七年级上册数学《一元一次方程》-知识点整理

一元一次方程知识要点解析一元一次方程知识要点解析 一 一元一次方程构成要素 一 一元一次方程构成要素 1 是等式 2 含有未知数 且只能是一个 3 未知数的次数有且为 1 一次整式 且次数不为 0 二 一元一次方程的基本形式 二 一元一次方程的基本形式 ax b 三 一元方程的解 三 一元方程的解 使方程中等号左右两边相等的未知数的值 四 解方程的理论依据 四 解方程的理论依据 等式的基本性质 性质 1 等式两边都加上 或减去 同一个数 或式子 结果仍相等 用式子形式表示为 如果a b 那么 a c b c 性质 2 等式两边乘同一个数 或除以同一个不为 0 的数 结果仍相等 用式子形式表示为 如果 a b 那么a c b c a c b c c 0 五 解一元一次方程的基本步骤 五 解一元一次方程的基本步骤 变形步变形步 骤骤 具具 体体 方方 法法 变变 形形 根根 据据 注注 意意 事事 项项 去分母去分母 方程两边都乘 以各个分母的最小 公倍数 等式性质 2 1 不能漏乘不含分母的项 2 分数线起到括号作用 去掉 分母后 如果分子是多项式 则 要加括号 去括号去括号 先去小括号 再去中括号 最后 去大括号 乘法分配律 去括号法则 1 分配律应满足分配到每一项 2 注意符号 特别是去掉括号 移移 项项 把含有未知数 的项移到方程的一 边 不含有未知数 的项移到另一边 等式性质 1 1 移项要变号 2 一般把含有未知数的项移到 方程左边 其余项移到右边 合并同合并同 类类 项项 把方程中的同类 项分别合并 化成 的形式 bax 0 a 合并同类项 法则 合并同类项时 把同类项的 系数相加 字母与字母的指数不 变 未知数未知数 的系数的系数 化成化成 1 1 方程两边同除 以未知数的系数 a 得 a b x 等式性质 2 分子 分母不能颠倒 注意 注意 我们在解一元一次方程时 既要学会按部就班 严格按步骤 地解方程 又要善于认真 观察方程的结构特征 灵活采用解方程的一些技巧 随机应变 灵活打乱步骤 解方程 能达到 事半功倍的效果 对于一般解题步骤与解题技巧来说 前者是基础 后者是机智 只有真正掌 握了一般步骤 才能熟能生巧 解一元一次方程常用的技巧有 解一元一次方程常用的技巧有 1 有多重括号 去括号与合并同类项可交替进行 2 当括号内含有分数时 常由外向内先去括号 再去分母 3 当分母中含有小数时 可用分数的基本性质化成整数 4 运用整体思想 即把含有未知数的代数式看作整体进行变形 六 六 实际问题与一元一次方程 1 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤是 1 审题 搞清已知量和待求量 分析数量关系 审题 寻找等量关系 2 根据数量关系与解题需要设出未知数 建立方程 3 解方程 4 检查和反思解题过程 检验答案的正确性以及是否符合题意 并作答 2 用一元一次方程解决实际问题的典型类型 1 数字问题 数的表示方法 一个三位数的百位数字为a 十位数字是b 个 位数字为c则这个三位数表示为 abc 10010abcabc 其中a b c均为整数 且 1 a 9 0 b 9 0 c 9 用一个字母表示连续的自然数 奇数 偶数等规律数 2 和 差 倍 分问题 关键词是 是几倍 增加几倍 增加到几倍 增加百分之 几 增长率 哪个量比哪个量 3 工程问题 工作总量 工作效率 工作时间 注意产品配套问题 4 行程问题 路程 速度 时间 5 利润问题 商品利润 商品售价 商品成本价 商品利润率 商品成本价 商品售价 商品成本价 1 利润率 6 利息问题 顾客存入银行的钱叫做本金 银行付给顾客的酬金叫利息 本金 和利息合称本息和 存入银行的单位时间数叫做期数 利息与本金的比叫做利 率 利息的 20 付利息税 利息 本金 利率 期数 本息和 本金 利息 利息税 利息 税率 20 7 几何问题 必须掌握几何图形的性质 周长 面积等计算公式 注意等积变形 8 优化方案问题 9 浓度问题 溶液 浓度 溶质 10 盈亏问题 关键从盈 过剩 亏 不足 两个角度把握事物的总量 11 年龄问题 抓住人与人的岁数是同时增长的 12 增长率问题 原量 1 增长率 增长后的量 原量 1 减少率 减少 后的量 七 思想方法 思想方法 本单元常用到的数学思想方法小结 1 建模思想 通过对实际问题中的数量关系的分析 抽象成数学模型 建立方程的思想 2 方程思想 用方程解决实际问题的思想就是方程思想 3 化归思想 解一元一次方程的过程 实质上就是利用去分母 去括号 移项 合并同类 项 未知数的系数化为 1 等各种同解变形 不断地用新的更简单的方程来代替原来的方 程 最后逐步把方程转化为 x a 的形式 体现了化 未知 为 已知 的化归思想 4 数形结合思想 在列方程解决问题时 借助于线段示意图和图表等来分析数量关系 使问题中的数量关系很直观地展示出来 体现了数形结合的优越性 5 分类思想 在解含字母系数的方程和含绝对值符号的方程过程中往往需要分类讨论 在解有关方案设计的实际问题的过程中往往也要注意分类思想在过程中的运用 一元一次方程一元一次方程 一 本节学习指导一 本节学习指导 本节我们要掌握一元一次方程的解法 需要多做一些练习题 本节有配套学习视频 二 知识要点二 知识要点 1 1 