2019年江苏高考南通密卷十(南通市数学学科基地命题)

1 20192019 年高考模拟试卷年高考模拟试卷 10 10 南通市数学学科基地命题南通市数学学科基地命题 第 卷 必做题 共 160 分 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 14 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 70 分分 1 复数的虚部为 34zi 2 函数的最小正周期为 其中 则 2sin 6 f xx 4 0 3 函数的值域为集合 A 函数的定义域为集合 B 则 AB 1yx lg 2yx 4 已知双曲线的一个焦点为 5 0 则实数 m 22 1 9 xy m 5 若五个数 1 2 3 4 a 的平均数为 3 则这五个数的标准差是 6 执行右面的程序图 那么输出 n 的值为 7 若以连续掷两次骰子分别得到的点数 m n 作为点 P 的横 纵坐标 则点 P 在直线 x y 5 下方的概率为 8 已知是定义在 R 上的奇函数 又是周期为 2 的周期函数 当 f x 时 则的值为 0 1 x 21 x f x 0 5 log6 f 9 已知正六棱锥 P ABCDEF 的底面边长为 1 cm 侧面积为 3 cm2 则 该棱锥的体积为 cm3 10 在 ABC 中 则角 A 的最大值为 3 0ABACCB 11 已知圆与直线交于两点 点在直线上 22 1 9xy 3 txyBA baPxy2 且 则的取值范围为 PBPA a 12 若关于 x 的方程 kx 1 2k k 为实数 有三个实数解 则这三个实数解的和 2 log 2x 4 x 13 已知数列满足 且对于任意 12 n a aa 2 1 321 aaa Nn1 21 nnn aaa 又 则 321321 nnnnnnnn aaaaaaaa 1232015 aaaa 14 已知对于一切 x y R 不等式恒成立 则实数02 18 2 81 2 2 2 ay x xy x x a 的取值范围是 二 解答题 本大题共二 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 90 分分 15 本小题满分 14 分 在ABC 中 已知45A 4 cos 5 B 1 求cosC的值 2 若10 BCD 为AB的中点 求CD的长 16 本小题满分 14 分 在四面体 中 且分别是ABCD CBCD ADBD E F 结束 开始 n 1 S 0 n n 1 输出 n Y Y S 20 S 2S 1 N 第 6 题 2 D AB C O E F 的中点 AB BD 求证 1 直线 EF 面 ACD 2 平面 EFC 平面 BCD 17 本小题满分 14 分 如图 有一块矩形草坪 ABCD AB 100 米 BC 米 欲在这50 3 块草坪内铺设三条小路 OE EF 和 OF 要求 O 是 AB 的中点 点 E 在边 BC 上 点 F 在 边 AD 上 且 EOF 90 1 设 BOE 试求的周长 关于的函数解析式 并求出此函数的定义域 OEF l 2 经核算 三条路每米铺设费用均为 400 元 试问如何设计才能使铺路的总费用最低 并求出最低总费用 18 本小题满分 16 分 已知椭圆的左顶点为 2 0 且过点 22 22 1 0 xy ab ab A 1 e e 为椭圆的离心率 过作两条互相垂直的弦 交椭圆于两点 AAMAN M N 3 M A N Ox y 1 求点椭圆的方程 2 求证 直线恒过轴上的一个定点 MNx 19 本小题满分 16 分 已知函数 其中 a R 2 416 ax f x x ax xg 2 1 1 若 00 角cos A 2 cos Acos A 3 cos 2 A 6 A A 的最大值为 11 解析 直线与圆有交点得 再有 6 2 0 0 1 4 3 0 tt或 和得 可得 xy2 1 1 x a y 12 1 t a 2 0 0 1 a 12 6 提示 两个函数的图象均关于点 2 0 对称 13 4028 解析 由题意可得与已知式两式相减 43214321 nnnnnnnn aaaaaaaa 得 且 所以 nn aa 4 8 4 43214 aaaaa 2015321 aaaa 40282115038 14 解析 数形结合 6 a 222 9 2 2xyya