第10讲 数论之带余除法 教师版

2010 年 暑 假 第 10 讲 教师版 3 余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。 许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！” 余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。 一、 带余除法的定义 及性质 ： 一般地，如果 b 0） ,若有 a b=q r，也就是 a b q r, 0 r b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当 0r 时：我们称 (2)当 0r 时：我们称 一个完美的带余除法讲解模型 : 如图，这是一堆书，共有 a 本，这个 a 就可以理解为被除数，现在要求按照 b 本一捆打包，那么 b 就是除数的角色，经过打包后共打包了 c 捆，那么这个 c 就是商，最后还剩余 d 本，这个 d 就是余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中 4 个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 二、三大余数定理： a与 于 a,这个和除以 例如： 23， 16除以 5的余数分别是 3和 1，所以 23+16=39除以 5的余数等 知识点拨 教学目标 第十讲：数论之带余除法 2010 年 暑 假 第 10 讲 教师版 3 于 4，即两个余数的和 3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以 例如： 23， 19 除以 5 的余数分别是 3 和 4，故 23+19=42 除以 5 的余数等于 3+4=7 除以 5 的余数，即2. a与 于 a,者这个积除以 例如： 23， 16除以 5的余数分别是 3和 1，所以 23 16除以 5的余数等于 3 1=3。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以 例如： 23， 19除以 5的余数分别是 3和 4，所以 23 19除以 5的余数等于 3 4 除以 5的余数，即 2. 若两个整数 a、 么称 a、 式子 表示为： a b ( m )，左边的式子叫做同余式。 同余式读作： b，模 m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论： 若两个数 a， a， 用式子表示为：如果有 a b ( m )，那么一定有 a b mk, m|(a b) 三、弃九法原理： 在公元前 9 世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本花拉子米算术，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式 是这样进行的： 例如：检验算式 1 2 3 4 1 8 9 8 1 8 9 2 2 6 7 8 9 6 7 1 7 8 9 0 2 8 8 9 9 2 3 1234除以 9的余数为 1 1898除以 9的余数为 8 18922除以 9的余数为 4 678967除以 9的余数为 7 178902除以 9的余数为 0 这些余数的和除以 9的余数为 2 而等式右边和除以 9的余数为 3，那么上面这个算式一定是错的。 上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个等式是正确的，那么左边几个加数除以 9的余数的和再除以 9的余数一定与等式右边和除以 9的余数相同。 而我们在求一个自然数除以 9所得的余 数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数 2010 年 暑 假 第 10 讲 教师版 3 的各个位数字之和除以 9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个 9一个 9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。 所以我们总结出弃九发原理：任何一个整数模 9同余于它的各数位上数字之和。 以后我们求一个整数被 9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被 9除的余数即可。 