第9讲 数论之质数合数 教师版

2010 年 暑假 第 9 讲 教师版 8 本讲中的知识点在小学课本内已经有所涉及，并且多以判断题考察。质数合数的出现是对自然数的另一种分类方式，但是相对于奇数偶数的划分要复杂许多。质数本身的无规律性也是一个研究质数结构的难点。在奥数数论知识体系中我们要帮助孩子树立对质数和合数的基本认识，在这个基础之上能够会与之前的一些知识点结合运用。 分解质因数法是一个数论重点方法，本讲另一个授课重点在于让孩子对这个方法能够熟练并且灵活运用。 1 质数与合数 一个数除了 1 和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数 (也叫做素数 ) 和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数 . 要特别记住： 0和 1不是质数，也不是合数 . 常用的 100以内的质数： 2、 3、 5、 7、 11、 13、 17、 19、 23、 29、 31、 37、 41、 43、 47、 53、 59、 61、67、 71、 73、 79、 83、 89、 97，共计 25个；除了 2其余的质数都是奇数；除了 2和 5，其余的质数个位数字只能是 1， 3， 7或 9. 考点： 值得注意的是很多题都会以质数 2的特殊性为 考点 . 除了 2和 5，其余质数个位数字只能是 1， 3， 7或 要大家注意 . 2 质因数与分解质因数 质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数 . 互质 数 ： 公约数只有 1的两个 自然 数，叫做互质数 . 分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数 . 例如： 30 2 3 5 、 3、 5叫做 30的质因数 1 2 2 2 3 2 3 ， 2、 3都叫做 12的质因知识点拨 教学目标 第九讲：数论之质数合数 2010 年 暑假 第 9 讲 教师版 8 数，其中后一个式子叫 做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式 为这样可以帮助我们分析数字的特征 . 3 唯一分解定理 任何一个大于 1的自然数 ： 3121 2 3 kn p p p p 2 ka a a 且这种表示是唯一的 n 的质因子分解式 . 例如：三个连续自然数的乘积是 210，求这三个数 . 分析： 210=2 3 5 7，可知这三个数是 5、 6和 7. 4. 部分特殊数的分解 111 3 37 ； 1001 7 11 13 ； 11111 41 271 ； 10001 73 137 ； 1 9 9 5 3 5 7 1 9 ；1 9 9 8 2 3 3 3 3 7 ； 2 0 0 7 3 3 2 2 3 ； 2 0 0 8 2 2 2 2 5 1 ； 1 0 1 0 1 3 7 1 3 3 7 . 5. 判断一个数是否为质数的方法 根据定义如果能够找到一个小于 p 的质数 q(均为整数 )，使得 q 能够整除 p，那么 p 就不是质数，所以我们只要拿所有小于 是这样的计算量很大，对于不太大的 p，我们可以先找一个大于且接近 K ，再列出所有不大于 K 的质数，用这些质数去除 p，如没有能够除尽的那么 例如： 149很接近 144 12 12 ，根据整除的性质 149 不能被 2、 3、 5、 7、 11 整除，所以 149是质数 . 【系列一：质数合数的基本概念的应用】 【例 1】 下面是主试委员会为第六届 “ 华杯赛 ” 写的一首诗： 美少年华朋会友，幼长相亲同切磋； 杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多； 九天九霄志凌云，九七共庆手相握； 聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌 请你将诗中 56 个字 第 1 行左边第一字起逐行逐字编为 1 56 号，再 将号码中的质数由小到大找出来，将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话 【解析】 按要求编号排序 ，并画出质数号码： 美 少 年 华 朋 会 友，幼 长 相 亲 同 切 磋； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 例题精讲 2010 