2008年高考文科数学(福建卷)

2008 年普通高等学校招生全国统一考试 福建卷 年普通高等学校招生全国统一考试 福建卷 文科数学文科数学 第第 卷 选择题卷 选择题 共共 60 分 分 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 有一项是符合题目要求的 1 已知集合 则等于 2 0Ax xx 03Bxx AB 01xx 03xx 13xx 2 a 1 是 直线和直线互相垂直 的 条件0 xy 0 xay 充分而不必要条件 必要而不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件 3 设是等差数列 若 则数列前 8 项和为 n a 27 3 13aa n a 128 80 64 56 4 函数 若 则的值为 3 sin1 f xxxxR 2f a fa 3 0 1 2 5 某一批花生种子 如果每 1 粒发芽的概率为 那么播下 3 粒种子恰有 2 粒发芽的概 4 5 率是 12 125 16 125 48 125 96 125 6 如图 在长方体中 分别为 1111 ABCDABC D 2ABBC 则与平面所成的角的正弦值为 1 1AA 1 AC 1111 ABC D 2 2 3 2 3 2 4 1 3 7 函数的图像向左平移个单位后 得到函数的图像 则cos yx xR 2 yg x 的解析式为 g x sin x sin xcosx cosx 8 在 ABC 中 角 A B C 的对应边分别为 a b c 若 则角 B 的值为 222 3acbac 或 或 6 3 6 5 6 3 2 3 9 某班级要从 4 名男生和 2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务 如果要求至少有 1 名女 生 那么不同的选派方案种数为 14 24 28 48 10 若实数 x y 满足 则的取值范围是 0 0 2 xy x y y x 0 2 0 2 2 2 11 如果函数的图像如右图 那么导函数的图像可能是 yf x yfx 12 双曲线的两个焦点为 若 P 为其上一点 且 22 22 1 0 0 xy ab ab 12 F F 则双曲线离心率的取值范围为 12 2 PFPF 1 3 1 3 3 3 第第 卷 非选择题卷 非选择题 共共 90 分 分 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 16 分 把答案填在答题卡的相应位置 分 把答案填在答题卡的相应位置 13 展开式中的系数是 用数字作答 9 1 x x 3 x 14 若直线与圆没有公共点 则实数 m 的取值范340 xym 22 2440 xyxy 围是 15 若三棱锥的三条侧棱两两垂直 且侧棱长均为 则其外接球的表面积是 3 16 设 P 是一个数集 且至少含有两个数 若对任意 都有 a bP 除数 则称 P 是一个数域 例如有理数集 Q 是数域 有下 a ab ab abP b 0b 列命题 数域必含有 0 1 两个数 整数集是数域 若有理数集 则数集 M 必为数域 QM 数域必为无限域 其中正确的命题的序号是 把你认为正确的命题序号都填上 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 74 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 本小题满分 12 分 分 已知向量且 sin cos 1 2 mAA n 0m n 1 求的值 tan A 2 求函数的值域 cos2tansin f xxAx xR 18 本小题满分 本小题满分 12 分 分 三人独立破译同一份密码 已知三人各自译出密码的概率分别为 且他们是否 1 1 1 5 4 3 破译出密码互不影响 1 求恰有二人破译出密码的概率 2 密码被破译 与 密码未被破译 的概率哪个大 说明理由 19 本小题满分 本小题满分 12 分 分 如图 在四棱锥 P ABCD 中 侧面 PAD 底面 ABCD 侧 棱 PA PD 底面 ABCD 为直角梯形 其中2 BC AD AB AD AD 2AB 2BC 2 O 为 AD 中点 1 求证 PO 平面 ABCD 2 求异面直线 PB 与 CD 所成角的余弦值 3 求点 A 到平面 PCD 的距离 20 本小题满分 本小题满分 12 分 分 已知是正整数组成的数列 且点在函数的 n a 1 1a 1 nn aanN 2 1yx 图像上 1 求数列的通项公式 n a 2 若数列满足 求证 n b 11 1 2 n a nn bbb 2 21nnn bbb 21 本小题满分 本小题满分 12 分 分 已知函数的图像过点 1 6 且函数 32 2f xxmxnx 的图像关于 y 轴对称 6g xfxx 1 求 m n 的值及函数的单调区间 yf x 2 若 a 0 求函数在区间内的极值 yf x 1 1 aa 22 本小题满分 本小题满分 14 分 分 如图 椭圆 C 的一 22 22 1 0 xy ab ab 个焦点为 F 1 0 且过点 2 0 1 求椭圆 C 的方程 2 若 AB 为垂直与 x 轴的动弦 直线 l x 4 与 x 轴交于 N 直线 AF 与 BN 交于点 M 求证 点 M 恒在椭圆 C 上 求 AMN 面积的最大值 20082008 年普通高等学校招生全国统一考试 福建卷 年普通高等学校招生全国统一考试 福建卷 文科数学参考答案文科数学参考答案 一 选择题 本大题考查基本概念和基本运算 每小题一 