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4 8能控标准形和能观标准形 4 8 1系统的能控标准形 式 4 8 2 中 系统矩阵和输入矩阵对 A B 具有标准结构 列向量B中最后一个元素为1 而其余元素为零 A为友矩阵 易证与其对应的能控性判别矩阵Uc是一个主对角元素均为1的右下三角阵 故det Uc 0 rank Uc n 即系统一定能控 因此 若单输入系统状态空间表达式中的系统矩阵和输入矩阵对 A B 具有形如式 4 8 2 中的标准形式 则称其为能控标准型 且该系统一定是状态完全能控的 一个能控系统 当其系统矩阵和输入矩阵对 A B 不具有能控标准型时 一定可以通过适当的线性非奇异变换化为能控标准型 定理4 8 1如果系统是能控的 那么必存在一非奇异变换使其变换成能控标准形 线性变换矩阵 例4 8 1线性定常系统 能控性矩阵 逆矩阵 推论1 设单输入线性定常系统 4 8 1 能控 式中A b分别为矩阵 且系统的特征多项式为 则可通过非奇异线性变换 将式 4 8 1 变换为能控标准型 式中 实现能控标准型变换的核心在于构造非奇异变换阵 可以证明 引入非奇异变换 将状态完全能控的单输入系统式 4 8 1 变换为能控标准型式 4 8 2 的变换矩阵的逆矩阵可表达为 例 试将下列状态空间表达式变换成能控标准型 并求系统的传递函数 解 变换前系统能控判别矩阵 因为 故系统是能控的 可化为能控标准型 又因为系统的特征多项式为 故 引入 其中非奇异变换阵由推论中得 也可根据定理8 1先求变换阵的逆矩阵 则 变换后所得能控标准型为 其中 4 8 2系统的能观标准形 式 4 8 19 中 系统矩阵和输出矩阵对 A C 具有标准结构 行向量C中最后一个元素为1 而其余元素为零 A为友矩阵的转置 易证与其对应的能观测性判别矩阵UO的行列式 故 即系统一定能观测 若单输出系统状态空间表达式中的系统矩阵和输出矩阵对 A C 具有形如式 4 8 19 中的标准形式 则称其为能观测标准型 且该系统一定是状态完全能观测的 一个能观测系统 当其系统矩阵和输出矩阵对 A C 不具有能观测标准型时 一定可以通过适当的非奇异变换化为能观测标准型 定理4 8 2如果系统是能观测的 那么必存在一非奇异变换将系统变换为能观标准形 例4 8 2 能观性矩阵 推论2 设单输出线性定常系统 4 8 15 能观测 式中A C分别为矩阵 且系统的特征多项式为 则存在线性非奇异变换 变换矩阵的逆矩阵 将式 4 8 15 变换为能观测标准型 4 8 19 其中 与能控的单输入系统能控标准型变换对应 可以证明 引入非奇异变换 将状态完全能观测的单输出系统 4 8 15 变换为能观测标准型式 4 8 193 的变换矩阵 由定理8 2中的构造方法与推论2中的构造方法是等效的 即 例 试将状态空间表达式变换为能观测标准型 解 因为 故系统是能观测的 可化为能观测标准型 则 也可根据定理8 2先确定变换阵 再由矩阵求逆得
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