函数的单调性

课 题函数的单调性 知识目标理解函数单调性的概念 掌握判断一些简单函数的单调性的方法 能力目标 1 培养学生分析 归纳能力 抽象思维能力及推理判断能力 养成细心观察 认真分析 严谨论证的良好思维习惯 2 加强对数形结合及分类讨论思想的渗透 培养学生严谨的思维品质 德育目标培养学生探索学习 勇于创新的非智力品质 情感目标情感是教学的润滑剂 通过创设轻松愉快 民主 平等 和谐的学习氛围 让学生真正体验到学习的乐趣 成功的快乐 使学生乐学 会学 学会 教学重点函数单调性的相关概念 教学难点利用定义证明或判断函数的单调性 教学方法主要采用问答式教学法 探究式教学法 讲授法和讨论法 教学用具多媒体电脑 实物投影仪 CAI 课件 教学过程设计意图 一 引入 问题 1 画出下列函数的图像 1 y 2 y 3 y 23 x x 1 x 0 x 4 y 5 y 6 y 32 x34 2 xx 2 x 0 x 说明 1 每四人为一小组 小组成员之间分工合作共同解决问 题 2 教师巡视 对作图不熟练的小组进行指导 3 将 6 个函数图像在大屏幕上投影 问题 2 对比上述函数 能否根据函数的图像进行分类 问题 3 同类型的函数图像具有什么特点 说明 1 多数小组都会根据图像的特性进行分类 得到结论 教 师应引导学生结合图像与解析式 观察 分析 归纳函 数的自变量与函数值间的关系 2 在大屏幕上展示分类结果 电脑动画演示 1 y 和 y 上升的图像 23 xx 0 x 2 y 和 y 下降的图像 32 x 2 x 0 x 3 y 和 y x 1 34 2 xx 二 新授 1 定义 我们将第一类函数叫做增函数 将第二类函数叫做减函数 把函数在某个区间上增大或减小的性质称为单调性 问题 1 请用准确具体的数学语言刻画增函数和减函数 下定义 通过画这几个函数 的图像 一方面复 习常见函数图像的 画法 增强学生的 感性认识 同时为 函数的单调性研究 作下铺垫 通过对比 归纳图 像的特点 增强认 识 在分类的同时 寻求分类的依据 学生寻找发现的过 程也是学生对单调 性的初步认识过程 分类依据的寻求可 以使学生学会研究 问题 分析问 题 使感性认识得 以升华 学生在高中阶段以 至在以后的学习中 经常会遇到一些概 念 或定义 能否 抓住定义中的关键 词语 是能否正确 地 深入地理解和 问题 2 能说反比例函数 y 和二次函数 y 在整个 x 1 34 2 xx 定义域上是单调函数吗 问题 3 你认为在定义中我们应该抓住哪些关键词语 才能更透 彻 地认识定义 掌握概念的重要条 教学过程设计意图 说明 1 作好分组讨论的组织引导工作 2 学生不一定一下子答得比较完整 教师应抓住时机予以 启发 3 函数的单调性都是对相应的区间而言的 离开相应的区 间就谈不上单调性 因此在说明单调性时 必须指出相 应的区间 教师板书 一般地 设函数 f x 的定义域为I 1 如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变 量的值 当时 都有 f f 那 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 么就说 f x 在这个区间上是增函数 2 如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变 量的值 当时 都有 f f 那 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 么就说 f x 在这个区间上是减函数 单调区间 如果函数 f x 在某个区间是增函数或减函数 那么就说函 数 y f x 在这一区间具有 严格的 单调性 这一区间叫 做函数 y f x 的单调区间 2 判定方法 1 图像法 要讨论一个函数在某个区间上的单调性 我们可以利 用函数的图像直观地判断 例 1 下图是定义在区间 6 6 上的函数 y f x 的图像 根据图 像 说出 y f x 的单调区间 以及在每一单调区间上 y f x 是 增函数还是减函数 演练反馈 