一元一次方程 一元一次方程 1 含有未知数的等式是方程 2 只含有一个未知数 元 未知数的次数都是 1 的方程叫做一元一次方程 3 分析实际问题中的数量关系 利用其中的等量关系列出方程 是用数学解决实际问题的 一种方法 4 列方程解决实际问题的步骤 设未知数 找等量关系列方程 5 求出使方程左右两边的值相等的未知数的值 叫做方程的解 6 求方程的解的过程 叫做解方程 2 2 等式的性质 等式的性质 1 用等号 表示相等关系的式子叫做等式 2 等式的性质 1 等式两边加 或减 同一个数 或式子 结果仍相等 如果 a b 那么 a c b c 3 等式的性质 2 等式两边乘同一个数 或除以一个不为 0 的数 结果仍相等 如果 a b 那么 ac bc 如果 a b 且 c 0 那么 c b c a 4 运用等式的性质时要注意三点 等式两边都要参加运算 并且是作同一种运算 等式两边加或减 乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子 等式两边不能都除以 0 即 0 不能作除数或分母 2 2 解一元一次方程 解一元一次方程 合并同类项与移项合并同类项与移项 1 合并同类项的依据 乘法分配律 合并同类项的作用 是一种恒等变形 起到 化简 的作用 它使方程变得简单 更接近 x a a 是常数 的形式 2 把等式一边的某项变号后移到另一边 叫做移项 3 移项依据 等式的性质 1 移项的作用 通过移项 使含未知数的项与常数项分别位于方 程左右两边 使方程更接近于 x a a 是常数 的形式 3 3 解一元一次方程 解一元一次方程 去括号与去分母去括号与去分母 1 方程两边都乘以各分母的最小公倍数 使方程不在含有分母 这样的变形叫做去分母 2 顺流速度 静水速度 水流速度 逆流速度 静水速度 水流速度 3 工作总量 工作效率 工作时间 4 工作量 人均效率 人数 时间 4 4 实际问题与一元一次方程 实际问题与一元一次方程 1 售价指商品卖出去时的的实际售价 2 进价指的是商家从批发部或厂家批发来的价格 进价指商品的买入价 也称成本价 3 标价指的是商家所标出的每件物品的原价 它与售价不同 它指的是原价 4 打折指的是原价乘以十分之几或百分之几 则称将标价打了几折 5 盈亏问题 利润 售价 成本 售价 进价 利润 售价 进价 进价 利润率 6 产油量 油菜籽亩产量 含油率 种植面积 7 应用 行程问题 路程 时间 速度 工程问题 工作总量 工作效率 时间 储蓄利润问题 利息 本金 利率 时间 本息和 本金 利息 三 经验之谈 三 经验之谈 解一元一次方程过程中 在去括号 去分母时要格外细心 去分母时等式两边都要乘以公 倍数 第一节第一节 一次函数基本概念一次函数基本概念 1 方程方程 含 的等式叫做方程 2 方程的解方程的解 使方程的等号左右两边相等的 就是方程的解 3 解解 方方 程程 求 的过程叫做解方程 4 一元一次方程一元一次方程 只含有一个未知数 元 未知数的最高次数是 1 的整式方程叫做一元一次方程 5 等式的基本性质等式的基本性质 等式的性质等式的性质 1 1 等式的两边同时加 或减 结果仍相等 即 如果 a b 那么 a c b 等式的性质等式的性质 2 2 等式的两边同时乘 或除以 数 结果仍相等 即 如果 a b 那么 ac bc 或 如果 a b 那么 a c b c 6 分数的基本的性质分数的基本的性质 分数的分子 分母同时乘以或除以同一个不为 0 的数 分数的值不变 即 其中 m 0 b a bm am mb ma 求解 1 6 5 0 3 x 2 0 4 x 1 若 a 1 x a 3 6 是关于 x 的一元一次方程 则 a x 2 当 x 时 单项式 5a2x 1b2 与 8ax 3b2是同类项 3 若 则 x y 02 2 yyx 1 若 yxxy则 0 5 2 2 2 若是同类项 则 m n 313 92baba nmn 与 3 若的和为 0 则 m n 3p 213 ynxymx mp 与 4 代数式 x 6 与 3 x 2 的值互为相反数 则 x 的值为 5 若与 互为倒数 则 x 3 4 x 5 6 6 方程 去分母可变形为 5x4x 1 23 价价 价价 7 代数式 5m 与 5 m 的值互为相反数 则 m 的值等于 1 4 1 4 8 如果 x 5 是方程 ax 5 10 4a 的解 那么 a 9 方程的解是 434xx x 10 当 x 时 代数式与代数式的值相等 2 x 2 8x 11 代数式与互为相反数 则 12 aa21 a 第二节第二节 一元一次函数的解法一元一次函数的解法 解一元一次方程的一般步骤解一元一次方程的一般步骤 步骤步骤 名名 称称 方方 法法依依 据据注注 意意 事事 项项 1 去分去分 母母 在方程两边同时乘以 所有分母的最小公倍数 即把每个含分母的部 分和不含分母的部分都 乘以所有分母的最小公 倍数 等式性质 2 1 不含分母的项也要乘以最 小公倍数 2 分子是多项式 的一定要先用括号括起来 2 去括去括 号号 去括号法则 可先分配 再去括号 乘法分配律 注意正确的去掉括号前带负 数的括号 3 移项移项 把未知项移到议程的 一边 左边 常数项 移到另一边 右边 等式性质 1移项一定要改变符号 4 合并合并 同类同类 项项 分别将未知项的系数 