年 暑假 第 9 讲 教师版 8 杯 赛 联 谊 欢 声 响，念 一 笑 慰 来 者 多； 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 九 天 九 霄 志 凌 云，九 七 共 庆 手 相 握； 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 聚 起 华 夏 中 兴 力，同 唱 移 山 壮 丽 歌 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 将质数对应的汉字依次写出就是： 少年朋友亲切联欢；一九九七相聚中山 【 巩巩 固固 】 (2008 年南京市青少年“科学小博士”思维训练 )炎黄 骄子 菲尔兹奖被誉为“数学界的诺贝尔奖”，只奖励 40 岁以下的数学家华人数学家丘成桐、陶哲轩分别于 1982年、 2006年荣获此奖我们知道正整数中有无穷多个质数 (素数 )，陶哲轩等证明了这样一个关于质数分布的奇妙定理：对任何正整数 k，存在无穷多组含有 素数 )的数组例如， 3k 时， 3， 5， 7是间隔为 2 的 3 个质数； 5， 11， 17 是间隔为 6 的 3 个质数：而 ， ， 是间隔为 12的 3个质数 (由小到大排列，只写一组 3个质数即可 ) 【解析】 最小的质数从 2开始，现要求每两个质数间隔 12，所以 2不能 在 所要求的数组中 而且由于个位是 5的质数只有一个 5，所以个位是 3的质数不能作为第一个质数和第二个质数， 可参照下表： 第一个质数 第二个质数 第三个质数 满足要求打 5 17 29 7 19 31 17 29 41 19 31 43 29 41 53 37 49 61 47 59 71 【例 2】 两个质数之和为 39 ，求这两个质数的乘积是多少 . 【解析】 因 为和为奇数，所以这两个数必为一奇一偶，所以其中一个是 2 ，另一个是 37 ，乘积为 74 【 巩巩 固固 】 已知 3个不同质数的和是最小的合数的完全平方，求这 3个质数的乘积是多少？ 【解析】 最小的合数是 4，其平方为 16我们知道奇数个奇数的和是奇数，所以这 3 个质数中必然有 2，那么其余 2个的和是 14，只能一个是 3一个是 11，因此这 3个质数的乘积是 2 3 11 66 【 巩巩 固固 】 小晶最近迁居了，小晶惊奇地发现他们新居的门牌号码 是 四位数同时，她感到这个号码很容易 2010 年 暑假 第 9 讲 教师版 8 记住，因为它的形式为 其中 ，而且 是质数 (a 和 b 是两个数字 ) 具有这种形式的数共有 多少 个 ？ 【解析】 若两位数 为质数，则 a 、 b 均为奇数且不为 5，故有 1331， 3113， 1771， 7117， 7337，3773， 9779， 7997共 8个数 【例 3】 (“祖冲之杯”小学数学邀请赛 )九九重阳节，一批老人决定分乘若干辆至多可乘 32人的大巴前去参观兵马俑如果打算每辆车坐 22个人，就 会有 1个人没有座位；如果少开一辆车，那么，这批老人刚好平均分乘余下的大巴那么有 多少个老人？ 原有 多少 辆大巴 ？ 【解析】 仍按每车坐 22人计算，少开一辆车将有 23 人无座位，这些人刚好平均分乘余下的车， 23是质数，所以余下 23 辆车，原有 24 辆车，原有老人 22 2 2 3 2 3 2 3 5 2 9 (个 ) 【 巩巩 固固 】 (全国小学数学奥林匹克 )从 1 9中选出 8个数排成一个圆圈，使得相邻的两数之和都是质数排好后可以从任意两个数字之间切开，按顺时针方向读这些八位数，其中可以读到的最大的数是 多少？ 【解析】 由于质数除了 2 以外都是奇 数，所以数字在顺时针排列时应是奇偶相间排列 切开后的数仍然具有“相邻两数之和是质数”，并且最高位与最低位之和也是质数，考虑到“最大”的限制条件，最高位选 9，第二位选 8，第三位最大可以选 7，但 7与 8之和不是质数，再改选 5， 8与 5之和是质数，符合要求 第四位可选剩余的最大数字 6，如此类推十位可选 3，个位选 2 所以，可以读到的最大数是 98567432 数字排列如 右 图 【例 4】 9个连续的自然数，每个数都大于 80，那么其中最多有多少个质数？ 请列举和最小的一组 【解析】 我们知道任意连续 9个自然数中最多有 4个质数，本题考察对 100以外的质数的熟练情况，有 101，103， 107， 109是 4个质数。 