么百位不可能向千位进位，所以 11 ，十位向百位进了 1 位，所以 13v t t ，题库 教师版 4 11 3 8s 又因为 a t t ，所以 0a ，四位数 1038。 【 巩巩 固固 】 下图 是一个正确的加法算式，其中相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字已知 是 3 的倍数， 是 8 的倍数，那么 表的四位数是多少 B A O D【 解解 析析 】 首先可以确定 D 的值一定是 0 ， G 的值一定是 1 ，所以 G O O A，可见 偶数，只能是 122 、 144 、 166 、 188 ，由于 是 3 的倍数， 是 8 的倍数， 所以 是 3 的倍数，也不是 4 的倍数，可以排除 144 和 188，再检验 122 和 166 可知只有 166 符合，此时 830， 所以 值为 3810 。 【例 3】 下面算式中，相同汉字代表相同数字，不同汉字代表不同数字 爱 好 真 知数 学 更 好数 学 真 好 玩【 解解 析析 】 题中竖式为两个四位数相加得到一个 五位数，这个五位数的首位只能为 1，所以“数” 1 。再看千位，由于百位至多进 1 位，而“爱” “数” 1 最大为 9 1 1 11 ，所以“学”不超过 1，而“数”为 1，所以“学”只能为 0竖式变为 1010爱 好 真 知更 好真 好 玩。 那么“真”至少为 2，所以百位不可能进位，故“爱” 10 1 9 。由于“好”和“真”不同，所以“真” “好” 1 ，十位向百位进 1 位。如果个位不向十位进位，则“真” “更” “好”10 ，得到“更” 9 ，不合题意，所以个位必定向十位进 1 位，则“真” “更” 1 “好” 10 ，得到“更” 8 。现在，“真” “好” 1 ，“知” “好” 10“玩”“真”、“好”、“知”、“玩”为 2， 3， 4， 5， 6， 7 中的数。由于“玩”至少为 2，而“知” “好”最大为 6 7 13 ，所以“玩”为 2 或 3。 若“玩”为 3，则“知”与“好”分别为 6 和 7，此时无论“好”为 6 还是 7，“真”都会与已有的数字重复，不合题意。若“玩”为 2，则“知”与“好”分别为 5 和 7，只能是“知” 7 ，“好” 5 ，“真” 6 。此时“数学真好玩”代表的数是 10652。 【 巩巩 固固 】 (2009 年清华附中入学测试题 )如图，在加法算式中，八个字母“ 分别代表 0 到 9中的某个数字，不同的字母代表不同的数字，使得算式成立，那么四位数“ 的最大值是多少？ 2 0 0 91Q H F L D X【 解解 析析 】 原式为 2 0 0 9 1Q H F Z Q H L B Q H D X ，即 1 2 0 0 9 7 9 9 1Q H F Z Q H D X Q H L B D X L B 为了使 大，则前两位 尽量大，由于 B 小于 100，所以 大可能为 80若80，则继续化简为 9F Z D X L B 现在要使 量大由于 8 和 0 已经出现，题库 教师版 4 此时 9B最大为 97 12 9 76 ，此时出现重复数字，可见 于 76而 96 12 9 75 符合题意，所以此时 大为 75， 最大值为 8075 【 巩巩 固固 】 (2008 年 “迎春杯”高年级组复赛 )将数字 1 至 9 分别填入右边竖式的方格内使算式成 立 (每个数字恰好使用一次 )，那么加数中的四位数最 小是多少？ 12 0 0 8 【 解解 析析 】 9个方框中的数之和为 45三个加数的个位数字之和可能是 8， 18；十位数字之和可能是 9， 10，19， 20；百位数字之和可能是 8， 9， 10，其中只有 18 19 8 45 所以三个加数的个位数字之和为 18，十位数字之和为 19，百位数字之和为 8要使加数中的四位数最小，尝试在它的百位填1，十位填 2，此 时另两个加数的百位只能填 3， 4；则四位数的加数个位可填 5，另两个加数的十位可填 8， 9，个位可填 6， 7，符合条件，所以加数中的四位数最小是 1125 【例 4】 如图所示的算式中，不同的汉字表示不同的数字，相同的汉字表示相同的数字求使算式成立的汉字所表示的数字 . 