71 页第 1 题 第 2 题 说明 要了解函数在某一区间上是否具有单调性 从图上进行观 察 是一种常用而又粗略的方法 较为直观 但不够严密 严格 地说 它需要根据单调函数的定义进行证明 2 用定义法证明函数单调性的解题步骤 问题 1 怎样用定义证明一个函数在某个区间上的单调性 请 同学们思考后在笔记本上写出证明过程 例 2 证明函数 f x 3x 2 在 R 上是增函数 说明 1 教师巡视 并指定一名中等水平的学生在黑板上板演 2 对学生的做法进行分析 并把证明过程步骤化 师生互动 3 比较两个数的大小 通常采用作差法 若学生回答 作商 教师也应给以肯定 教师板书 件 更是学好数学 及其他各学科的重 要一环 因此应该 教会学生如何深入 理解一个概念 以 培养学生分析问题 认识问题的能力 把定义与直观图像 结合起来 可以加 深对概念的理解 并渗透数形结合分 析问题的数学思想 方法 调动学生参与讨论 形成生动活泼的学 习氛围 从而培养 学生的发散思维 开阔解题思路 使 学生形成良好的学 习习惯 通过观察图像 对 函数是否具有某种 性质作出一种猜想 然后通过推理的办 法 证明这种猜想 的正确性 是发现 和解决问题的 一种常用数学方法 在学生刚刚接触一 个新的知识时 思 维定势对理解知识 本身是有益的 同 时对学生养成一定 的思维习惯 形成 一定的解题思路也 是有帮助的 对学 生的做法进行分析 6 4 2 o 246x y 取值作差变形定号判断 教学过程设计意图 例 3 证明函数 f x 在 0 上是减函数 x 1 问题 2 函数在整个定义域内也是减函数吗 并用定义证明你的结论 演练反馈 教材 71 页第 3 题 练一练 定义法 三 小结 请同学小结一下这节课的主要内容 有哪些是应该特别注意的 请思路清晰 善于表达的学生口述 教师可从中给予提示 四 作业 教材 74 页第 1 题 图像法 第 2 题 定义法 第 3 题 并把证明过程步骤 化 可以形成思维 的定势 对本节课内容作全 面小结 除知识外 对所用到的数学方 法 也进行了适当 的总结 板书设计 函数的单调性 例一 1 定义 例三 练习 可擦去 2 判定方法 练习 可擦去 例二 1 图像法 小结 2 定义法 作业 课堂教学设计说明 函数的单调性是函数的四大基本性质之一 在初中介绍一次函数中已提到了函数的单 调性的内容 只是没有提出具体的概念 后面两节讨论指数函数 对数函数的性质时都要 用到这个性质 所以这是非常重要的一个内容 在教材中起到承上启下的作用 对学生来说 函数的单调性早有所知 然而没有给出过定义 只是从直观上接触过这 一性质 学生对此有一定的感性认识 对概念的理解有一定好处 但另一方面学生也会觉 得是已经学过的知识 存在着一定的轻视心理 因此 在设计教案时 加强了对概念的分 析 希望能够使学生认识到看似简单的定义中有不少值得去推敲 去琢磨的东西 其中甚 至包含着辩证法的原理 同时 对概念的分析也是在引进一个新概念时必须要做的 对概 念的深入的正确的理解往往是学生认识过程中的难点 因此在本教案的设计过程中突出对 概念的分析不仅仅是为了分析函数单调性的定义 更是想让学生掌握弄懂一个概念的基本 方法 并且在以后的学习中学有所用 使用函数单调性定义证明是一个难点 由于学生刚刚接触到这种证明方法 因此给出 一定的步骤是必要的 这样做既有利于学生理解概念 也可以对学生掌握证明方法 形成 证明思路有所帮助 同时这也是以后要学习的不等式证明方法中的比较法的基本思路 现 在提出要求 可以为今后的教学作一定的铺垫 在整节课的教学中 始终坚持了学生是探索的主体这一教学原则 教师的角色从知识 的传播者转换为学生主动学习 主动探索的指导者和促进者 学生从被动接受知识转变为 主动获取知识 通过不断调动学生的主动性与积极性 引导学生观察 对比 发现 归纳 同时通过设置 悬念 提出问题让学生主动 思考问题 阐述观点 解决问题 使学生 在解决问题的同时掌握本节课的要求 另外 本节课大量使用了函数的图象 因此采用多 媒体辅助手段 有利于丰富学生的感性认识 加深学生对问题的理解 同时 多媒体手段