【 巩巩 固固 】 (我爱数学少年数学夏令营 )用 0， 1， 2， 9这 10个数字组成 6个质数，每个数字至多用 1次，每个质数都不大于 500，那么共有 多少 种不同的组成 6个质数的方法请将所有方法都列出来 【解析】 除了 2 以外，质数都是奇数，因为 0 9 中只有 5 个奇数，所以如果想组成 6 个质数，则其中一定有 2 又尾数为 5 的数中只有 5是质数，所以 5只能单独作为 6 个质数中的一个数 另 4 个质数分别以 1， 3， 7， 9为个位数，从而列举如下： 2， 3， 5， 7， 41， 89， 2， 3， 5， 7， 61， 89， 2， 3， 5， 7， 89， 401， 2， 3， 5， 7， 89，461， 2， 3， 5， 7， 61， 409， 2， 3， 5， 47， 61， 89， 2， 3， 5， 41， 67， 89， 2， 3， 5，67， 89， 401， 2， 5， 7， 43， 61， 89， 2， 5， 7， 61， 83， 409 即共有 10种不同的方法 34765892 2010 年 暑假 第 9 讲 教师版 8 【例 5】 用 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9这 9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这 9个数字最多能组成多少个质数 . 【解析】 要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有 2、 3、 5、 7均为一位质数，这样还剩下 1、 4、6、 8、 9 这 5 个不是质数的数字未用有 1、 4、 8、 9 可以组成质数 41、 89，而 6 可以与 7 组合成质数 67所以这 9个数字最多可以组成 6个质数 。 【 巩巩 固固 】 有三张卡片，它们上面各写着数字 1， 2， 3，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列出来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数都写出来 . 【解析】 抽一张卡片，可写出一位数 1， 2， 3；抽两张卡片，可写出两位数 12， 13， 21， 23， 31， 32；抽三张卡片，可写出三位数 123， 132， 213， 231， 312， 321，其中三位数 的数字和均为 6，都能被3整除，所以都是合数 质数的有： 2， 3， 13， 23， 31. 【例 6】 7个连续质数从大到小排列是 a、 b、 c、 d、 e、 f、 么 【解析】 因为 7个质数的和是偶数，所以这 7个质数不可能都是奇数 ，因此这 7个质数中必有一个是 是最小的质数，并且这 7个连续质数是从大到小排列的，所以 2g 个数从大到小依次是 17、 13、 11、 7、 5、 d . 【 巩巩 固固 】 从 20 以内的质数中选出 6 个，然后把这 6 个数分别写在正方体木块的 6 个面上，并且使得相对两个面的数的和都相等 上的三个面的三个数之和可能有多少种不同的值？ 【 解解 析析 】 小于 20 的质数有 2 ， 3 ， 5 ， 7 ， 11， 13 ， 17， 19，其中 5 1 9 7 1 7 1 1 1 3 一个，三个数的和最小是 5 5 5 15 ，最大是19 19 19 57 ，经试验，三个数的和可以是从 15到 57 的所有奇数，所有可能的不同值共有 22 个 。 【 巩巩 固固 】 将八个不同的合数填入下面的括号中，如果要求相加的两个合数互质，那么 A=（ ） +（ ） =（ ） +（ ） =（ ） +（ ） =（ ） +（ ） 【 解解 析析 】 首先列出前几个合数 4， 6， 8， 9， 10， 12， 14， 15， 16， 18， 20， 21， 22， 24， 25， 26， 27， 28，因为相加的合数互质，所以不能同时为偶数，要想 两个数也不能都同时为奇数，因为奇合数比较少，找出 8 个 来 必 然 很 大 。 所 以 应 该 是 一 奇 一 偶 ， 经 试 验 得A=4+25=8+21=9+20=14+15=29，即 A 的最小值为 29。大部分的题考的都是质数，此题考合数，重在强化合数以及互质的概念。 【例 7】 将 60拆成 10个质 数之和，要求最大的质数尽可能小，那么其中最大的质 数是多少 【解析】 最大的质数必大于 5，否则 10个质数之和将不大于 50，又 60=7+7+7+7+7+7+7+7+2+2即 8个 7与2个 2的和为 60，故其中最大的质数是 7 2010 年 暑假 第 9 讲 教师版 8 【 巩巩 固固 】 将 50分拆成 10个质数的和，要求其中最大的质数尽可能大，则这个最大的质数是多少？ 