2 0 0 8学数 学爱 数 学喜 爱 数 学【解析】 将竖式化为横式就是： 1 0 0 0 2 0 0 3 0 4 喜 爱 数 学 =2008，从“ 喜 ”到“ 学 ”依次考 虑，并注意到“喜”、“爱”、“数”都不能等于 0，可以得到： 1喜 ， 4爱 ， 6数 ， 7学 。 【 巩巩 固固 】 下面的算式中，同一个汉字代表同一个数字，不同的汉字代表不同的数字团团 圆圆 大熊猫 . 则“大熊猫”代表的三位数是 【解析】 由于团团 团 11 ，圆圆 圆 11 ，所以大熊猫 团团 圆圆 团 圆 121 ，也就是说“大熊猫”这个三位数是 121 的倍数，那么“团 圆”应小于 9（否则团 圆 121 为四位数），所以“团 圆”最大为 8 圆”为一位数，如果该数为质数，即 2 、 3 、 5 、 7 ，则“团 圆”中必有一个数为 1 ，则会使“猫”和“团”或“圆”中的一个数字相同，与题意不符，所以“团 圆”为合数，即 4 、 6 、 8 ，如果团 圆 4 ，则只有 22 ，与题意不符，所以“团 圆”只能为 6 或 8 ，如果团 圆 6 ，则“团”和“圆”一个为 2 ，一个为 3 ，而 22 33 726 ，与题意不符，则团 圆8 ，因 此“团”和“圆”一个为 2 ，一个为 4 ， 22 44 968 ，符合题意，因此“大熊猫”为 968 。 . 【例 5】 将 0 、 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 这七个数字填在圆圈和方格内，每个数字恰好出现一次，组成只有一位数和两位数的整数算式问填在方格内的数是多少 ？ d d d d 【解析】 题目要求用七个数字组成 5 个数，说明有 3 个数是一位数，有 2 个数是两位数很明显，方框里的数和被除数是两位数，其余的被乘数、乘数和除数是 1 位数看得出来， 0 不能做被乘数和乘数 ，更不能做除数，因而 0 是两位数的个位数字，但不能是商的个位数字，即不能是方框里的两位数的个位数字，否则会使除数的个位也为 0，从而只能是被除数的个位数字；乘数如果是 1 ，不论被乘数是几，都将在算式出现两次，与题意不符，所以，乘数不是 1 同样乘数也不能是 5 乘数如果有 2，则被乘数只能是 6，才能保证方格里的数是不含偶的两位数，但此时 2 出现重复，所以乘数里面也没有 2被除数是 3 个一位数的乘积，其中一个是 5 ，另两个中没有 1 ，也不能有2 ，因而被除数至少是 3 4 5 60 由于没有比 6 大的数字，所以被除数就是 60 ，题库 教师版 4 3 4 1 2 6 0 5 于是方格中的数是 12 【 巩巩 固固 】 在算式： 2 的六个方框中，分别填入 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 这六个数字，使算式成立，并且算式的积能被 13整除，那么这个乘积是 ？ 【解析】 先从个位数考虑，有 2 2 4 、 2 3 6 、 2 6 12 、 2 7 14 四种可能；再考虑 乘数的百位只能是 2 或 3 ，因此只有三种可能的填法： 2 273 546， 2 327 654， 2 267 534，其中只有 546能被 13整除，所以这个积是 546 。 