相加 常数项相加 1 整式的加减 2 有理数的加 法法则 单独的一个未知数的系数为 1 5 系数系数 化为化为 1 1 在方程两边同时除以 未知数的系数 方程两 边同时乘以未知数系数 的倒数 等式性质 2 不要颠倒了被除数和除数 未知数的系数作除数 分母 6 检根 x a 方法 把 x a 分别代入原方程的两边 分别计算出结果 若 左边 右边 则 x a 是方程的解 若 左边 右边 则 x a 不是方程的解 注 当题目要求时 此步骤必须表达出来 1 2 8 3x 1 9 5x 11 2 2x 7 301 4 12 6 110 3 12 xxx 3 4 5 2 x 1 5 x 1 1 36 价 4x1 55x0 81 2x 0 50 20 1 112 2 1 1 223 xxxx 说明 1 上表仅说明了在解一元一次方程时经常用到的几个步骤 但并不是说解每一个方程 都必须经过五个步骤 2 解方程时 一定要先先认真观察方程的形式 再再选择步骤和方法 3 对于形式较复杂的方程 可依据有效的数学知识将其转化或变形成我们常见的形式 再依照一般方法解 第三节第三节 一元一次方程与应用问题及实际问题一元一次方程与应用问题及实际问题 初中阶段几个主要的运用问题及其数量关系 1 行程问题 行程问题 基本量及关系基本量及关系 路程 速度 时间 时间 时间 路程 速度 速度 路程 典型问题 相遇问题相遇问题中的相等关系 一个的行程 另一个的行程 两者之间的距离 追及问题追及问题中的相等关系 追及者的行程 被追者的行程 相距的路程 顺 逆 风 水 行驶问题顺 逆 风 水 行驶问题 顺速 V静 静 风 水 速 风 水 速 逆速 V静 静 风 水 速 风 水 速 2 销售问题 销售问题 基基 本本 量 量 成本 进价 售价 实售价 利润 亏损额 利润率 亏损率 基本关系基本关系 利润 售价 成本 亏损额 成本 售价 成本 利润 利润率 成本 亏损额 亏损率 利润 成本 利润率 亏损额 成本 亏损率 3 工程问题 工程问题 基本量及关系基本量及关系 工作总量 工作效率 工作时间 工作效率 工作总量 工作时间 工作时间 工作总量 工作效率 4 分配型问题 分配型问题 此问题中一般存在不变量 而不变量正是列方程必不可少的一种相等关系 1 一架飞机在两城之间飞行 顺风需要 4 小时 逆风需要 4 5 小时 测得风速为 45 千米 时 求两城之间的距离 2 某商店开张为吸引顾客 所有商品一律按八折优惠出售 已知某种旅游鞋每双进价为 60 元 八折出售后 商家所获利润率为 40 问这种鞋的标价是多少元 优惠价是多少 3 某文艺团体组织了一场义演为 希望工程 募捐 共售出 1000 张门票 已知成人票每张 8 元 学生票每张 5 元 共得票款 6950 元 成人票和学生票各几张 4 甲 乙两个水池共蓄水 50t 甲池用去 5t 乙池又注入 8t 后 甲池的水比乙池的水少 3t 问 原来甲 乙两个水池各有多少吨水 5 今年哥俩的岁数加起来是 55 岁 曾经有一年 哥哥的岁数与今年弟弟的岁数相同 那时哥 哥的岁数恰好是弟弟岁数的两倍 哥哥今年几岁 典型题列典型题列 1 取何值时 代数式 与 的值相等 x6 3 x 83 2 x 2 已知方程的解与方程的解相同 求m的值 104xx 522xm 3 解下列方程 x 2 2x 1 8 5 x 16 3 x 4 2009 20102009433221 xxxx 2010 2009 1 1 12 1 6 1 2 1 nn 4 已知 a 3 2a 5 x a 3 y 6 0 是一元一次方程 求 a 的值 5 已知是关于 x 的方程 的解 求的值 1x 32 7350 xxkx 2 21195kk 6 如果 则的值 0112 2 yxx 2 1x y 7 已知有理数 x y z 满足关系式 x 4 x y z 0 判断 5x 3y 3z 2001的个位数是多少 8 一个 6 位数 2abcde 的 3 倍等于 abcde9 则这个 6 位数是多少 9 已知 p q 都是质数 并且以 x 为未知数的方程 px 5q 97 的解为 1 求代数式 40p 101q 4 的值 10 阅读短文 利用列方程可将循环小数化为分数 如求0 5 方法是 设x 0 5 即x 0 555 将 方程两边同乘以10 得10 x 5 55 即10 x 5 0 555 而x 0 55 x 9 5 试根据上述方法 把 0 9 与 0 25 化为分数 11 有一个两位数 它的十位数字与个位数字的和为 8 并且这个两位数除以十位数字与个位数字的差 所 得到的商为 11 余数为 5 这个数是多少 12 甲对已说 当我是你现在的年龄时 你才 4 岁 已对甲说 当我是你现在的年龄时 你已经 61 岁 问 甲乙现在的年龄是多少岁 13 一个三位数 它的百位上的数字比十位上的数字的 2 倍大 1 个位上的数字比十位上的数字的 3 倍小 1 若这个三位数的百位数字与个位数字对调 那么得到的三位数比原来的数大 99 求原来的三位数 14 某幼儿园小班共有儿童若干人 有一筐桔子要分给这些儿童 如果每人分 6 个 则还差 6 个桔子 如果 每人分 5 个 则多出了 5 个桔子 问有多少个儿童 多少个桔子 15 为了促销 甲 乙两种商品降价出售 甲种商品七折优惠 乙种商品九折优惠 共卖出 386 元 这两种 