【解析】 若要求最大的质数尽可能大，则其余 9 个质数应尽可能小，最佳的方案是 9 个 2。但是此时剩余的数为 32，不是质数，所以退而求其次，另其余 9个数为 8个 2， 1个 3，那么第 10 个数为 31 【 巩巩 固固 】 将 37拆成若干个不同的质数之和，有多少种不同的拆法？将每一种拆法中拆出的那些质数相乘，得到的 乘积中，哪个最小 ？ 【解析】 枚举法：有些学生会问，老师：什么时候用枚举法？ 类比 较少 能用排列组合等方法 7=3+5+29=2+5+7+23=3+11+23=2+3+13+19=5+13+19 7+11+19=2+5+11+19=7+13+17=2+5+13+17=2+7+11+17 共有 10 种不同的拆法，其中 3 5 29=435最小 【系列二：分解质因数】 【例 8】 两个连续奇数的乘积是 111555，这两个奇数 之和是多少 ? 【解析】 111555分解 质因数： 1 1 1 5 5 5 3 3 5 3 7 6 7 (3 3 37 ) (5 67 ) 333 335，所以和为 668 且要注意一些技巧，例如本题中的 111 3 37 。 【 巩巩 固固 】 把 40， 44， 45， 63， 65， 78， 99， 105这八个数平分成两组，使每组四个数的乘积相等。 【解析】 340 2 5， 244 2 11 ， 245 5 3 ， 263 7 3 ， 65 5 13 ， 78 2 3 13 ， 299 3 11 ，105 3 5 7 ，要使每组四个数的乘积相等，需要每组含有相同的质因数，看质因数 2，第一组含有 40，第二组含有 44， 78，再看 11,13 ，第一组应有 40， 99， 65，再看 5第二组应有 44， 78，45， 105，最后看 7，第一组应有 40， 99， 65， 63 【例 9】 4个一位数的乘积是 360，并且其中只有一个是合数，那么在这 4个数字所组成的四位数中，最大的一个是多少？ 【解析】 将 360 分解质因数得 3 6 0 2 2 2 3 3 5 ，它是 6 个质因数的乘积 有该合数必至少为 6 3 3 个质因数的积，又只有 3 个 2 相乘才能是一位数，所以这 4个乘数分别为 3， 3， 5， 8，所组成的最大四位数是 8533. 【 巩巩 固固 】 将 1 9 九个自然数分成三组，每组三个数 8，第二组三个数的乘积是45，第三组三个数字之和最大是多少？ 2010 年 暑假 第 9 讲 教师版 8 【解析】 分解质因 数 45 3 3 5 ， 4 8 2 2 2 2 3 ， 可 知 45只能是 1， 5， 9的乘积，而 48可能是 2，4， 6 或 2， 3， 8 或 1， 6， 8(舍去 )，则第三组的三个数可能是 3， 7， 8 或 4， 6， 7，其中和最大的是 3 7 8 18 . 【例 10】 在面前有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是 209，如果它的长、 宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少 ? 【解析】 如下图，设长、宽、高依次为 a、 b、 c，有正面和上面的和为 ac+09 ac+ab=a (c+b)=209，而 209=11 19 当 a=11时， c+b=19，当两个质数的和为奇数 ，则其中必定有一个数为偶 质数 2， 则 c+b=2+17; 当 a=19时， c+b=11，则 c+b=2+9， 不是质数，所以不满足题意 所以它们的乘积为 11 2 17=374 【 巩巩 固固 】 一个长方体的长、宽、高是连续的 3个自然数，它的体积是 39270立方厘 米，那么这个长方体的表面积是多少平方厘米 ? 