【例 6】 如图所示的乘法竖式中，“学而思杯”分别代表 0 9 中的一个数字，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，那么“学而思杯”代表的数字分别为 _（ 学 而 思 杯学 而 思 杯【解析】 首先从式子中可以看出“思” 0 ，另外第三个部分积的首位只能为 9，所以“学”只能为 3由于 3 个部分积都是四位数，而且第三个部分积的首位为 9，所以它比其它两个部分积要大，从而“学”比“而”和“杯”都大，所以“而”和“杯”只能分别为 1 和 2，这样“学而思杯”就可能为 3102 或 3201 分别进行检验，发现 3 1 0 2 3 1 0 2 9 6 2 2 4 0 4 ，与算式不相符，而3 2 0 1 3 2 0 1 1 0 2 4 6 4 0 1 符合，所以“学而思杯”代表的数字分别为 3、 2、 0、 1 【 巩巩 固固 】 在右边的乘法算式中，字母 A 、 B 和 C 分别代表一个不同的数字，每个空格代表一个非零数字求A 、 B 和 C 分别代表什么数字 ？ 941A B C【解析】 第一个部分积中的 9 是 的个位数字，所以 C 要么是 3 ，要么是 7 如果 3C ，第二个部分积中的 4 是积 3B 的个位数字，所以 8B 同理，第三个部分积中的 1 是积 3B 的个位数字，因此 7A 检验可知 7A ， 8B ， 3C 满足题意如果 7C ，类似地可知 2B ， 3A ，但这时第二个部分积 327 2 不是四位数，不合题意 所以 A 、 B 和 C 代表的数字分别是 7、 8、3. 【例 7】 在如图所示的乘法算式中，汉字代表 1 至 9 这 9 个数字，不同汉字代表不同的数字若 “ 祝 ”字和 “ 贺 ” 字分别代表数字 “ 4” 和 “ 8” ，求出 “ 华杯赛 ” 所代表的整数 祝 贺 华 杯 赛 第 十 四 届 【解析】 根据题意可知“祝”、“贺”、“华”、“杯”、“赛”、“第”、“十”、“四”、“届”这 9 个汉字恰好代表1 9 这 9 个数字，那么它们的和为 45由于“祝”、“贺”分别代表 4 和 8， 那么“祝贺” 48 是3 的倍数，则“第十四届”也是 3 的倍数，这样它的各位数字之和之和也是 3 的倍数，可知“祝”、“贺”与“第”、“十”、“四”、“届”这 6 个数的和也是 3 的倍数，那么“华”、“杯”、“赛”这 3个数和也是 3 的倍数，从而“华杯赛”这个三位数是 3 的倍数由于“第十四届”等于 48 与“华杯赛”这两个 3 的倍数的乘积，所以它是 9 的倍数从而“第”、“十”、“四”、“届”这 4 个数的和是 9 的倍数由于“华”、“杯”、“赛”、“第”、“十”、“四”、“届”的总和为 45 4 8 33 ，题库 教师版 4 以“第”、“十”、“四”、“届”这 4 个数的和可能为 27 或 18(它们的和显然大于 9)，对应的“华”、“杯”、“赛”这 3 个数和是 6 或 15如果“华”、“杯”、“赛”这 3 个数和是 6，则“华”、“杯”、“赛”分别为 1、 2、 3，如果“华”为 2，则“华杯赛”至少为 213，则 48 213 10224 ，不是四位数，所以“华”只能为 1，这样“华杯赛”可能为 123 和 132，分别有 48 123 5904 ，48 132 6336 ，都不符合；如果“华”、“杯”、“赛”这 3 个数和是 15，根据上面的分析可知“华”只能为 1，这样“杯”、“赛”之和为 14，可能为 95 或 86 ，由于“贺”为 8，所以“杯”、“赛”分别为 5 和 9，显然“赛”不能为 5，则“华杯赛”为 159。 【 巩巩 固固 】 右边算式中， A 表示同一个数字，在各个中填入适当的数字，使算式完整那么两个乘数 的差(大数减小数 )是 ？ 11解析】 由 11被 11整除及只有 11 ， 37 ， 99 的个位是 1 ，所以 A 可能为 1， 3， 7 或 9，而且 111 与 1 个一位数和一个两位数的乘积分别检验 1111、 1331、 1771、 1991，只有 1771满足： 1771 11 7 23 ，可知原式是 77 23 1771 所以两个乘数的差是 77 23 54 。 