商品促销前售价之和为 500 元 问这两种商品原售价分别为多少元 16 一个车间有工人 70 人 每人平均每天加工轴杆 15 根或轴承 12 个 问应怎样分配工人 才使所生产的 轴杆和轴承刚好配套 一个轴杆 两个轴承配成一套 7 某班学生到农村劳动 一名男生因病不能参加 另三名男生体质较弱 教师安排他们与女生一起抬土 其余男生全部挑土 一根扁担 两个筐 这样安排劳动时恰需筐 68 个 扁担 40 根 问这个班男女生各 多少人 18 甲乙二人 若乙给甲 10 元 则甲所有的钱为乙的 3 倍 若甲给乙 10 元 则甲所有的钱为乙的 2 倍多 10 元 求甲乙各拥有多少钱 19 阿木和阿海做加法 阿木将加数后面多写一个 0 所得的和是 2342 阿海将同一个加数后面少写一个 0 所得的和是 65 试求原来的加数 20 甲 乙二人相距 6km 二人同向而行 甲 3 小时可追上乙 相向而行 1 小时相遇 二人的平均速度各 是多少 21 某校师生到甲 乙两个工厂参加劳动 如果从甲厂抽 9 人到乙厂 则两厂的人数相同 如果从乙厂抽 5 人到甲厂 则甲厂的人数是乙厂的 2 倍 到两个工厂的人数各是多少 22 某幼儿园分萍果 若每人 3 个 则剩 2 个 若每人 4 个 则有一个少 1 个 问幼儿园有几个小朋友 23 需要用多少每千克售 4 2 元的糖果才能与每千克售 3 4 元的糖果混合成每千克售 3 6 元的杂拌糖 200 千 克 24 七年级足球循环赛中 规定胜一场得 3 分 平一场得 1 分 负一场得 0 分 现在七 一 班已赛 8 场 获 19 分 那 么七 一 班现在的战况如何 25 今有鸡 兔同笼 上有三十五头 下有九十四足 问鸡兔各几何 题目大意 在现有鸡 兔在同一个 笼子里 上边数有 35 个头 下边数有 94 只脚 求鸡 兔各有多少只 26 古题 我问开店李三公 众客都来到店中 一房七客多七客 一房九客一房空 那么有 多少间房 有多少位客人 27 某地生产一种绿色蔬菜 若在市场上直接销售 每吨利润为 1000 元 经粗加工后销售 每吨利润可达 4500 元 经精加工后销售 每吨利润涨至 7500 元 当地一家农工商公司收购这种蔬菜 140 吨 该公司加 工厂的生产能力是 如果对蔬菜进行粗加工 每天可加工 16 吨 如果进行精加工 每天可加工 6 吨 但 两种加工方式不能赔不是进行 受季节条件的限制 公司必须在 15 天之内将这批蔬菜全部销售或加工完 毕 为此公司研究了三种加工方案 方案一 将蔬菜全部进行粗加工 方案二 尽可能多地进行精加工 来不及加工的蔬菜在市场上全部销售 方案三 将部分蔬菜进行粗加工 其余蔬菜进行精加工 并恰好在 15 天完成 你认为哪种方案获利最多 为什么 28 防汛指挥部决定冒雨开水泵排水 假设每小时雨水增加量相同 每台水泵排水量也相同 若开一台水泵 10 小时可排完积水 开两台水泵 3 小时排完积水 问开三台水泵多少小时可排完积水 29 小明想在两种灯中选购一种 其中一种是 10 瓦 即 0 01 千瓦 的节能灯 售价 50 元 另一种是 100 瓦 即 0 1 千瓦 的白炽灯 售价 5 元 两种灯的照明效果一样 使用寿命也相同 3000 小时内 节 能灯售价高 但较省电 白炽灯售价低 但用电多 电费 0 5 元 千瓦 时 1 照明时间 500 小时选哪一种灯省钱 2 照明时间 1500 小时选哪一种灯省钱 3 照明多少时间用两种灯费用相等 30 戴着红凉帽的若干女生与戴着白凉帽的若干男生同租一游船在公园划船 一女生说 我看到船上红 白两种帽子一样多 一男生说 我看到的红帽子是白帽子的 2 倍 请问 该船上男 女生各几人 31 甲 乙两人同时加工一批零件 前 3 小时两人共加工 126 件 后 5 小时甲先花了 1 小时修理工具 因此 甲每小时比以前多加工 10 件 结果在后一段时间内 甲比乙多加工了 10 件 甲 乙两人原来每小时各加工 多少件 32 甲 已 丙三人共生产一批零件 甲生产的是已 丙生产总数的 1 3 乙生产的是甲 丙生产总数的 1 4 丙生产了 77 个 问三人一共三层零件多少 33 一只漏水的船 当发现漏水时 已经进了一些水 水匀速进入船内 如果安排 21 人淘水 8 小时淘 完 如果安排 24 人淘水 则 6 小时淘完 如果要求 2 小时淘完 需要安排多少人 34 牧场有一片青草 每天的生长速度相同 已知这片草地可供 15 头牛吃 20 天 或者 38 只梅花鹿吃 12 天 如果 1 头牛吃草量等于 2 只梅花鹿的吃草量 那么 8 头牛与 32 只梅花鹿一起吃 可以吃多少天 35 小狗跑 5 步的时间 小鹿可以跑 6 步 小鹿跑 6 步的距离等于小狗跑 7 步 现在小狗在小鹿开跑前从同 一起跑点先跑 55 步 问小鹿需要跑多少步才能追上小狗 36 某手表每小时比准确时间慢 3 分钟 若在上午 8 点 30 分与准确时间对准 则在当天下午该手表指向 2 点 50 分时 准确时间该多少 37 两支同样长的新蜡烛 粗蜡烛全部点完要 2 小时 细蜡烛全部点完要 1 小时 同时点燃这两支蜡烛 到 同时熄灭时 剩下粗蜡烛的长是剩下细蜡烛长的 3 倍 求蜡烛点燃了多长时间 38 配浓度是 45 的盐水 12 千克 现有 10 的盐水与 85 的盐水 这两种盐水各需多少 39 甲 乙二人分别从 A B 两地同时出发 相向而行 