九类常见递推数列求通项公式方法

1 递推数列通项求解方法递推数列通项求解方法 类类型一 型一 1nn apaq 1p 思路 1 递推法 123 nnnn apaqp paqqp p paqqq 12 1 1 n paqpp 21 1 11 nn qq pap pp 思路 2 构造法 设 即得 数列 1nn ap a 1pq 1 q p 是以为首项 为公比的等比数列 则 n a 1 a p 1 1 11 n n qq aap pp 即 1 1 11 n n qq aap pp 例 1 已知数列满足且 求数列的通项公式 n a 1 23 nn aa 1 1a n a 解 方法 1 递推法 123 232 23 32 2 2333 nnnn aaaa 12 23 122 n 211 33 2 1223 2 11 2 nnn 方法 2 构造法 设 即 数列是以 1 2 nn aa 3 3 n a 为首项 为公比的等比数列 则 即 1 34a 2 11 34 22 nn n a 1 23 n n a 2 类类型二 型二 1 nn aaf n 思路 1 递推法 123 1 2 1 3 2 1 nnnn aaf naf nf naf nf nf n 1 1 1 n i af n 思路 2 叠加法 依次类推有 1 1 nn aaf n 12 2 nn aaf n 将各式叠加并整理得 23 3 nn aaf n 21 1 aaf 1 1 1 n n i aaf n 即 1 1 1 n n i aaf n 例 2 已知 求 1 1a 1nn aan n a 解 方法 1 递推法 123 1 2 1 nnnn aanannannn 1 23a 1 1 2 1 2 n i n n nnnn 方法 2 叠加法 依次类推有 1nn aan 将各式叠加并整理得 12 1 nn aan 23 2 nn aan 21 2aa 1 2 n n i aan 1 21 1 2 nn n ii n n aann 3 类类型三 型三 1 nn af na 思路 1 递推法 123 1 1 2 1 2 3 nnnn af naf nf naf nf nf na 1 2 3 fff 1 2 1 f nf na 思路 2 叠乘法 依次类推有 1 1 n n a f n a 1 2 2 n n a f n a 将各式叠乘并整理得 2 3 3 n n a f n a 2 1 1 a f a 1 1 2 3 n a fff a 即 2 1 f nf n 1 2 3 n afff 1 2 1 f nf na 例 3 已知 求 1 1a 1 1 1 nn n aa n n a 解 方法 1 递推法 123 112123 1111 nnnn nnnnnn aaaa nnnnnn 2 1 n n 方法 2 叠乘法 依次类推有 1 1 1 n n an an 1 2 2 n n an an 2 3 3 1 n n an an 将各式叠乘并整理得 即 3 2 2 4 a a 2 1 1 3 a a 1 123 11 n annn annn 2 1 4 3 123 11 n nnn a nnn 2 12 4 3 1 n n 4 类类型四 型四 11nnn apaqa 思路 特征根法 为了方便 我们先假定 递推式对应的特征方 1 am 2 an 程为 当特征方程有两个相等实根时 为待 2 xpxq 1 2 n n p acnd cd 定系数 可利用 求得 当特征方程有两个不等实根时 时 1 am 2 an 1 x 2 x 为待定系数 可利用 求得 当特征方程的根 11 12 nn n aexfx ef 1 am 2 an 为虚根时数列的通项与上同理 此处暂不作讨论 n a 例 4 已知 求 1 2a 2 3a 11 6 nnn aaa n a 解 递推式对应的特征方程为即 解得 2 6xx 2 60 xx 1 2x 设 而 即 2 3x 11 12 nn n aexfx 1 2a 2 3a 解得 即 2 233 ef ef 9 5 1 5 e f 11 91 2 3 55 nn n a 5 类类型五 型五 1 n nn aparq 0pq 思路 构造法 设 则 1 1 n nn aparq 1 1 nn nn aa qq 从而解得 那么是以为首 1 1 nn qp qrq p q r pq n n ar qpq 1 ar qpq 项 为公比的等比数列 p q 例 5 已知 求 1 1a 1 1 2n nn aa n a 解 设 则 解得 1 1 22 nn nn aa 1 21 1 22 nn 1 2 1 3 是以为首项 为公比的等比数列 即 1 23 n n a 111 236 1 2 1 111 2362 n n n a 21 3 n n a 类类型六 型六 且且 1 nn apaf n 0p 1p 思路 转化法 递推式两边同时除以得 1 1 