利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用 注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。 例如：检验算 式 9+9=9时，等式两边的除以 9的余数都是 0，但是显然算式是错误的 但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式 2两端一定满足弃九法的规律。这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题。 四、中国剩余定理： 中国数学名著孙子算经里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。” 此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。 韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少， 韩信答说，每 3人一列余 1人、 5人一列余 2人、 7 人一列余 4人、 13人一列余 6人。刘邦茫然而不知其数。 我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每 5人一列、 9人一列、 13人一列、 17 人一列都剩 3人，则兵有多少？ 首先我们先求 5、 9、 13、 17 之最小公倍数 9945（注：因为 5、 9、 13、 17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加 3，得 9948（人）。 孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现 得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。中国剩余定理（ 近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。 对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就以孙子算经中的问题为例，分析此方法 : 今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？ 题目中我们可以知道，一个自然数分别除以 3， 5， 7 后，得到三个余数分别为 2， 3， 010 年 暑 假 第 10 讲 教师版 3 构造一个数字，使得这个数字除以 3余 1，并且还是 5和 7的公倍数。 先由 5 7 35 ，即 5和 7 的最小公倍数出发，先看 35 除以 3余 2，不符合要求，那么就继续看 5和7 的“下一个”倍数 35 2 70 是否可以，很显然 70 除以 3余 1 类似的，我们再构造一个除以 5余 1，同时又是 3和 7的公倍数的数字，显然 21可以符合要求。 最后再构造除以 7 余 1，同时又是 3， 5 公倍数的数字， 45 符合要求，那么所求的自然数可以这样计算： 2 7 0 3 2 1 2 4 5 3 , 5 , 7 2 3 3 3 , 5 , 7 ， 其中 开始的自然数。 也就是说满足上述关系的数有无穷多，如果根据实际情况对数的范围加以限制，那么我们就能找到所求的数。 例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”， 那么我们可以计算 2 7 0 3 2 1 2 4 5 2 3 , 5 , 7 2 3 得到所求 如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数” , 我们只要对最小的 23 加上 3,5,7即可，即 23+105=128。 【 模块 一：带余除法的定义和性质】 【例 1】 (第五届小学数学报竞赛决 赛 )用某自然数 a 去除 1992 ，得到商是 46，余数是 r ，求 a 和 r 【 解解 析析 】 因为 1992 是 a 的 46 倍还多 r ,得到 1 9 9 2 4 6 4 3 . ，得 1 9 9 2 4 6 4 3 1 4 ，所以 43a ，14r 【 巩巩 固固 】 (清华附中小升初分班考试 )甲、乙两数的和是 1088 ，甲数除以乙数商 11余 32 ，求甲、乙两 数 【 解解 析析 】 (法 1)因为 甲 乙 11 32 ，所以 甲 乙 乙 11 32 乙 乙 12 32 1088 ； 则乙 (1 0 8 8 3 2 ) 1 2 8 8 ，甲 1088乙 1000 (法 2)将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从 1088 中减掉 32 以后， 1056 就应当是乙数的 (11 1) 倍，所以得到乙数 1056 12 88 ，甲数 1 0 8 8 8 8 1 0 0 0 【 巩巩 固固 】 一个两位数除 310，余数是 37，求这样的两位数。 