出发时他们的速度之比为 3 2 相遇后 甲的速度 增加 20 乙的速度增加了 30 这样 当甲到达 B 地时 乙离 A 地还有 14 公里 那么两地的距离为多少公 里 一元一次方程整章综合练习题一元一次方程整章综合练习题 一 选择题 每小题 3 分 共 30 分 1 方程的解是 则等于 042 ax2 xa A B C D 8 0 2 8 2 代数式 1 3 x x 的值等于 1 时 x的值是 A 3 B 1 C 3 D 1 3 已知代数式87x 与62x 的值互为相反数 那么x的值等于 A 13 10 B 1 6 C 13 10 D 1 6 4 方程的解是 则等于 042 ax2 xa A B C D 8 0 2 8 5 若ab 互为相反数 0a 则0axb 的根是 A 1 B 1 C 1 或 1 D 任意数 6 当3x 时 代数式 2 3510 xax 的值为 7 则a等于 A 2 B 2 C 1 D 1 7 一份数学试卷 只有 25 个选择题 做对一题得 4 分 做错一题倒扣 1 分 某同学做了全 部试卷 得 了 70 分 他一共做对了 A 17 道 B 18 道 C 19 道 D 20 道 8 解方程时 去分母正确的是 3 1 1 2 xx A B C D 2233 xx2263 xx1263 xx1233 xx 9 2005 深圳 一件衣服标价 132 元 若以 9 折降价出售 仍可获利 10 则这件衣服 的进价是 A 106 元 B 105 元 C 118 元 D 108 元 10 2005 常德 右边给出的是 2004 年 3 月份的日历表 任意圈 出一竖列上相邻的三个数 请你运用方程思想来研究 发现这三个数的和不可能是 A 69 B 54 C 27 D 40 二 填空题 每小题 3 分 共 30 分 11 已知 54 1 2 3 m x 是关于x的一元一次方程 那么m 12 方程 3121 23 xx 的标准形式为 13 已知 36 3 0 xy 则32xy 的值是 14 当x 时 28x 的值等于 1 4 的倒数 15 方程4 23 xm x 与方程 6 6 2 x 的解一样 则m 16 若是方程的一个解 则 4 x086 2 xax a 17 某班学生为希望工程共捐款 131 元 比每人平均 2 元还多 35 元 设这个班的学生有 x人 根据题意 列方程为 18 一根长 18 米的铁丝围成一个长是宽的 2 倍的长方形的面积为 19 成都至重庆铁路全长 504 千米 一辆快车以 90 千米 时的速度从重庆出发 1 小时后 另有 一辆慢车以 48 千米 时的速度从成都出发 则慢车出发 小时后两车相遇 20 2005 绵阳 我市某县城为鼓励居民节约用水 对自来水用户按分段计费方式收取 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 水费 若每月用水不超过 7 立方米 则按每立方米 1 元收费 若每月用水超过 7 立方米 则超 过部分按每立方米 2 元收费 如果某居民户今年 5 月缴纳了 17 元水费 那么这户居民今年 5 月的用水量为 立方米 三 解答题 每小题 12 分 共 60 分 21 解方程 1 21101 1 412 xx x 2 2 21 2 1 3 3 xxx 1 7 03 0 27 1 xx xx2152831 1 4 2 3 12 yy3124 23 1 32 xx x 22 在甲处劳动的有 27 人 在乙处劳动的有 19 人 现在另调 20 人去支援 使在甲处人数为在 乙处的人数的 2 倍 应调往甲 乙两处各多少人 23 一项工作 甲单独做需 15 天完成 乙单独做需 12 天完成 这项工作由甲 乙两人合做 并 且施工期间乙休息 7 天 问几天完成 24 张老师带领该校七年级 三好学生 去开展夏令营活动 甲旅行社说 如果老师买全票 一张 则学生可享受半价优惠 乙旅行社说 包括老师在内按全票价的 6 折优惠 若全票 价为 240 元 当学生人数为多少人时 两家旅行社的收费一样多 25 某七年级学生在做作业时 不慎将墨水瓶打翻 使一道作业题只看到如下字样 甲 乙 两地相距 40 千米 摩托车的速度为 45 千米 小时 运货汽车的速度为 35 千米 小时 涂黑部分表示补墨水覆盖的若干文字 请将这道作业题补充完整 并列方程解答 26 本题 7 分 某天 一蔬菜经营户用 60 元钱从蔬菜批发市场批了西红柿和豆角共 40kg 到 菜市场去卖 西红柿和豆角这天的批发价与零售价如下表所示 问 他当天卖完这些西红柿和 豆角能赚多少钱 27 雅丽服装厂童装车间有 40 名工人 缝制一种儿 童套装 一件上衣和两条裤子配成一套 已知 1 名工人一天可缝制童装上衣 3 件或裤子 4 件 问怎样分配工人才能使缝制出来的上衣和裤子恰好配套 七上第七上第 3 章一元一次方程综合练章一元一次方程综合练 一一 选择题选择题 1 x 3 是下列哪个方程的解 A 3x 1 9 0 B x 10 4x C x x 2 3 D 2x 7 12 2 下列四组变形中 属于去括号的是 A 5x 4 0 则 5x 4 B 3 x 2 则 x 6 C 3x 2 4x 5 则 3x 4x 2 5 D 5x 2 1 则 5x 3 3 将方程 3 m 1 x 6 2m 3 中 x 2 时 m 的值是 A m 1 4 B m 1 4 