nn apaf n n p 6 我们令 那么问题就可以转化为类型二进行求解了 1 1 1 nn nnn aaf n ppp n n n a b p 例 6 已知 求 1 2a 1 1 42n nn aa n a 解 式子两边同时除以得 令 则 1 42n nn aa 4n 1 1 1 442 n nn nn aa 4 n n n a b 依此类推有 1 1 2 n nn bb 1 12 1 2 n nn bb 2 23 1 2 n nn bb 各式叠加得 即 2 21 1 2 bb 1 2 1 2 n n n i bb 1 221 11111 1 22222 nnnn nnn n iii bb 1 44142 2 n nnnn nn ab 类类型七 型七 1 r nn apa 0 n a 思路 转化法 对递推式两边取对数得 我们令 1 logloglog mnmnm arap 这样一来 问题就可以转化成类型一进行求解了 log nmn ba 例 7 已知 求 1 10a 2 1nn aa n a 解 对递推式左右两边分别取对数得 令 则 2 1nn aa 1 lg2lg nn aa lg nn ab 即数列是以为首项 为公比的等比数列 即 1 2 nn bb n b 1 lg101b 2 1 2n n b 因而得 1 2 1010 n n b n a 类类型八 型八 1 n n n c a a pad 0c 思路 转化法 对递推式两边取倒数 7 得 那么 令 这样 问题就可以转化为类型 1 1 n nn pad ac a 1 11 nn dp ac ac 1 n n b a 一进行求解了 例 8 已知 求 1 4a 1 2 21 n n n a a a n a 解 对递推式左右两边取倒数得即 令则 1 211 2 n nn a aa 1 111 1 2 nn aa 1 n n b a 设 即 数列是以 1 1 1 2 nn bb 1 1 2 nn bb 2 2 n b 为首项 为公比的等比数列 则 即 17 2 44 1 2 1 7 2 2 n n b 2 1 27 2 n n n b 1 2 2 27 n n n a 类类型九 型九 1 n n n a ab a c ad 0c 0adbc 思路 特征根法 递推式对应的特征方程为即 axb x cxd 2 0cxda xb 当特征方程有两个相等实根时 数列即为等差数列 12 xx 1 n a 1 2 n ad a c 我们可设 为待定系数 可利用 求得 当特征 1 11 22 nn adad aa cc 1 a 2 a 方程有两个不等实根 时 数列是以为首项的等比数列 我们可 1 x 2 x 1 2 n n ax ax 11 12 ax ax 设 为待定系数 可利用已知其值的项间接求得 当特征 1 111 212 n n n axax axax 方程的根为虚根时数列通项的讨论方法与上同理 此处暂不作讨论 n a 8 例 9 已知 求 1 1 2 a 1 1 43 2 n n n a a a 2n n a 解 当时 递推式对应的特征方程为即 解得2n 43 2 x x x 2 230 xx 数列是以为首项的等比数列 设 1 1x 2 3x 1 3 n n a a 11 12 2 1 2 ax ax 由得则 即 1 1 1 3 n n n a a 1 1 2 a 2 2a 3 3 1 1 1 3 3 n n n a a 从而 1 31 31 n n n a 1 1 1 2 31 2 31 n n n n a n 9 常见递推数列通项公式的求法常见递推数列通项公式的求法 重 难点 1 重点 递推关系的几种形式 2 难点 灵活应用求通项公式的方法解题 典型例题典型例题 例 1 bkaa nn 1 型 1 1 k 时 1nnn abaa 是等差数列 1 banban 2 1 k 时 设 1 makma nn mkmkaa nn 1 比较系数 bmkm 1 k b m 1 k b an 是等比数列 公比为k 首项为1 1 k b a 1 1 1 1 n n k k b a k b a 1 1 1 1 k b k k b aa n n 例 2 1 nfkaa nn 型 1 1 k 时 1 nfaa nn 若 nf 可求和 则可用累加消项的方法 10 例 已知 n a 满足 1 1 a 1 1 1 nn aa nn 求 n a 的通项公式 解 解 1 11 1 1 1 nnnn aa nn nn aa nn 1 1 1 1 1 1 2 1 21 nn aa nn 2 1 3 1 32 nn aa nn 3 1 2 1 23 aa 2 1 1 12 aa 对这 1 n 个式子求和得 n aan 1 1 1 n an 1 2 2 1 k 时 当 bannf 则可设 1 1 BAnakBnAa nn ABkAnkkaa nn 1 1 1 bABk