【 解解 析析 】 本题为余数问题的基础题型，需要学生明白一个重要知识点，就是把余数问题 整除问题”转化为整除问题。方法为用被除数减去余数，即得到一个除数的倍数；或者是用被除数加上一个“除数与余数的差”，也可以得到一个除数的倍数。 本题中 31073，说明 273 是所求余数的倍数，而 273=3 7 13，所求的两位数约数还要满例题精讲 2010 年 暑 假 第 10 讲 教师版 3 足比 37 大，符合条件的有 39， 91. 【例 2】 (2003 年 全国小学数学奥林匹克试题 )有两个 自然数相除，商是 17 ，余数是 13 ，已知被除数、除数、商与余数之 和为 2113 ，则被除 数是多少？ 【 解解 析析 】 被除数 除数 商 余数 被除数 除数 +17+13=2113，所以被除数 除数 =2083，由于被除数是除数的 17 倍还多 13，则由“和倍问题”可得：除数 =（ 2083（ 17+1） =115，所以被除数=2083968 【 巩巩 固固 】 用一个自然数去除另一个自然数，商为 40，余数是 数、商、余数的和是 933，求这 2 个自然数各是多少？ 【 解解 析析 】 本题为带余除法定义式的基本题型。根据题意设两个自然数分别为 x,y，可以得到 4 0 1 64 0 1 6 9 3 3 ,解方程组得 85621，即这两个自然数分别是 856， 21. 【例 3】 (2000 年“祖冲之杯”小学数学邀请赛试题 )三个不同的自然数的和为 2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是 _， _， _。 【 解解 析析 】 设所得的商为 a ，除数为 b ( 1 9 ) ( 2 3 ) ( 3 1 ) 2 0 0 1a b a b a b ， 73 3 2001 ，由 19b ，可求得 27a ， 10b 所以，这三个数分别是 19 523 ， 23 631 ， 31 847 。 【 巩巩 固固 】 (2004 年福州市“迎春杯”小学数学竞赛试题 )一个自然数，除以 11 时所得到的商和余数是相等的，除以 9 时所得到 的商是余数的 3 倍，这个 自然数是 _ 【 解解 析析 】 设这个自然数除以 11 余 a (0 11)a ，除以 9余 b (0 9)b ，则有 1 1 9 3a a b b ，即 37，只有 7a ， 3b ，所以这个自然数为 84712 。 【例 4】 (1997 年我爱数学少年数学夏令营试题 )有 48 本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多 5人 如果把书全 部分给第一组，那么每人 4 本，有剩余；每人 5 本，书不够 如果把书全分给第二组， 那么每人 3本，有剩余；每人 4本，书不够 问：第二组有多少人 ? 【 解解 析析 】 由 48 4 12 ， 48 5 知，一组是 10 或 11 人同理可知 48 3 16 ， 48 4 12 知，二组是13、 14 或 15 人，因为二组比一组多 5人，所以二组只能是 15 人，一组 10人 【 巩巩 固固 】 一个两位数除以 13 的商是 6，除以 11 所得的余数是 6，求这个两位数 【 解解 析析 】 因为一个两位数除以 13的商是 6，所以这个两位数一定大于 13 6 78 ，并且小于 13 (6 1) 91 ；又因为这个两位数除以 11余 6，而 78 除以 11余 1，这个两位数为 78 5 83 2010 年 暑 假 第 10 讲 教师版 3 【 模 块 二：三大余数定理的应用】 【例 5】 有一个大于 1的整数，除 45,59,101 所得的余数相同，求这个数 . 【解析】 这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数 101 45 56 ， 59 45 14， (56,14) 14 ， 14的约数有 1,2,7,14 ，所以这个数可能为 2,7,14 。 【 巩巩 固固 】 有一个整数，除 39,51,147 所得的余数都是 3，求这个数 . 