C m 4 D m 4 4 当 x 3 时 化简3423xx 为 A x 5 B x 1 C 7x 1 D 5 7x 5 已知 mx 2 3x 4 是关于 x 的一元一次方程 则 m 的值为 A 任意数 B m 3 C m 2 D m 0 6 已知关于的方程是一元一次方程 则 x 1 2 53 k kxk k 品名西红柿豆角 批发价 元 1 21 6 零售价 元 1 82 5 A 2 B 2 C 2 D 1 7 甲厂的年产值为 7450 万元 比乙厂的年产值的 5 倍还多 420 万元 若设乙厂的年产值为x 万元 下列所列方程中错误的是 A 5x 420 7450B 7450 5x 420 C 7450 5x 420 0D 5x 420 7450 8 某种品牌的彩电降价 30 后 每台售价为a元 则该品牌彩电每台原价应为 A 0 7a元B 0 3a元C 元D 元 a 0 3 a 0 7 9 A B 两城相距 720km 普快列车从 A 城出发 120km后 特快列车从 B 城开往 A 城 6h后两 车相遇 若普快列车是特快列车速度的 且设普快列车速度为xkm h 则下列所列方程错误的 2 3 是 A 720 6x 6 x 120B 720 120 6 x x 3 2 3 2 C 6x 6 x 120 720D 6 x x 120 720 3 2 3 2 10 用两根长 12cm的铁丝分别围成正方形和长与宽之比为 2 1 的长方形 则长方形和正方 形的面积依次为 A 9cm2和 8cm2B 8cm2和 9cm2C 32cm2和 36cm2D 36cm2和 32cm2 11 有一位旅客携带了 30kg重的行李从上海乘飞机去北京 按民航总局规定 旅客最多可 免费携带 20kg重的行李 超重部分每千克按飞机票价格 1 5 购买行李票 现该旅客购买了 180 元的行李票 则他的飞机票价格应是 A 800 元B 1000 元C 1200 元D 1500 元 2 填空题 27 若 x 2 是方程 2x a 7 的解 那么 a 2 则 x y 3 若 9ax b7 与 7a 3x 4 b 7是同类项 则 x 4 一个两位数 个位上的数字是十位上数字的 3 倍 它们的和是 12 那么这个两位数是 5 关于 x 的方程 2x 4 3m 和 x 2 m 有相同的根 那么 m 6 x关于 的方程是一元一次方程 那么 m mxm 130 2 7 若 m n 1 那么 4 2m 2n 的值为 8 某校教师假期外出考察 4 天 已知这四天的日期之和是 42 那么这四天的日期分别是 4 如果 2 2 5 和的平均数为 5 而 3 4 5 和的平均数也是 5 那么 xxyx y 5 飞机在 A B 两城之间飞行 顺风速度是 h 逆风速度是 h 风的速度是akmb km h 则 xkmax 三 解下列方程 11 17 2 3y 5 12 y 8 1 7y 12 3x 26 6x 9 12x 50 7x 5 8x 4 15 3x 1 5 0 2 0 2x 0 1 0 09 54155 2 3412 yyy 322121 1 245 xxx 1 4 12 6 110 3 12 xxx 四 应用题 1 某城市按以下规定收取每月煤气费 用煤气如果不超过 60 立方米 按 0 8 元收费 超过 60 立方米 超过部分按每立方米 1 2 元收费 已知某用户 10 月份的煤气费平均每立方米 0 88 元 求该用户 10 月应交的煤气费是多少元 2 北京 上海两厂能制造同型号电子计算机 除本地使用外 北京可调运给外地 10 台 上海 可调运 给外地 4 台 现协议给重庆 8 台 武汉 6 台 每台运费如下表 现在有一种调运方案 的总运费为 7600 元 问这种调运方案中北京 上海分别该给武汉 重庆各多少台 3 水池内有一进水管 6 小时可注满空 池 池底有一出水管 8 小时放完满池 的水 一次注水时因一时疏忽 出水管 没有闭紧 这时发现已过去 40 分钟 马上将出水管关闭 问还需要多久方可注满水池 4 一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶 用了 2 小时 从乙码头返回甲码头逆流行驶 用了 2 5 小时 已知水流的速度是 3 千米 时 求船在静水中的平均速度 5 一个两位数 十位上 的数字与个位上数字和是 8 将十位上数字与个位上数字对调 得到新 数比原数的 2 倍多 l0 求原来的两位数 6 把一些本分给学生 如果每人 3 本 则剩余 20 本 如果每人分 4 本 则缺少 25 本 这个 班有多少学生 7 用白铁皮做罐头盒 每张铁皮可制盒身 16 个 或盒底 43 个 一个盒身与两个盒底配成一套 罐头盒 现有 150 张白铁皮 用多少张制盒身 多少张制盒底 可以正好制成整套罐头盒 8 2006 年吉林 据某统计数据显示 在我国的 664 座城市中 按水资源情况可分为三类 暂 不缺水城市 一般缺水城市和严重缺水城市 其中 暂不缺水城市数比严重缺水城市数的 4 倍 少 50 座 一般缺水城市数是严重缺水城市数的 2 倍 求严重缺水城市有多少座 9 甲 乙两个工人接受了加工一批服装的任务 规定两人各加工这批服装的一半 已知乙的 工作效率相当于甲的 工作了 8 小时 甲完成了自己的任务 这时乙还差 24 件服装没有完成 4 5 终点 起点 