x 二 解答题二 解答题 15 1 4 cos 5 B 且 0 180 B 2 3 sin1 cos 5 BB coscos 180 cos 135 CABB 2 42 3 cos135 cossin135 sin 2525 BB 2 10 2 由 可得 22 27 sin1 cos1 2 1010 CB 由正弦定理得 sinsin BCAB AC 即 10 7 2 2 10 2 AB 解得14AB 在BCD 中 7BD 222 4 7102 7 1037 5 CD 所以37CD 16 1 E F 分别是 AB BD 的中点 EF 是 ABD 的中位线 EF AD EF面 ACD AD 面 ACD 直线 EF 面 ACD 2 AD BD EF AD EF BD CB CD F 是 BD 的中点 CF BD 8 又 EFCF F BD 面 EFC BD面 BCD 面 EFC 面 BCD 17 1 Rt BOE 中 OB 50 B 90 BOE OE 50 cos Rt AOF 中 OA 50 A 90 AFO OF 50 sin 又 EOF 90 EF 2222 5050 cossin OEOF 50 cossin 505050 cossincossin lOEOFEF 即 50 sincos1 cossin l 当点 F 在点 D 时 这时角最小 求得此时 6 当点 E 在 C 点时 这时角最大 求得此时 3 故此函数的定义域为 6 3 2 由题意知 要求铺路总费用最低 只要求的周长 的最小值即可 OEF l 由 1 得 50 sincos1 cossin l 6 3 设 则 sincost 2 1 sincos 2 t 2 50 sincos1 50 1 100 1cossin1 2 t l tt 由 得 5 7 12412 31 2 2 t 31 121 2 t 从而 当 即 BE 50 时 1 2131 1t 4 min 100 21 l 所以当 BE AE 50 米时 铺路总费用最低 最低总费用为元 40000 21 18 1 将点代入 并结合 1 e 22 2 1 4 xy b 4 22 cb 可得椭圆方程为 2 2 1 4 x y 2 当直线 AM 的斜率为 1 时 MN 过点为 猜想定点为 0 5 6 0 5 6 1 2 2 AMyk xAN yx K 9 由 222 22 2 4 2 4 44 yk x xkx xy 2 2222 2 164 14 161640 2 14 M k kxk xkx k 同理 2 2 2 22 2 28 284 14 14144 14 M M k x kk k M kkk y k 2 22 284 44 kk N kk 2 222 22 2 4 64205 14 0 6 286516 1644 28 14 5 145 PM k kkk k Pk kkk kk k 2 222 2 4 205 4 286 161644 45 PNPMPN k kk k kkk kkk k M P N 三点共线 故 MN 过定点 19 1 h x 为单调减函数 证明 由 0 a 2 x 2 可得 h xf xg x 2 1 4162 x a ax x 2 1 2 4162 ax ax x 由 2 22 4 4 11 2 ln 416 22 ax ax h x x 2 22 4 1 2 ln2 28 2 ax ax x 且 0 a 2 x 2 所以 从而函数 h x 为单调减函数 亦可先分别用 0h x 定义法或导数法论证函数在上单调递减 再得函数 h x 为单调减函数 f xg x和 2 2 若 a 0 由 x1 2 x2 2 1 11 2 1 0 416 ax p xf x x 2 22 1 0 2 xa p xg x 所以 g x1 g x2 不成立 若 a 由 x 2 时 2 22 4 0 28 ax p xfx x 所以 p x 在单调递减 从而 即 2 1 0 2 p xf 1 0 16 a p x a 若 a 2 由于 x 时 111 2 222 x aa xax p xg x 所以 p x 在 2 上单调递增 从而 即 2 0 2 p xg 2 2 1 0 2 a p x 10 要使 p x1 p x2 成立 只需 即成立即可 2 1 162 a a 2 1 0 162 a a 由于函数在的单调递增 且 q 4 0 所以 2 a 4 2 1 