aAk 1 1 解得 1 k a A 2 1 1 k a k b B BAnan 是以 BAa 1为首项 k为公比的等比数列 1 1 n n kBAaBAna BAnkBAaa n n 1 1 将 A B 代入即可 3 n qnf q 0 1 等式两边同时除以 1 n q 得 qq a q k q a n n n n 1 1 1 令 n n n q a C 则 q C q k C nn 1 1 n C 可归为 bkaa nn 1 型 11 例 3 nn anfa 1 型 1 若 nf 是常数时 可归为等比数列 2 若 nf 可求积 可用累积约项的方法化简求通项 例 已知 3 1 1 a 1 12 12 nn a n n a 2 n 求数列 n a 的通项 解 解 12 3 5 3 7 5 32 52 12 32 12 12 1 2 2 3 3 2 2 1 1 nn n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n 12 1 12 3 1 nn aan 例 4 1 1 n n n am am ka 型 考虑函数倒数关系有 11 1 1 ma k a nn m k a k a nn 1 11 令 n n a C 1 则 n C 可归为 bkaa nn 1 型 练习 1 已知 n a 满足 3 1 a 12 1 nn aa 求通项公式 解 解 设 2 1 mama nn maa nn 2 1 1 m 1 1 n a 是以 4 为首项 2 为公比为等比数列 1 241 n n a 12 1 n n a 2 已知 n a 的首项 1 1 a naa nn 2 1 Nn 求通项公式 解 解 1 2 1 naa nn 12 2 2 21 naa nn 3 2 32 naa nn 22 23 aa 12 12 aa nnnaan 2 1 1 21 2 1 2 nnan 3 已知 n a 中 nn a n n a 2 1 且 2 1 a 求数列通项公式 解 解 1 2 3 1 4 2 2 4 1 32 1 1 1 2 2 3 3 2 2 1 1 nnn n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n 1 2 1 nna an 1 4 nn an 4 数列 n a 中 n n n n n a a a 1 1 1 2 2 2 1 a 求 n a 的通项 解 解 n n n n n a a a 1 1 1 2 21 1 1 2 111 n nn aa 设 n n a b 1 1 1 2 1 n nn bb n nn bb 2 1 1 n nn bb 2 1 1 1 21 2 1 n nn bb 2 32 2 1 n nn bb 13 3 23 2 1 bb 2 12 2 1 bb n n bb 2 1 2 1 2 1 32 1 n n 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 n n n n b 2 12 2 1 2 1 2 1 12 2 n n n a 5 已知 1 1 a 2 n 时 12 2 1 1 naa nn 求 n a 的通项公式 解 解 设 1 2 1 1 BnAaBAna nn BAAnaa nn 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 BA A 解得 6 4 B A 364 1 a 64 nan 是以 3 为首项 2 1 为公比的等比数列 1 2 1 364 n n na 64 2 3 1 na n n 模拟试题模拟试题 1 已知 n a 中 3 1 a n nn aa2 1 求 n a 14 2 已知 n a 中 1 1 a 23 1 nn aa 2 n 求 n a 3 已知 n a 中 1 1 a n nn aa22 1 2 n 求 n a 4 已知 n a 中 4 1 a 1 4 4 n n a a 2 n 求 n a 5 已知 n a 中 1 1 a 其前n项和 n S 与 n a 满足 12 2 2 n n n S S a 2 n 1 求证 1 n S 为等差数列 2 求 n a 的通项公式 6 已知在正整数数列 n a 中 前n项和 n S 满足 2 2 8 1 nn aS 15 1 求证 n a 是等差数列 2 若 n b 30 2 1 n a 求 n b 的前 n 项和的最小值 16 1 解 由 n nn aa2 1 得 1 1 2 n nn aa 1 1 2 n nn aa 2 21 2 n nn aa 2 12 aa 22 21 21 2 1 1 n n n aa 1222 1 nn n aa 2 解 由 23 1 nn aa 得 1 31 1 nn aa 3 1 1 1 n n a a 即 1 n a 是等比