武汉重庆 北京 400800 上海 300500 这批服装共有多少件 一元一次方程应用题 知能点 1 市场经济 打折销售问题 1 商品利润 商品售价 商品成本价 2 商品利润率 100 价价价价 价价价价价 3 商品销售额 商品销售价 商品销售量 4 商品的销售利润 销售价 成本价 销 售量 5 商品打几折出售 就是按原价的百分之几十出售 如商品打 8 折出售 即按原价的 80 出售 1 某商店开张 为了吸引顾客 所有商品一律按八折优惠出售 已知某种皮鞋进价 60 元一 双 八折出售后商家获利润率为 40 问这种皮鞋标价是多少元 优惠价是多少元 2 一家商店将某种服装按进价提高 40 后标价 又以 8 折优惠卖出 结果每件仍获利 15 元 这种服装每件的进价是多少 3 一家商店将一种自行车按进价提高 45 后标价 又以八折优惠卖出 结果每辆仍获利 50 元 这种自行车每辆的进价是多少元 若设这种自行车每辆的进价是 x 元 那么所列方程为 A 45 1 80 x x 50 B 80 1 45 x x 50 C x 80 1 45 x 50 D 80 1 45 x x 50 4 某商品的进价为 800 元 出售时标价为 1200 元 后来由于该商品积压 商店准备打折出售 但要保持利润率不低于 5 则至多打几折 5 一家商店将某种型号的彩电先按原售价提高 40 然后在广告中写上 大酬宾 八折优惠 经顾客投拆后 拆法部门按已得非法收入的 10 倍处以每台 2700 元的罚款 求每台彩电 的原售价 知能点 2 方案选择问题 6 某蔬菜公司的一种绿色蔬菜 若在市场上直接销售 每吨利润为 1000 元 经粗加工后销 售 每吨利润可达 4500 元 经精加工后销售 每吨利润涨至 7500 元 当地一家公司收购这 种蔬菜 140 吨 该公司的加工生产能力是 如果对蔬菜进行精加工 每天可加工 16 吨 如 果进行精加工 每天可加工 6 吨 但两种加工方式不能同时进行 受季度等条件限制 公 司必须在 15 天将这批蔬菜全部销售或加工完毕 为此公司研制了三种可行方案 方案一 将蔬菜全部进行粗加工 方案二 尽可能多地对蔬菜进行粗加工 没来得及进行加工的蔬菜 在市场上直接销 售 方案三 将部分蔬菜进行精加工 其余蔬菜进行粗加工 并恰好 15 天完成 你认为哪种方案获利最多 为什么 7 某市移动通讯公司开设了两种通讯业务 全球通 使用者先缴 50 元月基础费 然后每 通话 1 分钟 再付电话费 0 2 元 神州行 不缴月基础费 每通话 1 分钟需付话费 0 4 元 这里均指市内电话 若一个月内通话 x 分钟 两种通话方式的费用分别为 y1元和 y2 元 1 写出 y1 y2与 x 之间的函数关系式 即等式 2 一个月内通话多少分钟 两种通话方式的费用相同 3 若某人预计一个月内使用话费 120 元 则应选择哪一种通话方式较合算 8 某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时 0 40 元 若每月用电量超过 a 千瓦时 则超过部 分按基本电价的 70 收费 1 某户八月份用电 84 千瓦时 共交电费 30 72 元 求 a 2 若该用户九月份的平均电费为 0 36 元 则九月份共用电多少千瓦时 应交电费是多 少元 9 某家电商场计划用 9 万元从生产厂家购进 50 台电视机 已知该厂家生产 3 种不同型号的 电视机 出厂价分别为 A 种每台 1500 元 B 种每台 2100 元 C 种每台 2500 元 1 若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共 50 台 用去 9 万元 请你研究一下商 场的进货方案 2 若商场销售一台 A 种电视机可获利 150 元 销售一台 B 种电视机可获利 200 元 销售一台 C 种电视机可获利 250 元 在同时购进两种不同型号的电视机方案中 为了使销售 时获利最多 你选择哪种方案 10 小刚为书房买灯 现有两种灯可供选购 其中一种是 9 瓦的节能灯 售价为 49 元 盏 另一 种是 40 瓦的白炽灯 售价为 18 元 盏 假设两种灯的照明效果一样 使用寿命都可以达到 2800 小时 已知小刚家所在地的电价是每千瓦时 0 5 元 1 设照明时间是 x 小时 请用含 x 的代数式分别表示用一盏节能灯和用一盏白炽灯的费 用 费用 灯的售价 电费 2 小刚想在这种灯中选购两盏 假定照明时间是 3000 小时 使用寿命都是 2800 小时 请你设计一种费用最低的选灯照明方案 并说明理由 知能点 3 储蓄 储蓄利息问题 1 顾客存入银行的钱叫做本金 银行付给顾客的酬金叫利息 本金和利息合称本息和 存入银行的时间叫做期数 利息与本金的比叫做利率 利息的 20 付利息税 2 利息 本金 利率 期数 本息和 本金 利息 利息税 利息 税率 20 3 100 本金 每个期数内的利息 利润 11 某同学把 250 元钱存入银行 整存整取 存期为半年 半年后共得本息和 252 7 元 求 银行半年期的年利率是多少 不计利息税 12 为了准备 6 年后小明上大学的学费 20000 元 他的父亲现在就参加了教育储蓄 下面有三 种教育储蓄方式 1 直接存入一个 6 年期 2 先存入一个三年期 3 年后将本息和自动转存一个三年期 3 先存入一个一年期的 