【解析】 (法 1) 39 3 36 ， 147 3 144 ， (36,144) 12 ， 12 的约数是 1, 2,3, 4,6,12 ，因为余数为 3 要小于除数，这个数是 4,6,12 ； (法 2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数 51 39 12， 147 39 108 ， (12,108) 12 ，所以这个数是 4,6,12 【 巩巩 固固 】 在小于 1000的自然数中，分别除以 18及 33所得余数相同的数有多少个 ?(余数可以为 0) 【解析】 我们知道 18， 33 的最小公 倍数为 18， 33=198，所以每 198个数一次 1 198之间只有 1， 2， 3， 17， 198(余 O)这 18 个数除以 18及 33所得的余数相同， 而 999 198=5 9，所以共有 5 18+9=99个这样的数 【 巩巩 固固 】 (2008年仁华考题 )一个三位数除以 17和 19都有余数，并且除以 17后所得的商与余数的和等于它除以 19后所得到的商与余数的和那么这样的三位数中最大数是 多少 ，最小数是 多少？ 【解析】 设这个三位数为 s ，它除以 17和 19的商分别为 a 和 b ，余数分别为 m 和 n ，则 17 19s a m b n 根据题意可知 a m b n ，所以 s a m s b n ，即 16 18，得 89所以 a 是 9的倍数， b 是 8的倍数此时，由 a m b n 知 8199n m a b a a a 由于 s 为三位数，最小为 100，最大为 999，所以 1 0 0 1 7 9 9 9 ，而 1 16m ， 所以 1 7 1 1 7 9 9 9a a m ， 1 0 0 1 7 1 7 1 6a m a ，得到 5 58a ，而 a 是 9的倍数，所以 ，最大为 54 当 54a 时， 1 69n m a ，而 18n ，所以 12m ，故此时 s 最大为 1 7 5 4 1 2 9 3 0 ； 当 9a 时， 1 19n m a ，由于 1m ，所以此时 s 最小为 17 9 1 154 2010 年 暑 假 第 10 讲 教师版 3 所以这样的三位数中最大的是 930，最小的是 154 【例 6】 两位自然数 以 7都余 1，并且 ，求 ab 【解析】 ab 能被 7整除，即 ( 1 0 ) 1 0 ) 9a b b a a b （ （ ）能被 7整除 所以只能有 7 ，那么 2和 81，验算可得当 92时， 29 满足题目要求， 9 2 2 9 2 6 6 8a b b a 【 巩巩 固固 】 学校新买来 118个乒乓球， 67个乒乓球拍和 33 个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同请问学校共有多少个班？ 【解析】 所求班级数是除以 118,67,33 余数相同的数那么可知该数应该为 118 67 51和 67 33 34 的公约数，所求答案为 17 【 巩巩 固固 】 (2000年全国小学数学奥林匹克试题 )在除 13511， 13903及 14589 时能剩下相同余数的最大整 数是 _ 【解析】 因为 3921351113903 , 68 613 90314 589 ， 由 于 13511， 13903， 14589要被同一个数除时，余数相同，那么，它们两两之差必能被同一个数整除 98)686,392( ，所以所求的最大整数是 98 【例 7】 (2003年南京市少年数学智 力冬令营试题 ) 20032 与 22003 的和除以 7的余数是 _ 【解析】 找规律用 7除 2， 2 ， 32 ， 42 ， 52 ， 62 ， 的余数分别是 2， 4， 1， 2， 4， 1， 2， 4， 1， ,2的个数是 3的倍数时，用 7除的余数为 1； 2的个数是 3的倍数多 1时，用 7除的余数为 2； 2的个数是 3的倍数多 2时，用 7除的余数为 4因为 2003 3 667 222 ，所以 20032 除以 7余 4又两个数的积除以 7的余数，与两个数分别除以 7所得余数的积相同而 2003除以 7余 1，所以 22003 除以 7余 1故 20032 与 22003 的和除以 7的余数是 4 1 5 【 巩巩 固固 】 (2004年南京市少年数学智力冬令营试题 )在 1995， 1998， 2000， 2001， 2003 中，若其中几个数的和被 9除余 7， 则将这几个数归为一组这样的数组共有 _组 【解析】 1995， 1998， 