初高中函数总结大全

函数总汇 一次函数 一 定义与定义式 自变量 x 和因变量 y 有如下关系 y kx b k 为常数 k 0 则此时称 y 是 x 的一次函数 特别地 当 b 0 时 y 是 x 的正比例函数 即 y kx k 为常数 k 0 二 一次函数的性质 1 y 的变化值与对应的 x 的变化值成正比例 比值为 k 即 y kx b k 为任意不为零的实数 b 取任何实数 2 当 x 0 时 b 为函数在 y 轴上的截距 三 一次函数的图像及性质 1 作法与图形 通过如下 3 个步骤 1 列表 2 描点 3 连线 可以作出一次函数的图像 一条直线 因此 作一次函数的图像只需知道 2 点 并连成直线即可 通常找函数图像与 x 轴和 y 轴的交点 2 性质 1 在一次函数上的任意一点 P x y 都满足等式 y kx b 2 一次函数与 y 轴交点的坐标总是 0 b 与 x 轴总是交于 b k 0 正 比例函数的图像总是过原点 3 k b 与函数图像所在象限 当 k 0 时 直线必通过一 三象限 y 随 x 的增大而增大 当 k 0 时 直线必通过二 四象限 y 随 x 的增大而减小 当 b 0 时 直线必通过一 二象限 当 b 0 时 直线通过原点 当 b 0 时 直线必通过三 四象限 特别地 当 b O 时 直线通过原点 O 0 0 表示的是正比例函数的图像 这时 当 k 0 时 直线只通过一 三象限 当 k 0 时 直线只通过二 四象限 四 确定一次函数的表达式 已知点 A x1 y1 B x2 y2 请确定过点 A B 的一次函数的表达式 1 设一次函数的表达式 也叫解析式 为 y kx b 2 因为在一次函数上的任意一点 P x y 都满足等式 y kx b 所以可以 列出 2 个方程 y1 kx1 b 和 y2 kx2 b 3 解这个二元一次方程 得到 k b 的值 4 最后得到一次函数的表达式 五 一次函数在生活中的应用 1 当时间 t 一定 距离 s 是速度 v 的一次函数 s vt 2 当水池抽水速度 f 一定 水池中水量 g 是抽水时间 t 的一次函数 设水池中原 有水量 S g S ft 六 常用公式 不全 希望有人补充 1 求函数图像的 k 值 y1 y2 x1 x2 2 求与 x 轴平行线段的中点 x1 x2 2 3 求与 y 轴平行线段的中点 y1 y2 2 4 求任意线段的长 x1 x2 2 y1 y2 2 注 根号下 x1 x2 与 y1 y2 的平方和 二次函数 I 定义与定义表达式 一般地 自变量 x 和因变量 y 之间存在如下关系 y ax 2 bx c a b c 为常数 a 0 且 a 决定函数的开口方向 a 0 时 开口方向向上 a0 时 y a x h 2 的图象可由抛物线 y ax 2 向右平行移动 h 个单位得到 当 h0 k 0 时 将抛物线 y ax 2 向右平行移动 h 个单位 再向上移动 k 个单位 就 可以得到 y a x h 2 k 的图象 当 h 0 k 0 时 将抛物线 y ax 2 向右平行移动 h 个单位 再向下移动 k 个单位可得 到 y a x h 2 k 的图象 当 h0 时 将抛物线向左平行移动 h 个单位 再向上移动 k 个单位可得到 y a x h 2 k 的图象 当 h 0 k0 时 开口向上 当 a0 当 x b 2a 时 y 随 x 的增大而减小 当 x b 2a 时 y 随 x 的增大而增大 若 a0 图象与 x 轴交于两点 A x 0 和 B x 0 其中的 x1 x2 是一元 二次方程 ax 2 bx c 0 a 0 的两根 这两点间的距离 AB x x 当 0 图象与 x 轴只有一个交点 当 0 时 图象落在 x 轴的上方 x 为任何实数时 都 有 y 0 当 a 0 时 图象落在 x 轴的下方 x 为任何实数时 都有 y0 a 0 则当 x b 2a 时 y 最小 大 值 4ac b 2 4a 顶点的横坐标 是取得最值时的自变量值 顶点的纵坐标 是最值的取值 6 用待定系数法求二次函数的解析式 1 当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知 x y 的三对对应值时 可设解析式为 一般形式 y ax 2 bx c a 0 2 当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时 可设解析式为顶点式 y a x h 2 k a 0 3 当题给条件为已知图象与 x 轴的两个交点坐标时 可设解析式为两根式 y a x x x x a 0 7 二次函数知识很容易与其它知识综合应用 而形成较为复杂的综合题目 因此 以 二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题 往往以大题形式出现 反比例函数 形如 y k x k 为常数且 k 0 的函数 叫做反比例函数 自变量 x 的取值范围是不等于 0 的一切实数 反比例函数图像性质 反比例函数的图像为双曲线 由于反比例函数属于奇函数 有 f x f x 图像关于原点对称 另外 从反比例函数的解析式可以得出 在反比例函数的图像上任取一点 向两个坐标轴 作垂线 这点 两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值 为 k 如图 上面给出了 k 分别为正和负 2 和 2 时的函数图像 当 K 0 时 反比例函数图像经过一 三象限 是减函数 当 K 0 时 反比例函数图像经过二 四象限 是增函数 反比例函数图像只能无限趋向于坐标轴 无法和坐标轴相交 知识点 1 