【例 8】 “ 迎杯春杯 =好好好 ” 在上面的乘法算式中 ,不同的汉字表示不同的数字 ,相同的汉字表示相同的数字。那么“迎 +春 +杯 +好”之和等于多少 ? 【解析】 好好好 =好 111=好 3 37， 100以内 37 的倍数只有 37和 74，所以“迎杯”或“春杯”中必有1 个是 37 或 74，判断出“杯”是 7 或 4。 若 杯 =7，则好 =9， 999/37=27，所以，迎 +春 +杯 +好=3+2+7+9=21 若 杯 =4，则好 =6， 666/74=9，不是两位数，不符合题意 。迎 +春 +杯 +好 =3+2+7+9=21。 【例 9】 电子数字 09 如图所示，右图是由电子数字组成的乘法算式，但有一些模糊不清，请将右图的电子数字恢复，并将它写成横式形式： 【解析】 可以看出乘积的百位可能是 2 或 8，由于被乘数的十位和乘数都不能是 9，最大可能为 8，所以它们的乘积不超过 89 8 712 ，故乘积的首位不能为 8，只能为 2 ；被乘数的十位和乘数要与图中相符，只能是 0 、 2 、 6 或 8 ， 0 首先可以排除，所以可能为 2、 6 或 8；如果被乘数的十位是 6 或 8 ，那么乘数无论是 2 、 6 或 8 ，都不可能乘出百位是 2 的三位数 所以 被乘数的十位是2 ，相应得出乘数是 8 ；被乘数应大于 200 8 25 ，可能为 27、 28 或 29，检验得到符合条件的答案： 28 8 224 【 巩巩 固固 】 电子数字 0 9 如图 1 所示，图 2 是由电子数字组成的乘法算式，但有一些已经模糊不清请将图 2的电子数字恢复，并将它写成横式： ： 题库 教师版 4 【解析】 设竖式如a b i gh j kl m n o，那么各个字母可以代表的数如 下 表 a 13456789 b 268 c 0268 d 268 e 2356789 f 68 i 01234789 g 08 h 268 j 45689 k 0489 l 23489 m 0235689 n 2345689 o 013456789 6 4 1 0 1 2h 或者 8h ； 若 8h ，那么 9l ，并且 一定是 18 、16 或 42 ，如果是 18 ，那么由于 2b ，所以 进位，导致 8h ，产生矛盾 ； 如果是 16 ，那么 2b 时 位小于 8， 6b 时 位大于 8，也产生矛盾； 所以只有可能 4a ， 2d ，并可以得到 2b ，考虑到 三位数，所以 2e ，再根据 0g 或 8 ，得到 0c ，所得到的数式为4 2 0228 4 08 4 09 2 4 0 若 2h ，则可 以 得到 3l ， 1a ， 2d ， 2b (因为 10 )； 由于6f 或 8 ， 所以 5e 或者 7e 当 5e 时，竖式1 2 2256 1 02443 0 5 0成立；当 7e 时，竖式1 2 0278 4 02 4 03 2 4 0成立 。 【例 10】 在方框中填入适当的数字，使得除法竖式成立已知商为奇数，那么除数为 ： 题库 教师版 4 09002d 22 解解 析析 】 先看除式的第二、三行，一个三位数减去一个两位数，得到一个一位数，可 得这个三位数的前两位为 1、 0，这个两位数的十位数字为 9，个位不能为 0除数是一个三位数，它与商的百位和个位相乘，所得的两个三位数的百位都是 9，那么可得商的百位和个位相同先将已得出的信息填入方框中，并用字母来表示一些方框中的数，如右图所示由于商为奇数，所以 e 是奇数，可能为 1、 3、 7、 9(不可能为 5)若为 1，则 92d ，而 92a b c f d f 为三位数，于是 1f ，又这个乘积的十位数字为 0，而 d 不能为 0，矛盾所以 e 不为 1；若为 3，则 9 2 3d， d 