2000， 2001， 2003除以 9的余数依次是 6， 0， 2， 3， 5 因为 2 5 2 5 0 7 ， 2 5 3 6 0 2 5 3 6 7 9 ， 所以这样的数组共有下面 4个： 2003,2000 ， 2003,2000,1998 ， 1995,2001,2003,2000 ， 1995,2001,2003,2000,1998 2010 年 暑 假 第 10 讲 教师版 3 【例 8】 (2005 年全国小学数学奥林匹克试题 )有一个整数，用它去除 70， 110， 160 所得到的 3 个余数之和是 50，那 么这个整数是 _ 【解析】 ( 7 0 1 1 0 1 6 0 ) 5 0 2 9 0 ， 50 3 16. ，除数应当是 290 的大于 17 小于 70 的约数，只可能是 29和 58， 1 1 0 5 8 1 . ， 5052 ，所以除数不是 58 70 29 2. ， 1 1 0 2 9 3 . ， 1 6 0 2 9 5 . ， 50152312 ，所以除数是 29 【 巩巩 固固 】 (2002年全国小学数学奥林匹克试题 )用自然数 3， 91， 129得到的三个余数之和为 25，那么 n=_ 【解析】 n 能整除 2 5 8251 2 99163 因为 25 3 8. ，所以 n 是 258 大于 8 的约数 显然， 能大于 63 符合条件的只有 43 【 巩巩 固固 】 号码分别为 101,126,173,193 的 4 个运动员进行乒乓球比赛 ,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被 3除所得的余数 【解析】 本题可以体现出加法余数定理的巧用。计算 101， 126， 173， 193除以 3的余数分别为 2， 0， 2，1。那么任意两名运动员的比赛盘数只需要用 2， 0， 2， 1两两相加除以 3即可。显然 126运动员打 5盘是最多的。 【例 9】 (2002年小学生数学报数学邀请赛试题 )六名小学生分别带着 14元、 17元、 18元、 21元、26 元、 37 元钱，一起到 新华书店购买成语大词典一看定价才发现有 5 个人带的钱不够，但是其 中甲、乙、丙 3人的钱凑在一起恰好可买 2本，丁、戊 2人的钱凑在一起恰好可买 1本 这种成语大词典的定价是 _元 【解析】 六名小学生共带钱 133 元 133 除以 3 余 1，因为甲、乙、丙、丁、戊的钱恰好能买 3 本，所以他们五人带的钱数是 3的倍数，另一人带的钱除以 3余 1易知，这个钱数只能是 37 元，所以每本成语大词典的定价是 ( 1 4 1 7 1 8 2 1 2 6 ) 3 3 2 (元 ) 【 巩巩 固固 】 (2000年全国小学数学奥林匹克试题 )商店里有六箱货物，分别重 15， 16， 18， 19， 20， 31千克，两个顾客买 走了其中的五箱已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的 2倍，那么商店剩下 的一箱货物重量是 _千克 【解析】 两个顾客买的货物重量是 3 的倍数 ( 1 5 1 6 1 8 1 9 2 0 3 1 ) ( 1 2 ) 1 1 9 3 3 9 . . . 2 ，剩下的一箱货 物重量除以 3应当余 2，只能是 2010 年 暑 假 第 10 讲 教师版 3 20 千克 【例 10】 求 2 4 6 1 1 3 5 6 0 4 7 1 1 的余数 【解析】 因为 2 4 6 1 1 1 2 2 3 . ， 135 11 12. ， 6 0 4 7 1 1 5 4 9 . ，根据同余定理 (三 )， 2 4 6 1 1 3 5 6 0 4 7 1 1 的余数等于 8 3 8 11 的余数，而 8 3 8 192 ， 192 11 17. ，所以 2 4 6 1 1 3 5 6 0 4 7 1 1 的余数为 5 【 巩巩 固固 】 (华罗庚金杯赛模拟试题 )求 478 296 351除以 17的余数 【解析】 先求出乘积再求余数，计算量较大可先分别计算出各因数除以 17 的余数，再求余数之积除 以 17的余数 478, 296,351 除以 17的余数分别为 2， 7和 11， ( 2 7 1 1 ) 1 7 9 . . . . . . 