高等数学 格林公式及其应用ppt课件.ppt

1 10 3格林公式及其应用 小结思考题作业 格林 Green 公式 平面上曲线积分与路径无关的条件 全微分方程 第10章曲线积分与曲面积分 2 1 区域连通性的分类 设D为平面区域 复连通区域 单连通区域 一 格林公式 否则称为 则称D为平面 复连通区域 成的部分都属于D 如果D内任一闭曲线所围 单连通区域 3 定理10 4 格林公式 设闭区域D由分段光滑 的曲线L围成 函数P x y 及Q x y 在D上具有 连续偏导数 则有 2 格林公式 其中L是D的取正向的边界曲线 一阶 4 当观察者沿边界行走时 1 P Q在闭区域D上具有一阶连续偏导 2 曲线L是封闭的 并且取正向 注 规定 边界曲线L的正向 区域D总在他的 左边 格林公式 5 1 先对简单区域证明 证明 若区域D既是 又是 即平行于坐标轴的直线 和L至多交于两点 6 同理可证 化为二次积分 化为第二类曲线积分 7 2 再对一般区域证明 若区域D由按段光滑 如图 将D分成三个既是 又是 的区域 的闭曲线围成 8 L1 L2 L3对D来说为正方向 9 3 对复连通区域证明 若区域不止由一条闭曲线 所围成 格林公式 且边界的方向对区 的曲线积分 右端应包括沿区域D的全部边界 域D来说都是正向 对复连通区域D L1 L2 L3对D来说为正方向 10 3 对复连通区域证明 由 2 知 若区域不止由一条闭曲线 添加直线段 则D的边界曲线由 及 构成 所围成 G F L1 L2 L3对D来说为正方向 对复连通区域D 格林公式 且边界的方向对区 的曲线积分 右端应包括沿区域D的全部边界 域D来说都是正向 11 便于记忆形式 格林公式的实质 之间的联系 沟通了沿闭曲线的积分与 二重积分 12 1 计算平面的面积 3 简单应用 格林公式 得 闭区域D的面积 13 例求椭圆 解 由公式 得 D 所围成的面积 14 对平面闭曲线上的对坐标曲线积分 比较简单时 常常考虑通过格林 公式化为二重积分来计算 15 计算 L是圆周 如把圆周写成参数方程 再将线积分化为定积分计算 用格林公式易求 分析 则过程较麻烦 解 由格林公式 2 简化曲线积分的计算 例 16 其中L为圆周 解 由格林公式有 的正向 练习 17 解 由格林公式 练习 18 例 计算 分析 但由 可知 非常简单 A a 0 到点O 0 0 的上半圆周 此积分路径 不是闭曲线 19 为应用格林公式再补充一段曲线 因在补充的曲线上还要算曲线积分 补充的曲线要简单 使之构成 闭曲线 所以 因而这里补加直线段 直线段 通常是补充与坐标轴平行的 L不闭合 边L 使L L 闭合 再用格林公式 由格林公式 解 的方程为 故 所以 20 练习 则曲线积分 设L为正向圆周 在第一象限中的部分 的值为 解 21 3 二重积分化为线积分计算 则 解 令 例 为顶点的 格林公式 三角形闭区域 22 解 记L所围成的闭区域为D 其中L为一条无重点 分段光滑且不经过原点的连续闭曲线 L的方向为 例 令 有 逆时针方向 23 即L为不包围原点的任一闭曲线 即L为包围原点在内的任一 闭曲线 由格林公式 应用由格林公式 得 作位于D内圆周 记D1由L和l所围成 24 所以 其中l的方向取 逆时针方向 注意格林公式的条件 对复连通区域D 格林公式右端应包括沿 且边界的方向 区域D的全部边界的曲线积分 对区域D来说都是正向 25 解 记L与l围成的闭区域为D1 设L为圆周 在L内部作有向椭圆l 顺时针方向 例 l的方向为 而 格林公式 法一 26 所以 法二 D2是由l所围区域 格林公式 27 研究生考题 数学一 10分 已知平面区域 L为D的正向边界 试证 证 左边 右边 法一 1 28 已知平面区域 L为D的正向边界 试证 证 2 由于 故由 1 得 研究生考题 数学一 10分 29 证 法二 1 根据格林公式 得 左边 右边 因为D关于 对称 所以 研究生考题 数学一 10分 已知平面区域 L为D的正向边界 试证 30 证 法二 由 1 知 研究生考题 数学一 10分 已知平面区域 L为D的正向边界 试证 31 B 如果在区域G内有 二 平面上曲线积分与路径无关的条件 A L1 L2 1 