过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段 这两条垂线段与坐标轴围成的矩形 的面积为 k 2 对于双曲线 y k x 若在分母上加减任意一个实数 即 y k x m m 为常数 就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位 加一个数时向左平移 减一个数时向右 平移 对数函数 对数函数的一般形式为 它实际上就是指数函数 的反函数 因此指数函数里对于 a 的 规定 同样适用于对数函数 右图给出对于不同大小 a 所表示的函数图形 可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线 y x 的对称图形 因为它们 互为反函数 1 对数函数的定义域为大于 0 的实数集合 2 对数函数的值域为全部实数集合 3 函数总是通过 1 0 这点 4 a 大于 1 时 为单调递增函数 并且上凸 a 小于 1 大于 0 时 函数为单调递减函数 并且下凹 5 显然对数函数无界 指数函数 指数函数的一般形式为 从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道 要想使得 x 能够取整 个实数集合为定义域 则只有使得 如图所示为 a 的不同大小影响函数图形的情况 可以看到 1 指数函数的定义域为所有实数的集合 这里的前提是 a 大于 0 对于 a 不大于 0 的 情况 则必然使得函数的定义域不存在连续的区间 因此我们不予考虑 2 指数函数的值域为大于 0 的实数集合 3 函数图形都是下凹的 4 a 大于 1 则指数函数单调递增 a 小于 1 大于 0 则为单调递减的 5 可以看到一个显然的规律 就是当 a 从 0 趋向于无穷大的过程中 当然不能等于 0 函数的曲线从分别接近于 Y 轴与 X 轴的正半轴的单调递减函数的位置 趋向分别接 近于 Y 轴的正半轴与 X 轴的负半轴的单调递增函数的位置 其中水平直线 y 1 是从递减 到递增的一个过渡位置 6 函数总是在某一个方向上无限趋向于 X 轴 永不相交 7 函数总是通过 0 1 这点 8 显然指数函数无界 奇偶性 注图 1 为奇函数 2 为偶函数 1 定义 一般地 对于函数 f x 1 如果对于函数定义域内的任意一个 x 都有 f x f x 那么函数 f x 就叫做奇 数 2 如果对于函数定义域内的任意一个 x 都有 f x f x 那么函数 f x 就叫做偶函 数 3 如果对于函数定义域内的任意一个 x f x f x 与 f x f x 同时成立 那么函数 f x 既是奇函数又是偶函数 称为既奇又偶函数 4 如果对于函数定义域内的任意一个 x f x f x 与 f x f x 都不能成立 那么函 数 f x 既不是奇函数又不是偶函数 称为非奇非偶函数 说明 奇 偶性是函数的整体性质 对整个定义域而言 奇 偶函数的定义域一定关于原点对称 如果一个函数的定义域不关于原点对称 则 这个函数一定不是奇 或偶 函数 分析 判断函数的奇偶性 首先是检验其定义域是否关于原点对称 然后再严格按照 奇 偶性的定义经过化简 整理 再与 f x 比较得出结论 判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义 2 奇偶函数图像的特征 定理 奇函数的图像关于原点成中心对称图表 偶函数的图象关于 y 轴或轴对称图形 f x 为奇函数 f x 的图像关于原点对称 点 x y x y 奇函数在某一区间上单调递增 则在它的对称区间上也是单调递增 偶函数 在某一区间上单调递增 则在它的对称区间上单调递减 3 奇偶函数运算 1 两个偶函数相加所得的和为偶函数 2 两个奇函数相加所得的和为奇函数 3 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数 4 两个偶函数相乘所得的积为偶函数 5 两个奇函数相乘所得的积为偶函数 6 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数 定义域 高中函数定义 设 A B 是两个非空的数集 如果按某个确定的对应关系 f 使对于集合 A 中的任意一个数 x 在集合 B 中都有唯一确定的数 f x 和它对应 那么就称 f A B 为集合 A 到集合 B 的一个函数 记作 y f x x 属于集合 A 其中 x 叫作自变量 x 的取值范围 A 叫作函数的定义域 值域 名称定义 函数中 应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域 在数学中是函数在定义域中应 变量所有值的集合 常用的求值域的方法 1 化归法 2 图象法 数形结合 3 函数单调性法 4 配方法 5 换元法 6 反函数法 逆求法 7 判别式法 8 复合函 数法 9 三角代换法 10 基本不等式法等 关于函数值域误区 定义域 对应法则 值域是函数构造的三个基本 元件 平时数学中 实行 定义域优 先 的原则 无可置疑 然而事物均具有二重性 在强化定义域问题的同时 往往就削弱 或谈化了 对值域问题的探究 造成了一手 硬 一手 软 使学生对函数的掌握时好 时坏 事实上 定义域与值域二者的位置是相当的 绝不能厚此薄皮 何况它们二者随时 处于互相转化之中 典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化 如果函数的值 域是无限集的话 那么求函数值域不总是容易的 反靠不等式的运算性质有时并不能奏效 还必须联系函数的奇偶性 单调性 有界性 周期性来考虑函数的取值情况 才能获得正 确答案 从这个角度来讲 求值