1 【 巩巩 固固 】 求 19973 的最后两位数 【解析】 即考虑 19973 除以 100的余数由于 100 4 25 ，由于 33 27 除以 25余 2，所以 93 除以 25 余 8， 103 除以 25 余 24，那么 203 除以 25 余 1；又因为 23 除以 4余 1，则 203 除以 4余 1；即 2031 能被 4 和 25整除，而 4与 25互质，所以 2031 能被 100 整除，即 203 除以 100余 1，由于 1 9 9 7 2 0 9 9 1 7 ，所以 19973 除以 100的余数即等于 173 除以 100 的余数，而 63 729 除以 100 余29， 53 243 除以 100 余 43， 17 6 2 53 (3 ) 3，所以 173 除以 100 的余数等于 29 29 43 除以 100的余数，而 2 9 2 9 4 3 3 6 1 6 3 除以 100 余 63，所以 19973 除以 100 余 63，即 19973 的最后两位数为63 【 巩巩 固固 】 22000 2222个除以 13所得余数是 _. 【解析】 我们发现 222222整除 13， 2000 6余 2，所以答案为 22 13余 9。 【 巩巩 固固 】 求 89143 除以 7的余数 【解析】 法一： 由于 143 3 m (143被 7除余 3)， 所以 8 9 8 91 4 3 3 m o d 7 ( 89143 被 7除所得余数与 893 被 7除所得余数相等 ) 而 63 729 ， 729 1 m （ 729除以 7的余数为 1）， 所以 8 9 6 6 6 5 5143 3 3 3 3 3 5 m o d 7 4 2 4 4 3个 2010 年 暑 假 第 10 讲 教师版 0 3 故 89143 除以 7的余数为 5. 法二： 计算 893 被 7除所得的余数可以用找规律的方法，规律如 下 表 ： 13 23 3 43 53 63 73 L 3 2 6 4 5 1 3 L 于是余数以 6为周期变化所以 8 9 53 3 5 m o d 7 【 巩巩 固固 】 （ 2007年实验中学考题） 2 2 2 21 2 3 2 0 0 1 2 0 0 2 L 除以 7的余数是多少？ 【解析】 由于2 2 2 2 2 2 0 0 2 2 0 0 3 4 0 0 51 2 3 2 0 0 1 2 0 0 2 1 0 0 1 2 0 0 3 1 3 3 56 L，而 1001是 7的倍数，所以这个乘积也是 7的倍数，故 2 2 2 2 21 2 3 2 0 0 1 2 0 0 2 L 除以 7的余数是 0； 【 巩巩 固固 】 30 3131 30 被 13除所得的余数是多少？ 【解析】 31被 13 除所得的余数为 5，当 n 取 1， 2， 3， L 时 5n 被 13 除所得余数分别是 5， 12， 8， 1， 5，12， 8， 1L 以 4为周期循环出现，所以 305 被 13除的余数与 25 被 13除的余数相同，余 12，则 3031除以 13 的余数为 12； 30被 13 除所得的余数是 4，当 ， 2， 3， L 时， 4n 被 13除所得的余数分别是 4， 3， 12， 9，10， 1， 4， 3， 12， 9， 10， 为周期循环出现，所以 314 被 13 除所得的余数等于 14 被 13除所得的余数，即 4，故 3130 除以 13 的余数为 4； 所以 30 3131 30 被 13除所得的余数是 12 4 13 3 【 巩巩 固固 】 (2008年奥数网杯 )已知2 0 0 8 2 0 0 820082008 2008a 44 2 4 4 43个，问： a 除以 13所得的余数是多少？ 【解析】 2008除以 13 余 6， 10000除以 13 余 3，注意到 20082008 2008 10000 2008 ； 200820082008 20082008 10000 2008 ； 2008200820082008 200820082008 10000 2008 ； 据这样的递推规律求出余数的变化规律： 20082008除以 13余 6 3 6 13 11 ， 200820082008除以 13余 1 1 3 6 3 9 0 ，即 200820082008是 13的倍数 2010 年 暑 假 第 10 讲 教师版 1 3 而 2008 除以 3余 1，所以2 0 0 8 2 0 0 820082008 2008a 44 2 4 4 43个除以 13 的余数与 2008 除以 13的余数相同，为 6. 【 巩巩 固固 】 1996 7777 77142 43个除以 41的余数是 多少？ 