162 a a q a 2 b 若 0 a 2 由于 x 2 时 1 1 2 12 2 2 a x x a x a xa p xg x ax 所以 p x 在上单调递增 在上单调递减 从而 a 2 a 2 0 p xg a 即 2 0 1 p x 要使 p x1 p x2 成立 只需成立 即成立即可 2 1 16 1 162 a a a 2 1 162 a a 由 0 a 2 得 故当 0 a 2 时 恒成立 2 111 16824 a a 2 1 162 a a 综上所述 a 的取值范围为 0 4 20 1 易知 对一切 n 1 an 0 由 an 2 得 an a 2n 1 1 a2 n 1 an 2 an 1 1 an 1 an 1 an 1 an 依次利用上述关系式 可得 1 an 1 an 1 an an an 1 1 an 1 an 1 an 2 1 an 2 a2 a1 1 a1 2 1 1 1 从而数列是常数列 an 1 an 1 an 2 由 1 得 an 1 an 1 an 又 a1 1 可知数列 an 递增 则对一切 n 1 有 an 1 成立 从而 0 1 1 a2 n 当 n 2 时 a a 2 2 n 2 1 1 1 n n a a 2n 1 1 a 2n 1 于是 a a 2 2 n2n 1 1 a 2n 1 2 a a 3 2 n2n 1 3 当 n 2 时 a a 2 2 n2n 1 1 a 2n 1 a a 2 n 1 2 n 1 a 2n 1 1 a2 12 1 11 a 1 a 4 则当 n 3 时 2 12 2 a a 2 n 1 2 n 1 a 2n 1 1 a2 12 1 1 1 2 n 1 1 a 2n 1 1 a2 2 2n 2n 1 a 2n 1 1 a2 2 22 2015 22 20142 11 2 2015403063a aa 又 2 2015 22 20141 11 2 2015 1 1a aa 4 029 4 030 1 a2 1 2 2014 1 a 1 2 111 242 2014 4 030 1 2 111 2339 1 2 111 4041199 1111 2 2002012014 4 030 4 096 642 1 111 381601815 2 240200 63 64 即的整数部分为 63 2015 a 2015 a 第 卷 附加题 共 40 分 2121 A 因为 AB 是圆 O 的直径 所以 APB 90 从而 BPC 90 在 BPC 中 因为 E 是边 BC 的中点 所以 BE EC 从 而 BE EP 因此 1 3 又因为 B P 为圆 O 上的点 所以 OB OP 从而 2 4 因为 BC 切圆 O 于点 B 所以 ABC 90 即 1 2 90 从而 3 4 90 于是 OPE 90 所以 OP PE B 由题设得 11 1000 22 02 0102 MN 设所求曲线 F 上任意一点的坐标为 x y 上任意一点的坐标为 则xysin yx MN 解得 y x y x y x 20 0 2 1 yy xx 2 1 2 把代入 化简得 yy xx 2 1 2 xy sinxy2sin2 12 所以 曲线 F 的方程为 xy2sin2 C 直线 m 的普通方程为 6 yx 曲线 C 的普通方程为 xy8 2 由题设直线 m 与曲线 C 交于 A B 两点 可令 11 yxA 22 yxB 联立方程 解得 则有 6 8 2 yx xy 6 8 2 yy8 21 yy48 21 yy 于是 1 2222 121212212 2 1 1 2 4 162ABxxyyyyyyy y 故 216 AB D 由题设 x 0 y 0 x y 可得 x y 0 因为 2x 2y 2 x y x y x y 又 x y x y 2 3 2 1 3 3 xy xy 等号成立条件是 x y 1 所以 2x 2y 3 即 2x 2y 3 22 22 1 建立如图所示的直角坐标系 则 从而 0 0 0 A 2 0 2 E 6 0 0 1 A 4 2 0 F 2 0 2 AE 1 0 2 2 AF 记与的夹角为 则有AEFA1 1 1 41 cos 2 88 AE AF AEAF 由异面直线与所成角的范围为 得异面直线与所成角为 60 AEFA1 2 0 AEFA1 2 记平面和平面的法向量分别为 n 和 m 则由题设可令 且有A