平面上曲线积分与路径无关的定义 否则与路径有关 则称曲线积分 在G内 与路径无关 32 2 平面曲线积分与路径无关的条件 定理10 5 的各分量在区域D上有一阶连续偏导数 则以下三个 1 对D中任意分段光滑的闭曲线L 总有 2 曲线积分 在D内与 3 在D内是某个二元 函数的全微分 即存在u x y 使得 路径无关 设向量函数 命题等价 33 证 定理中的三个条件互为充要条件 证明方式 在D内与路径无关 A B L1 L2 如图 在 1 的条件下 于是 34 由条件 2 只需证 由偏导定义 在D内与路径无关 设A x0 y0 B x y 是D内任意两点 35 于是 积分中值定理 P连续 同理可证 所以 36 不妨设封闭曲线 其参数方程为 都对应A点 则 易证 原函数 化为定积分 37 推论10 1 曲线积分的基本定理 积分 区域G内的一个向量场 设向量函数 续 是平面 P x y 及Q x y 都在G内连 且存在一个数量函数f x y 使得 则曲线 在G内与路径无关 且 其中L为位于区域G内起点为A 终点为B的任意分 分段光滑曲线 38 定理10 6 下两个命题等价 1 曲线积分 在D内与 2 在D内恒成立 路径无关 的各分量在单连通区域D上有一阶连续偏导数 设向量函数 则以 证 在D内任取一条闭曲线C 都有 格林公式 闭曲线C所包围的区域G完全位于D内 39 的连续性 在D内恒 可以得到 成立 在D内任取一条闭曲线C 单连通的 因为D是 闭曲线C所包围的区域G完全位于D内 格林公式 所以 曲线积分与路径无关 40 例 计算曲线积分 其中L是 的一段有向弧 解 曲线积分与路径无关 上述定理的简单应用 1 简化曲线积分 41 曲线积分与路径无关 所以 可以用有向折线 代替有向弧L 如图 于是 42 解 原式 曲线积分与路径无关 例 43 考虑表达式 如果存在一个函数 使得 则称 并将 全微分式 为一 原函数 的原函数 定理的简单应用 44 由 例 可知 都是 分别是上面的 原函数 全微分式 45 下面说明一般怎样 判断全微分式 求原函数 由定理 是一个全微分式 即 1 判断全微分式 46 D x0 y 或 则 2 求原函数 47 例 用曲线积分求其一个原函数 如是 解 在全平面成立 所以上式是全微分式 因而一个原函数是 全平面为单连通域 法一 x y 48 这个原函数也可用下法 分组 凑出 法二 49 因为函数u满足 故 从而 所以 问是否为全微分式 用曲线积分求其一个原函数 如是 由此得 y的待定函数 法三 50 解 积分与路径无关 设曲线积分 与路径无关 具有连续的导数 即 练习 51 1 0 设曲线积分 与路径无关 具有连续的导数 52 法二 设曲线积分 与路径无关 具有连续的导数 53 内具有一阶连续导数 L是上半平面 y 0 内的有向分段光滑曲线 为 a b 终点为 c d 记 1 证明曲线积分I与路径L无关 2 当ab cd时 求I的值 证 因为 所以在上半平面内曲线积分I与路径L无关 1 例 其起点 54 解 2 由于曲线积分I与路径L无关 L是上半平面 y 0 内的有向分段光滑曲线 起点 a b 终点 c d 所以 2 当ab cd时 求I的值 法一 55 解 2 L是上半平面 y 0 内的有向分段光滑曲线 起点 a b 终点 c d 2 当ab cd时 求I的值 法二 设F x 为f x 的一个原函数 则 由此得 56 例 求解 有的微分方程可以由多元函数全微分的逆运 是可分离 解 将方程写成 因为左端是全微分式 所以方程变成 得通解 三 全微分方程 又是齐次方程 算解出 57 1 定义 则 若有全微分形式 如 全微分方程或恰当方程 是全微分方程 所以 全微分方程 58 2 解法 1 应用曲线积分与路径无关 通解为 2 用直接凑全微分的方法 全微分方程 3 用不定积分的方法 D x0 y 因为 59 解 例 将方程整理得 全微分方程 因为 1 用曲线积分与路径无关 60 2 凑微分法 原方程的通解为 61 3 不定积分法 原方程的通解为 因为 所以 所以 所以 62 解 全微分方程 将左端重新组合 原方程的通解为 例 63 格林公式 四 小结 单 复 连通区域的概念 格林公式的应用 格林公式的实质 的联系 沟通了沿闭