【解析】 找规律： 7 41 7 ， 77 41 36 ， 7 7 7 4 1 3 9 ， 7 7 7 7 4 1 2 8 ， 7 7 7 7 7 4 1 0 ， ，所以 77777是 41的倍数，而 1 9 9 6 5 3 9 9 1 L ，所以1996 7777 77142 43个可以分成 399段 77777和 1个 7组成，那么它除以 41 的余数为 7 【 巩巩 固固 】 1 2 3 4 2 0 0 51 2 3 4 2 0 0 5 0所得的余数为多少？ 【解析】 求结果除以 10的余数即求其个位数 字 从 1到 2005这 2005个数的个位数字是 10个一循环的，而对一个数的幂方的个位数，我们知道它总是 4 个一循环的，因此把 所有 加数的个位数按 每 20个 (20是 4和 10 的最小公倍数 )一组，则不同组中对应的 个位 数字应该是一样的 首先计算 1 2 3 4 2 01 2 3 4 2 0 为 1 4 7 6 5 6 3 6 9 0 1 6 3 6 5 6 7 4 9 0 9 4 的个位数字，为 4， 由于 2005 个加数 共可分成 100 组另 5 个数， 100 组的个位数 字和 是 4 100 400的个位数即 0，另外 5 个数为 20012001 、 20022002 、 20032003 、 20042004 、 20052005 ，它们和的个位数字是1 4 7 6 5 2 3 的个位数 3，所以原式的个位数字是 3，即除以 10的余数是 3 【例 11】 求所有的质数 P，使得 241p 与 261p 也是质数 【解析】 如果 5p ，则 24 1 101p ， 26 1 151p 都是质数，所以 5符合题意如果 ，那么 的余数为 1、 2、 3或者 4， 2p 除以 5的余数即等于 21 、 2 、 23 或者 24 除以 5的余数，即1、 4、 9或者 16 除以 5的余数，只有 1和 4两种情况如果 2p 除以 5的余数为 1，那么 241p 除以 5 的余数等于 4 1 1 5 除以 5 的余数，为 0，即此时 241p 被 5整除，而 241p 大于 5，所以此时 241p 不是质数；如果 2p 除以 5的余数为 4，同理可知 261p 不是质数 ，所以 ，241p 与 261p 至少有一个不是质数，所以只有 5p 满足条件 【 巩巩 固固 】 在图 表 的第二行中，恰好填上 89 98 这十个数，使得每一竖列上下两个因 数的乘积除以 11 所得的余数都是 3 【解析】 因为两个数的乘积除以 11 的余数，等于因数 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 因数 2010 年 暑 假 第 10 讲 教师版 2 3 两个 数分别除以 11的余数之积因此原题中的 89 98 可以改换为 1 10 ，这样上下两数的乘积除以 11 余 3就容易计算了我们得到下面的结果： 进而得到本题的答案是： 因数 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 因数 91 95 89 97 93 94 90 98 92 96 【 巩巩 固固 】 (2000年“华杯赛”试题 )3个三位数乘积的算式 234235286a b c b c a c a b (其中 )， 在校对时，发现右边的积的数字顺序出现错误，但是知道最后一位 6是正确的，问原式中的 多少？ 【解析】 由于 234235286 2 3 4 2 3 5 2 8 6 8 ( m ) ， 3( ) ( m o d 9 )a b c b c a c a b a b c ， 于是 3( ) 8 ( m o d 9 ) ，从而 (用 0 , 1 , 2 , . . . , 8 ( m o d 9 ) 代入上式检验 ) 2 , 5 , 8 ( m o d 9 ) (1)，对 a 进行讨论： 如果 9a ，那么 2 , 5 , 8 ( m o d 9 ) (2)，又 c a b 的个位数字是 6，所以 的个位数字 为4， 可能为 41 、 72 、 83 、 64 ，其中只有 ( , ) ( 4 ,1), (8 , 3) 符合 (2)，经检验只有9 8 3 8 3 9 3 9 8 3 2 8 2 4 5 3 2 6 符合题意 如果 8a ，那么 3 , 6 , 0 ( m o d 9 ) (3)，又 的个位数字为 2或 7，则 可能为 21 、 43 、62 、 76 、 71 ，其中只有 ( , ) (2,1)符合 (3)，经检验， 821不合题意 如果 7a ，那么 4 , 7 ,1( m o d 9 ) (4)，则 可能为 42 、 63 ，其中没有符合 (4)的 (, ) 如果 6a ，那么 5b ， 4c ， 7 0 0 6 0 0 5 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 3 3 4 5 8 6a b c b c a c a b ，因此这时 可能符合题意综上所述， 983是本题唯一的解 【例 12】 一个大于 1的数去除 290， 235， 200时，得余数分别为 a ， 2a ， 5a ，则这个自然数是多少？ 