可能为 1、 4、 7， 应的为 304、 314、 324当 314 和 324 时 f 所的结果的十位数字不可能为 0，不合题意；若 304，则 f 可能为 1 或 2，经检验 f 为 1 和 2 时都与竖式不符，所以 e 也不能为 3；若为 7，则 9 2 7d，只有 5d 时满足，此时 136，那么 3f 经检验满足题意；若为 9，则 9 2 9d， d 只能为 7，此时 108， f 则只能为 1经检验也不合题意所以只有除数为 136 时竖式成立，所以所求的除数即为 136 模块二、数阵图数表 【例 11】 将 19 填 入 下图的 中，使得任意两个相邻的数之和 都不是 3 ， 5 ， 7 的倍数 【 解解 析析 】 根据题意可知 1 的两边只能是 3 与 7 ； 2 的两边只能是 6 与 9 ； 3 的两边只能是 1、 5 或 8； 4 的两边只能是 7 与 9 可以先将 3 1 7下来 7 的后面只能是 4， 4 的后面只能是 9， 9的后面只能是 2， 2 的后面只能是 6，可得： 3 1 7 4 9 2 6剩下 5 和 8 两个数由于 6 8 14 是 7 的倍数，所以接下来应该是 5，这样可得： 3 1 7 4 9 2 6 5 8 3检验可知这样的填法符合题意 【例 12】 将正整数从 1 开始依次按如图所示的规律排成一个“数阵”，其中 2 在第 1 个拐角处， 3 在第 2 个拐角处， 5 在第 3 个拐角处， 7 在第 4 个拐角处，那么在第 100 个拐角处的数是 题库 教师版 4 2220211918171614 1513121110 9 8 765432 1【 解解 析析 】 我们可列表观察拐角处的数有什么特征 第 0 个拐角： 1 第 1 个拐角： 2 1 1 第 2 个拐角： 3 2 1 1 1 1 第 3 个拐角： 5 3 2 1 1 1 2 第 4 个拐角： 7 5 2 1 1 1 2 2 第 5 个拐角： 1 0 7 3 1 1 1 2 2 3 第 6 个拐角： 1 3 1 0 3 1 1 1 2 2 3 3 第 7 个拐角： 1 7 1 3 4 1 1 1 2 2 3 3 4 第 8 个拐角： 2 1 1 7 4 1 1 1 2 2 3 3 4 4 由此可知，第 n 个拐角处的数等于 1 1 11 1 1 2 22 2 2 L（ n 为奇数时） 1 1 1 2 222 L（ n 为偶数时） 所以第 100个拐角处的数为 1 1 1 2 2 5 0 5 0 1 2 1 2 3 5 0 2 5 5 1 【例 13】 一列自然数 ： 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 2024 ， 第一个数是 0 ，从第二个数开始，每一个都比它前一个大 1 ，最后 一个是 2024 现在将这列自然数排成以下数表 规定横排为行，竖排为列，则 2005在数表中位于第 _行 第 _列 。 【 解解 析析 】 观 察 可 知 第 n 行的第 1 个数是 21n ，第 n 列的第 1 个数是 21n 由 于224 4 1 9 3 6 2 0 0 5 2 0 2 5 4 5 ，所以第 45 行的第 1 个数是 1936 ，第 45 列的第 1 个数是2025 1 2024 由于 2 0 2 4 2 0 0 5 1 2 0 ，所以 2005 在第 20 行第 45 列 【例 14】 下表一共有六行七列，第一行与第一列上的数都已填好，其他位置上的每个数都是它所在行的第一列上的数与所在列的第一行上的数的积，如 A 格应填的数是 10 13 130 ，求表中除第一行和第一列外其它各个格上的数之和 ？ 