【解析】 39270=2 3 5 7 11 17，为三个连续自然数的乘 积，而 34 34 34 最接近 39270， 39270的约数中接近或等于 34 的有 35、 34、 33，有 33 34 35=39270所以 33、 34、 35 为满足题意的长 、 宽 、 高 则 长 方 体 的 表 面 积 为 ： 2 ( 长 宽 + 宽 高 + 高 长 )=2 (33 34+34 35+35 33)=6934(平方厘米 ) 方法二： 39270=2 3 5 7 11 17，为三个连续自然数的乘积，考虑质因数 17，如果 17 作为长、宽或高显然不满足 当 17 与 2 结合即 34 作为长方体一条边的长度时有可能成立，再考虑质因数 7，与 34 接近的数32 36 中，只有 35含有 7，于是 7与 5的乘积作为长方体的一条 边的长度 而 39270的质因数中只剩下了 3和 1l，所以这个长方体的大小为 33 34 35 长方体的表面积为 2 (3927033+3927034+3927035)=2 (1190+1155+1122)=2 3467=6934(平方厘米 ) 【 巩巩 固固 】 一个长方体的长、宽、高都是整数厘米，它的体积是 1998 立方厘米，那么 它的长、宽、高的和的最小可能值是多少厘米 ? 2010 年 暑假 第 9 讲 教师版 8 【解析】 我们知道任意个已确定个数的数的乘积一定时，它们相互越接 近，和越小如 3个数的积为 18，则三个数为 2、 3、 3时和最小，为 8 1998=2 3 3 3 37， 37是质数，不能再分解，所以 2 3 3 3对应的两个 数应越接近越好有 2 3 3 3=6 9时，即 1998=6 9 37时，这三个自然数 最接近 它们的和为 6+9+37=52(厘米 ) 【例 11】 甲乙两人的年龄和为一个质数，这个数的个位与十位数字的和是 13，甲比乙大 13 岁，那么乙今年多大？ 【解析】 个位与十位数字之和为 13，那么这样的质数在两位数中只有 67，三位数中为 167，再继续则不符合常理，所以甲乙年龄有可能分别为 40,27岁，或者 90， 77岁，所以乙的年龄可能为 27 岁或 77岁。 【例 12】 甲数比乙数大 5 ，乙数比丙数大 5 ，三个数的乘积是 6384 ，求这三个数 ？ 【 解解 析析 】 将 6384 分解质因数， 6 3 8 4 2 2 2 2 3 7 1 9 ，则其中必有一个数是 19或 19的倍数；经试算，1 9 5 1 4 2 7 ， 1 9 5 2 4 2 2 2 3 ，恰好 1 4 1 9 2 4 6 3 8 4 ，所以这三个数即为 14， 19，24 是从最大的那个质因数去分析 9不符合要求，下一个该考虑 38 ，再下一个该 考虑 57 ，依此类推 【 巩巩 固固 】 如果两数的和是 64，两数的积可以整除 4875，那么这两个数的差等于多少？ 【 解解 析析 】 4875=3 5 5 5 13，有 a b 为 4875 的约数，且这两个数的和为 64发现 39=3 13、 25=5 5这两个数的和为 64，所以 39、 25 为满足题意的两个数那么它们的差为 394。 【 巩巩 固固 】 2004 7 20 的计算结果能够整除三个连续自然数的乘积，这三个连续自然数之和最小是多少？ 【 解解 析析 】 首先分解质因数， 2 0 0 4 7 2 0 2 2 2 2 3 5 7 1 6 7 ，其中最大的质因数是 167，所以所要求的三个连续自然数中必定有 167 本身或者其倍数 . 165 3 5 1 ， 166 2 83 ，1 6 8 2 2 2 3 7 ， 169 13 13 ，所以 165 166 167， 166 167 168， 167 168 169都没有 4个 2，不满足题意 67 不可行 34 167 2， 335 5 67 ， 3 3 6 2 2 2 2 3 7 ，3 3 4 3 3 5 3 3 6 2 2 2 2 2 3 5 7 6 7 1 6 7 ，包括了 2004 7 20 中的所有质因数，所以这组符合题意，以此三数之和最小为 1005. 2010 年 暑假 第 9 讲 教师版 8 【例 13】 3 个 质数 的倒数之和是 16611986，则这 3 个质数之和为多少 【 解解 析析 】 设这 3 个质数从小到大为 a 、 b 、 c ，它们的倒数分别为 1a、 1b、 1c，计算它们的和时需通分，且通分后的分母为 ，求和得到的分数为 果这个分数能够约分，那么得到的分数的分母为 a 、 b 、 c 或它们之间的积 6611986，分母 1986 2 3 331 ，所以一定是 2a ， 3b ，331c ，检验 满足 个质数的和为 2 3 331 336 【 巩巩 固固 】 有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是 140如 果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少？ 