【解析】 根据题意可知， 这个自然数去除 290， 233， 195时，得到相同的余数 （都为 a ） 既然 余数相同，我们可以利用余数定理，可知 其中 任意两数的差 除以这个数 肯定余 0那么这个自然数是 290 233 57的约数，又是 233 195 38的约数，因此就是 57和 38的公约数 ,因为 57和 38的公约数 只有 19和 1， 而这个数大于 1， 所以这个自然数是 19 【 巩巩 固固 】 一个大于 10 的自然数去除 90、 164 后所得的两个余数的和等于这个自然数去除 220 后所得的余因数 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 因数 3 7 1 9 5 6 2 10 4 8 2010 年 暑 假 第 10 讲 教师版 3 3 数，则这个自然数是多少？ 【解析】 这个自然数去除 90、 164 后所得的两个余数的和等于这个自然数去除 90 164 254后所得的余数，所以 254和 220除以这个自然数后所得的余数相同，因此这个自然数是 254 220 34的约数，又大于 10， 这个自然数只能是 17或者是 34 如果这个数是 34，那么它去除 90、 164、 220 后所得的余数分别是 22、 28、 16，不符合题目条件 ； 如果这个数是 17，那么他去除 90、 164、 220后所得的余数分别是 5、 11、 16，符合题目条件，所以这个自然数是 17 【例 13】 甲、乙、丙三数分别为 603， 939， 393某数 A 除甲数所得余数是 A 除乙数所得余数的 2倍， 除丙数所 得余数的 2倍求 A 等于多少？ 【解析】 根据题意，这三个数除以 A 都有余数，则可以用带余除法的形式将它们表示出来： 11603 A K r K r K r 232要消去余数1r, 2r, 3r,我们只能先把余数处理成相同的，再两数相减 这样我们先把第二个式子乘以 2，使得被除数和余数都扩大 2倍，同理，第三个式子乘以 4 于是我们可以得到下面的式子：11603 A K r 229 3 9 2 2 2A K r 333 9 3 4 2 4A K r 后两两相减消去余数，意味着能被 A 整除 9 3 9 2 6 0 3 1 2 7 5 ， 3 9 3 4 6 0 3 9 6 9 ， 1 2 7 5 , 9 6 9 5 1 3 1 7 51的约数有 1、 3、 17、 51，其中 1、 3显然不满足，检验 17 和 51可知 17 满足，所以 A 等于 17 【 巩巩 固固 】 一个自然数除 429、 791、 500所得的余数分别是 5a 、 2a 、 a ，求这个自然数和 a 的值 . 【解析】 将这些数转化成被该自然数除后余数为 2a 的数： 4 2 9 5 2 8 4 8 ， 791 、 500 2 1000 ，这样这些数被这个自然数除所得的余数都是 2a ，故同余 . 将这三个数相减，得到 848 791 57、 1000 848 152，所求的自然数一定是 57 和 152 的公约数，而 57,152 19 ，所以这个自然数是 19的约数，显然 1 是不符合条件的，那么只能是 这个 自然数是 19时，除 429 、 791 、 500 所得的余数分别为 11、 12、 6 ， 6a 时成立 ,所以这个自然数是 19， 6a . 【 模块 三：余数综合应用】 【例 14】 著名的裴波那契数列是这样的： 1、 1、 2、 3、 5、 8、 13、 21这串数列当中第 2008个数除以3所得的余数为多少？ 2010 年 暑 假 第 10 讲 教师版 4 3 【解析】 斐 波那契数列的构成规则是从第三个数起每一个数都等于它前面两个数的和，由此可以根据余数定理将裴波那契数列转换为被 3除所得余数的数列： 1、 1、 2、 0、 2、 2、 1、 0、 1、 1、 2、 0 第九项和第十项连续两个是 1，与第一项和第二项的值相同且位置连续，所以裴波那契数列被 3除的余数每 8 个一个周期循环出现，由于 2008 除以 8 的余数为 0，所以第 2008 项被 3 除所得的余数为第 8项被