【 解解 析析 】 第二行上除去第一列的数的和为 8 9 1 1 1 3 1 5 3 1 9 题库 教师版 0 4 第三行上除去第一列的数的和为 1 2 9 1 1 1 3 1 5 3 1 9 ， 最后一行除去第一列后所有数的和为 1 6 9 1 1 1 3 1 5 3 1 9 将这些式子相加可得到所有要求的格子上的数的和为： 8 1 2 1 4 1 0 1 6 9 1 1 1 3 1 5 3 1 9 4 2 0 0 【 巩巩 固固 】 将最小的 10个合数填到图中所示表格的 10个空格中，要求满足以下条件： （ 1）入的数能被它所在列的第一个数整除 （ 2）最后一行中每个数都比它上面那一格中的数大。 那么，最后一行中 5 个数的和最小是 【 解解 析析 】 最小的 10个合数分别是 4 ， 6 ， 8 ， 9 ， 10， 12， 14， 15， 16， 18 这 10个合数当中 10和 15一定是在 5 的下面，其中 15 在最后一行； 4 、 8 、 14、 16一定是在 2 和 4 下面，其中 14 一定在 2的下面；剩下的 6 、 9 、 12、 18在 3 或 6 下面，其中 9 一定在 3 的下面，对 2 和 4 所在的列和 3 和6 所在的列分别讨论 4 、 8 、 14、 16，这四个数中最大的数 16一定在最后一行，最小的数 4 一定在第二行，所以 2 和 4 所在的列中最后一行的数的和最小是 16 8 24 ，当 14、 16在 2 下面， 4和 8 在 4 下面时成立； 6 、 9 、 12、 18，这四个数中最大的数 18一定在最后一行，最小的数 6 一定在第二行，所以 3 和 6 所在的列中最后一行的数的和最小是 18 9 27 ，当 12和 18在 6 下面， 6和 9 在 3 下面时成立所以最后一行的 5 个数的和最小是 24 15 27 66 。 【例 15】 如图 ， 大、中、小三个正方形组成了 8个三角形，现在把 2、 4、 6、 8四个数分别填在大正方形的四个顶点；再把 2、 4、 6、 8分别填在中正方形的四个顶点上；最后把 2、 4、 6、 8分别填在小正方形 的 四个顶点上 能 不能使 8 个三角形顶点上数字之和都相 等 ？ 能不能使 8个三角形顶点上数字之和各不相同？如果能，请画图填 上满足要求的数；如果不能，请说明理由 46824688 642【 解解 析析 】 不能如果这 8个三角形顶点上数字之和都相等，设它们都等于 S 考察外面的 4个三角形，每个三角形顶点上的数的和是 S ，在它们的和 4S 中，大正方形的 2、 4、6、 8 各出现一次，中正方形的 2、 4、 6、 8 各出现二 次，即 4 2 4 6 8 3 6 0S 得到60 4 15S ，但是三角形每个顶点上的数都是偶数，和不可能是奇数 15，因此这 8 个三角形顶点上的数字之和不可能都相等 由于三角形 3 个顶点上的数字之和最小为 2 2 2 6 ，最大为 8 8 8 24 ，可能为 6、 8、10、 22、 24，共有 10 个可能的值，而三角形只有 8 个，所以是有可能做到 8 个三角形的顶点上数字之和互不相同的 根 据对称性，不妨舍去这 10 个可能值的首尾两个，把剩下 8个值 (8、 10、 12、 14、 16、 18、 20、22)作为 8 个三角形的顶点上数字之和进行尝试，可以得到满足条件的填法，右上图就是一种填法 题库 教师版 1 4 模块三、 数字迷竞赛选题 【例 16】 请将 1 12这 12 个自然数分别填入到右图的方框中，每个数只出现 1次，使得每个等式都成立 ( ) 2008| | | | | |1 2 6 【 解解 析析 】 我们先从第三列入手，设这四个数从上到下依次为 a ， b ， c ， d ， 6a b c d ，故 6 ，而 12a ，若 2b ，则 不可能大于 6 ，所以 b 只能为 1 ； 6a b c d a c d ，由于 ，故 2 ，所以 62a ，即 8a ； 分析第三行，设第三行的前两个数分别为 x ，y ，则 