【 解解 析析 】 有 140=2 2 5 7，要保证分数最简即要让分子与分母是互质的， 那么两个质因数 2必须同时位于分子或者同时位于分母的位置上。这样由小到大的最简分数依次是 207522 7,285722 5,35475 22,140 17522 1 ， 倒数第三小的是285。 【 巩巩 固固 】 一个分数，分母是 901 ，分子是一个质数现在有下面两种方法： 分子和分母各加一个相同的一位数 ； 分子和分母各减一个相同的一位数 用其中一种方法组成一个新分数，新分数约分后是 713那么原来分数的分子是多少 【 解解 析析 】 因为新分数约分后分母是 13，而原分母为 901，由于 9 0 1 1 3 6 9 4 以分母是加上 9 或者减去 4 若是前者则原来分数分子为 7 70 9 481 ，但 481 13 37 ，不是质数；若是后者则原来分数分子是 69 7 4 487 ，而 487 是质数所以原来分数分子为 487 【例 14】 在做一道两位数乘以两位数的乘法题时，小马虎把一乘数中的数字 5 看 成 8，由此得乘积为1872那么原来的乘积是多少 ? 【 解解 析析 】 1872=2 2 2 2 3 3 13=口口 口口，其中某个口为 8， 一一验证只有： 1872=48 39， 1872=78 24 满足 当为 1872=48 39 时，小马虎错把 5 看成 8，也就是错把 45 看成 48，所以正 确的乘积应该是45 39=1755当为 1872=78 24 时，小马虎错把 5看成 8，也就是错把 75看成 78，所以正 确的乘积应该是 75 24=1800所以原来的积为 1755或 1800 【 巩巩 固固 】 某校师生为贫困地区捐款 1995 元这个学校共有 35 名教师， 14 个教学 班各班学生人数相同 2010 年 暑假 第 9 讲 教师版 0 8 且多于 30 人不超过 45 人如果平均每人捐款的钱数是整 数，那么平均每人捐款多少元 ? 【 解解 析析 】 这个学校最少有 35+14 30=455名师生，最多有 35+14 45=665名师生，并且师生总人数能整除1995 1995=3 5 133，在 455 665 之间的约数只有 5 133=665，所以师生总数 为 665 人，则平均每人捐款 1995 665=3元 【例 15】 在射箭运动中，每射一箭得到的环数或者是“ 0” (脱靶 )，或者是不超过 10 的自然数甲、乙两名运动员各射了 5箭，每人 5箭得到的环数的积都是 1764，但是甲的总环数比乙少 4环求甲、乙的总环数各是多少 ？ 【 解解 析析 】 应对应为 5个小于 10 的自然数乘积通常我们会考虑将 1764的 6个质因数组合为 5个因数，从而这 5个因数一定都是大于 1的，于是得到了如下几种分解情况 1764=4 3 3 7 7 =2 6 3 7 7=2 2 9 7 7 但是发现其中任何两组的和的差均不是 环存在，从而要考虑含有因数 1的另外 2种情况 1784=1 6 6 7 7=1 4 9 7 7 所以总的情况对应的和依次为 4+3+3+7+7=24， 2+6+3+7+7=25， 2+2+9+7+7=27， 1+6+6+7+7=27，l+4+9+7+7=28对应的和中只有 24， 28相差 4，所以甲的 5箭环数为 4、 3、 3、 7、 7，乙的 5箭环数为 1、 4、 9、 7、 7所以甲的总环数为 24，乙的总环数为 28。 【 巩巩 固固 】 已知 5 个人 都属牛，它们年龄的乘积是 589225，那么他们年龄的和为多少？ 【 解解 析析 】 基本思路与上题一样，重点还是在“ 1”这个因数的使用上，所以分解因数 得到 4937251315 8 9 2 2 5 ，五个人的年龄和为 125岁。 【系列三：质数合数综合型题目】 【例 16】 P 是质数， 10P ， 14P ， 210P 都是质数求 P 是多少？ 【 解解 析析 】 由题意知 P 是一个奇数，因为 10 3 3 1L ， 14 3 4 2L ，所以 P 是 3的倍数，所以 3P 【 巩巩 固固 】 已知 P 是质数， 2 1P 也是质数，求 5 1997P 是多少？ 【 解解 析析 】 P 是质数， 2P 必定是合数，而且大于 1又由于 2 1P 是质数， 2P 大于 1， 2 1P 一定是奇质数，则 2P 一定是偶数所以 P 必定是偶质数，即 2P 551 9 9 7 2 1 9 9 7P 32 1997 2029 2010 年 暑假 第 9 讲 教师版 1 8 【例 17】 有些自然数能够写成一个质数与一个合数之和的形式，并且在不计加数顺序的情况下，这样的表示方法至少有 13 种。