后将本息和自动转存下一个一年期 你认为哪种教 育储蓄方式开始存入的本金比较少 13 小刚的爸爸前年买了某公司的二年期债券 4500 元 今年到期 扣除利息税后 共得本利 和约 4700 元 问这种债券的年利率是多少 精确到 0 01 14 北京海淀区 白云商场购进某种商品的进价是每件 8 元 销售价是每件 10 元 销售价与 进价的差价 2 元就是卖出一件商品所获得的利润 现为了扩大销售量 把每件的销售价 降低 x 出售 但要求卖出一件商品所获得的利润是降价前所获得的利润的 90 则 x 应 等于 A 1 B 1 8 C 2 D 10 15 用若干元人民币购买了一种年利率为 10 的一年期债券 到期后他取出本金的一半用作购 物 剩下的一半和所得的利息又全部买了这种一年期债券 利率不变 到期后得本息和 1320 元 问张叔叔当初购买这咱债券花了多少元 知能点 4 工程问题 工作量 工作效率 工作时间 工作效率 工作量 工作时间 工作时间 工作量 工作效率 完成某项任务的各工作量的和 总工作量 1 16 一件工作 甲独作 10 天完成 乙独作 8 天完成 两人合作几天完成 一 年 2 25 三 年 2 70 六 年 2 88 17 一件工程 甲独做需 15 天完成 乙独做需 12 天完成 现先由甲 乙合作 3 天后 甲有其 他任务 剩下工程由乙单独完成 问乙还要几天才能完成全部工程 18 一个蓄水池有甲 乙两个进水管和一个丙排水管 单独开甲管 6 小时可注满水池 单独开 乙管 8 小时可注满水池 单独开丙管 9 小时可将满池水排空 若先将甲 乙管同时开放 2 小时 然后打开丙管 问打开丙管后几小时可注满水池 19 一批工业最新动态信息输入管理储存网络 甲独做需 6 小时 乙独做需 4 小时 甲先做 30 分钟 然后甲 乙一起做 则甲 乙一起做还需多少小时才能完成工作 20 某车间有 16 名工人 每人每天可加工甲种零件 5 个或乙种零件 4 个 在这 16 名工人中 部分人加工甲种零件 其余的加工乙种零件 已知每加工一个甲种零件可获利 16 元 每加 一个乙种零件可获利 24 元 若此车间一共获利 1440 元 求这一天有几个工人加工甲种零 件 21 一项工程甲单独做需要 10 天 乙需要 12 天 丙单独做需要 15 天 甲 丙先做 3 天后 甲 因事离去 乙参与工作 问还需几天完成 知能点 5 若干应用问题等量关系的规律 1 和 差 倍 分问题 此类题既可有示运算关系 又可表示相等关系 要结合题意特 别注意题目中的关键词语的含义 如相等 和差 几倍 几分之几 多 少 快 慢等 它们 能指导我们正确地列出代数式或方程式 增长量 原有量 增长率 现在量 原有量 增长量 2 等积变形问题 常见几何图形的面积 体积 周长计算公式 依据形虽变 但体积不变 圆柱体的体积公式 V 底面积 高 S h r2h 长方体的体积 V 长 宽 高 abc 22 某粮库装粮食 第一个仓库是第二个仓库存粮的 3 倍 如果从第一个仓库中取出 20 吨放入 第二个仓库中 第二个仓库中的粮食是第一个中的 问每个仓库各有多少粮食 7 5 23 一个装满水的内部长 宽 高分别为 300 毫米 300 毫米和 80 毫米的长方体铁盒中的水 倒入一个内径为 200 毫米的圆柱形水桶中 正好倒满 求圆柱形水桶的高 精确到 0 1 毫米 3 14 24 长方体甲的长 宽 高分别为 260mm 150mm 325mm 长方体乙的底面积为 130 130mm2 又知甲的体积是乙的体积的 2 5 倍 求乙的高 知能点 6 行程问题 基本量之间的关系 路程 速度 时间 时间 路程 速度 速度 路程 时间 1 相遇问题 2 追及问题 快行距 慢行距 原距 快行距 慢行距 原距 3 航行问题 顺水 风 速度 静水 风 速度 水流 风 速度 逆水 风 速度 静水 风 速度 水流 风 速度 抓住两码头间距离不变 水流速和船速 静不速 不变的特点考虑相等关系 25 甲 乙两站相距 480 公里 一列慢车从甲站开出 每小时行 90 公里 一列快车从乙站开 出 每小时行 140 公里 1 慢车先开出 1 小时 快车再开 两车相向而行 问快车开出多少小时后两车相遇 2 两车同时开出 相背而行多少小时后两车相距 600 公里 3 两车同时开出 慢车在快车后面同向而行 多少小时后快车与慢车相距 600 公里 4 两车同时开出同向而行 快车在慢车的后面 多少小时后快车追上慢车 5 慢车开出 1 小时后两车同向而行 快车在慢车后面 快车开出后多少小时追上慢车 此题关键是要理解清楚相向 相背 同向等的含义 弄清行驶过程 故可结合图形分析 26 甲乙两人在同一道路上从相距 5 千米的 A B 两地同向而行 甲的速度为 5 千米 小时 乙 的速度为 3 千米 小时 甲带着一只狗 当甲追乙时 狗先追上乙 再返回遇上甲 再返回追 上乙 依次反复 直至甲追上乙为止 已知狗的速度为 15 千米 小时 求此过程中 狗跑的总 路程是多少 27 某船从 A 地顺流而下到达 B 地 然后逆流返回 到达 A B 两地之间的 C 地 一共航行 了 7 小时 已知此船在静水中的速度为 8 千米 时 水流速度为 2 千米 时 A C 两地之间的路 程为 10 千米 求 A B 两地之间的路程 28 有一火车以每分钟 600 米的速度要过完第一 第二两座铁桥 过