0x y c 2x ，而 2y （ 1 已经被 b 占用），故 6c ，而 2d ，则 3 ，所以 6 3 9a ，结合可知 a 只能为 8 或 9 ; 若 9a ，则 9 6 3 ，有 6c ， 2d ，而此时 3y （ 1 ， 2 已经分别被 b ， d 占用），则 3 6 1 8x y c ，和题目条件矛盾； 若 8a ，则 8 6 2 ，有 6c ， 3d 或 4c ， 2d c ， 3d ，则 y 只能为 2 ，6 2 1 2x y c ，则第四行中的被除数只能为 9 （ 3 的倍数只剩下 9 ），第四行算式为5 9 3 8 ，此时还余下 4 ， 7 ， 10， 11这四个数，而第一行中的两个加数的和为 2 16a ，不在这四个数当中，所以这种情况不成立，因此 4c ， 2d ，可得 y 只能为 3 ， x 为 12，此时第四行中的被除数为偶数，只有 6 和 10，经试验只能为 6 ，则第四行算式为 5 6 2 8 （如被除数为 10则第四行算式为 3 10 2 8 ，而 3 已被占用） 剩下的 4 个数为 7 ， 9 ， 10， 11中只有 7 和9 能满足第一行 7 9 8 2 最终的结果如下图所示 . ( 7 9 ) 8 21 1 1 0 1 01 2 3 4 05 6 2 8| | | | | |1 2 6 【例 17】 将 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 这八个数字分别填入右图的八个中，使得图中的六个等式都成立则 V _ + +=+ +=+1287546213 + =+ + +【 解解 析析 】 如图，用字母表示中 的数字，那么第三行的两个中的数分别为 和 ，第三列的两个中的数分别为 和 ，那么 V 中的数为 a b c d 由于八个题库 教师版 2 4 3( )a b c d ， 而 这 八 个 数 分 别 为 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 所 以( 1 2 3 8 ) 3 1 2a b c d L，故 V 中的数为 12可见，不用知道每个中的数具体是多少就可以求出 V 中的数，但是我们还是应该求出八个中的数具体是多少因为 12 只能等于48 或者 57 ，所以第三行的两个加数和第 3 列的两个加数应分别为 48， 或 57， ，而 4 又只能等于 13 ，相应地， 8 只能分解为 26 ，即第一行和第二行的两个加数应分别为 1， 或 2， ，具体排列如右上图所示（填法不唯一） 。 【 巩巩 固固 】 下图中有五个正方形和 12个圆圈，将 112 填入圆圈中，使得每个正方形四角上圆圈中的数字之和都相等那么这个和是多少 ? 8 61 10 2 912 3 11 45 7【 解解 析析 】 设每个正方形四角上圆圈中的数字之和为 x ，则由 5 个正方形四角的数字之和，相当于将 1 12相加，再将中间四个圆圈中的数加两遍，可得 ： 1 2 1 2 2 5 L ，解得 26x ，即这个和为 26具体填法如右上图 。 【例 18】 请将 1， 2， 3， ， 10 这 10 个自然数填入图中的 10 个小圆圈内，使得图中的 10 条直线上圆圈内数字之和都相等 那么乘积 A B C ？ 解解 析析 】 对于本题，可以通过“ 10 条直线上圆圈内数字之和都相等” (实际上是 11 条 )这一等量关系，将每一个小圆圈中的数表示出来由于每一条直线上的数之和都为 A B C ，可得图中每一个小圆圈中的数如下图 。 2 A + 2 2 出发的只有两个数字的那条线段，它们的数字和都是 A B C ， 可以 得到 ， 3 3 2A B C B C A C ， 可得 2A B C ， 代入 得2 3 3 3B C B C ，即 6， 只 能 是 1C ， 6B ， 28A B