那么所有这样的自然数中最小的一个是多少 【 解解 析析 】 根据题意在不计加数顺序的情况下一个自然数能有 13 种表示成一个质数与一个合数和的形式，说明这个自然数一定比从 2开始的第 13个质数 要大。从 2开始数的 13个质数分别是： 2， 3， 5，7， 11， 13， 17， 19， 23， 29， 31， 37， 41。那么这个数一定要比 41 大，为了满足这个自然数能够分别写成上面质数与另一个合数的和的形式，所求自然数只要是个奇数即可，这样这个奇数与从 3开始的质数的差只要都是一个大于 2的偶数即可满足条件。 【 巩巩 固固 】 如果一些不同质数的平均数是 21，那么这些质数中最大的一个可能是多少？ 【 解解 析析 】 如果想使得这些质数中最大的一个尽可能大，那么一定要求这些质数在满足平均数为 21 的条件下数量尽可能多，且比 21大的质数只能有一个。 21以下的质数有 2， 3， 5， 7， 11， 13， 17， 19，则说明这些质数最多可能有 8+1=9个，则大于 21的那个数为 21+19+18+16+14+10+8+4+2=112 ，但 112不是质数。分析原因，发现在上面算式中有一个除了 21 以外的奇数 19，使得结果为偶数，说明在原来的一组质数中不能有 2，否则无法使得比 21 大的数是质数。去掉 2 再次求和为1123，仍然不是质数，则可以做微调 939，即在原来的一组质数中再去掉一个 17 即可，这组数为 3， 5， 7， 11， 13， 19， 89，最大的一个是 89。 【 巩巩 固固 】 求 1成两个合数的乘积再加一个合数的最大数是多少？ 【 解解 析析 】 考虑最小的合数是 4，先把表示方法简化为 4 合数 合数 而合数最简单的表现形式就是大于等于 4的偶数 因此该表示方法进一步表示为 4 (2 n)合数 即 8n 合数 (其中 n 1 即可 ) 当该数被 8整除时， 该数 可表示为 4 (2n) 8 ， n 1,所以大于等于 24的 8的倍数都可表示 当该数被 8除余 1时，该数可表示为 4 (2n) 9， n 1,所以大于等于 25 的被 8除余 1的都可表示 当该数被 8 除余 2 时，该数可表示为 4 (2n) 10， n 1,所以大于等于 26 的被 8 除余 2 的都可表示 当该数被 8 除余 3 时，该数可表示为 4 (2n) 27， n 1,所以大于等于 43 的被 8 除余 3 的都可表示 当该数被 8除余 4时，该数可表示为 4 (2n) 4，所以大于等于 20 的被 8除余 4的都可表示 2010 年 暑假 第 9 讲 教师版 2 8 当该数被 8除余 5时，该数可表示为 4 (2n) 21，所以大于等于 37的被 8除余 5的都可表示 当该数被 8除余 6时，该数可表示为 4 (2n) 6，所以大于等于 22 的被 8除余 6的都可表示 当该数被 8除余 7时，该数可表示为 4 (2n) 15，所以大于等 于 31的被 8除余 7的都可表示 综上所述，不能表示的最大的数是 43 8 35 经检验， 35的确无论如何也不能表示成合数合数合数的形式，因此我们所求的最大的数就是35 【例 18】 已知 P,且 1 1 9 3 2 0 0 3 ，则 = 【 解解 析析 】 本题充分考察质数与数字奇偶性知识点的结合。通过观察发现题目中有 2个未知数，但是都是质数，从结果上看 2003 是一个奇数，那么前面 2 个乘积必须为 1 个奇数 1 个偶数，那么 P 和 Q 中必须有一个是 2才可以。由大小关系可以发现只能 ，解出 P=199,P Q=398。 【 巩巩 固固 】 将 1到 9这 9个数字在算式 1的每一个括号内各填入一个数字，使得算式成立，并且要求所填每一个括号内数字均为质数 ? 【 解解 析析 】 本题中括号内所填的数字要求为个位质数，那么只能是 2， 3， 5， 1，即有 1那么很容易发现只有 3 57=1。符合原式的填法为3515273 。 【例 19】 有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位数 【 解解 析析 】 两位数中，数字相同的两位数有 11、 22、 33、 44、 55、 66、 77、 88、 99 共九个，它们中的每个数都可以表示成两个整数相加的形式，例如 3 3 1 3 2 2 3 1 3 3 0 1 6 1 7 有 16种形式，如果把每个数都这样分解，再相乘，看哪两个数的乘积是三个数字相同的三位数，显然太繁琐了 为三个数字相同的三位数有 111、 222、 333、 444、 555、 666、 777、888、 999，每个数都是 111的倍数，而 111 37 3，因此把这九个数表示成一个两位数与一个一位数或两个两位数相乘时，必有一个因数是 37或 37的倍数，但只能是 37的 2倍 (想想为什么？ )3倍就不是两位数了 . 把九个三位数分解： 111 37 3、 2 2 2 3 7 6 7 4 3 、 33 37 9、 4 4 4 3 7 1 2 7 4 6 、555 37 15、 6 6 6 3 7 1 8 7 4 9 、 777 37 21、 8 8 8 3 7 2 4 7 4 1 2 、 999 37 27 . 2010 年 暑假 第 9 讲 教师版 3 8 把两个因数相加，只有 (74 3 ) 77 和 (37 18 ) 55 的两位数字相同 4和 3， 37和 18. 【 巩巩 固固 】 两个学生抄写同一个乘法算式，两个乘数都是两位数，他们各抄错了一个数字，于是得到两个不同的算式，但巧合的是，他们计算的结果都是 整除，那么它等于多少？ 【 解解 析析 】 注意 936中有质因数 13，故易见将其分解成两个两位数相乘的形式有 13 72 ， 26 36 ， 39 24 ，52 18 ， 78 12 这 5种可能，由于两人各抄错了一个数字，因此两人的算式中应有两个位置上的数字相同 们所抄错的算式可能是 (13 72 ， 18 52 )， (13 72 ， 12 78 )， (26 36 ，24 39 )或 (52 18 ， 12 78 )人抄错的是第一个乘数的个位数字和第二个乘数的十位数字，正确的算式应是 13 52 或 18 72 ，后者乘积是 6的倍数，与题意不符，故原算式应为前者，正确的乘法算式是 13 52 676 得出 2 3 6 种可能的原乘法算式，但它们的结果都是 6的倍数，不合题意 76即为所求 . 【例 20】 如果某整数同时具备如下三条性质： 这个数与 1的差是质数，这个数除以 2所得的商也是质数，这个数除以 9 所得的余数是 5，那么我们称这个整数为幸运数。求出所有的两位幸运数 【解析】 由条件 可知，所求的数是偶数，因此可 设所求的幸运数是质数 p 的两倍，即此幸运数为 2p ，则 p 的所有可能取值为 5， 7， 11， 13， 17， 19， 23， 29， 31， 37， 41， 43， 47。于是 2p 所有可能取值为 9， 13， 21， 25， 33， 37， 45， 57， 61， 73， 81， 85， 93。根据题目条件 ， 2p 此 2p 3， 37， 61或 73。再由条件 知 2p 所得的余数应为4，于是 2p 可能是 13，从而这个幸运数只能是 2p =14。 【 巩巩 固固 】 如果一个数，将它的数字倒排后所得的数仍是这个数，我们称这 个数为回文数如年份数 1991，具有如下两个性质： 1991 是 一 个回 文 数 1991 可以分解成一个两位质数回 文 数和一个三位质数回 文 数的积 在 1000 年到 2000 年之间的一千年中，除了 1991 外，具有性质 和 的 年份数， 有 哪些？（） 【 解解 析析 】 这一千年间回文数年份共有 10个，除去 1991外，还有 1001， 1111， 1221， 1331， 1441， 1551，1661， 1771， 1881符合条件的两位质数只能是 11，所以符合条件的只有三个，即 11 101 1111， 11 131 1441， 11 15l 1661 2010 年 暑假 第 9 讲 教师版 4 8 【 巩巩 固固 】 两个不同的两位质数接起来可以得到一个四位数 ,比如由 17， 19可得到一个四位数 1719,由 19，17 也可得到一个四位数 试写出所有这样的四位数。 【 解解 析析 】 设这 2个两位质数分别是 a 和 b ，则这个四位数是 100，根据条件可知： (1 0 0 )2ab , 即 ()|(200 2)，设 200 2，则 200 2a b k（ ） ， 化简得 (200k )a ( 2k )b ，因此 2002 ,其中 k 是整数， a 和 b 均为两位质数，设200 k , 2k ，则两式相加得 () 198m ，注意到 a 和 b 都是质数即也是奇数，所以 是 198 的约数 . 2198 2 3 11 ，由于 a 、 b 都是两位不同的质数， 因为 1 1 1 3 8 9 9 7