选择题 本大题考查基本概念和基本运算 每小题 5 分 满分分 满分 60 分 分 1 A 2 3 C 4 B 5 C 6 D 7 A 8 A 9 A 10 D 11 A 12 B 二 填空题 本大题考查基础知识和基本运算 每小题二 填空题 本大题考查基础知识和基本运算 每小题 4 分 满分分 满分 16 分 分 13 84 14 0 10 15 9 16 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 74 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题主要考查平面向量的数量积计算 三角函数的基本公式 三角恒等变 一元二 次函数的最值等基本知识 考查运算能力 满分 12 分 解 1 由题意得 sin2cos0m nAA 因为 cosA 0 所以 tanA 2 2 由 1 知 tanA 2 得 2 13 cos22sin2 sin 22 f xxxx sin 1 1 xRx 当 有最大值 1 sin 2 x f x 3 2 当 有最小值 sin1x f x3 所以所求函数的值域为 f x 3 3 2 18 解 记 第 i 个人破译出密码 为事件 依题意有 1 2 3 i A i 且 A1 A2 A3相互独立 123 111 543 P AP AP A 1 设 恰好二人破译出密码 为事件 B 则有 B A1 A2 A1 A3 A2 A3且 A1 A2 A1 A3 A2 A3 3 A 2 A 1 A 3 A 2 A 1 A 彼此互斥 于是 P B P A1 A2 P A1 A3 P A2 A3 3 A 2 A 1 A 3 1 4 1 5 4 3 1 4 3 5 1 3 2 4 1 5 1 20 3 2 设 密码被破译 为事件 C 密码未被破译 为事件 D 则有 D 且 互相独立 则有 1 A 2 A 3 A 1 A 2 A 3 A P D P P P 1 A 2 A 3 A 3 2 4 3 5 4 5 2 而 P C 1 P D 故 P C P D 5 3 所以密码被破译的概率比密码未被破译的概率大 19 解 解法一 证明 在 PAD 中 PA PD O 为 AD 中点 所以 PO AD 又侧面 PAD 底面 ABCD 平面 PAD 平面 ABCD AD PO 平面 PAD 所以 PO 平面 ABCD 连结 BO 在直角梯形 ABCD 中 BC AD AD 2AB 2BC 有 OD BC 且 OD BC 所以四边形 OBCD 是平行四边形 所以 OB DC 由 知 PO OB PBO 为锐角 所以 PBO 是异面直线 PB 与 CD 所成的角 因为 AD 2AB 2BC 2 在 Rt AOB 中 AB 1 AO 1 所以 OB 2 在 Rt POA 中 因为 AP AO 1 所以 OP 1 2 在 Rt PBO 中 PB 3 22 OBOP cos PBO 3 6 3 2 PB OB 所以异面直线 PB 与 CD 所成的角的余弦值为 3 6 由 得 CD OB 2 在 Rt POC 中 PC 2 22 OPOC 所以 PC CD DP S PCD 2 4 3 2 3 又 S 1 2 1 ABAD 设点 A 到平面 PCD 的距离 h 由 VP ACD VA PCD 得S ACD OP S PCD h 3 1 3 1 即 1 1 h 3 1 3 1 2 3 解得 h 3 32 解法二 同解法一 以 O 为坐标原点 的方向分别为OPODOC x 轴 y 轴 z 轴的正方向 建立空间直角坐标系 O xyz 则 A 0 1 0 B 1 1 0 C 1 0 0 D 0 1 0 P 0 0 1 所以 1 1 0 t 1 1 CDPB cos PBCD 3 6 23 11 CDPB CDPB 所以异面直线 PB 与 CD 所成的角的余弦值为 3 6 设平面 PCD 的法向量为 n x0 y0 x0 由 知 1 0 1 1 1 0 CPCD 则 n 0 所以 x0 z0 0 CP n 0 x0 y0 0 CD 即 x0 y0 z0 取 x0 1 得平面的一个法向量为 n 1 1 1 又 1 1 0 AC 从而点 A 到平面 PCD 的距离 d 3 32 3 2 n nAC 20 解 解法一 由已知得 an 1 an 1 即 an 1 an 1 又 a1 1 所以数列 an 是以 1 为首项 公差为 1 的等差数列 故 an 1 a 1 1 n 由 知 an n 从而 bn 1 bn 2n bn bn bn 1 bn 1 bn 2 b2 b1 b1 2n 1 2n 2 2 1 2n 1 21 21 n 因为 bn bn 2 b 2n 1 2n 2 1 2n 1 1 2 2 1 n 22n 2 2n 2 2n 1 22n 2 2 2n 1 1 5 2n 4 2n 2n 0 所以 bn bn 2 b 2 1 n 解法二 同解法一 因为 b2 1 bn bn 2 b bn 1 2n bn 1 2n 1 b 2 1 n 2 1 n 2n 1 bn 1 2n bn 1 2n 2n 1 2n bn 1 2n 1 2n bn 2n 2n 1 2n bn 2n 2n b1 2 2n 0 所以 bn bn 2得 x 2 或 x 0 故 f x 的单调递增区间是 0 2 由 f x 0 得 0 x 2 故 f x 的单调递减区间是 0 2 由 得 f x 3x x 2 令 f x 0 得 x 0 或 x 2 当 x 变化时 f x f x 的变化情况如下表 X 0 0 0 2 2 2 f x 0 0 f x 极大值 极小值 由此可得 当 0 a 1 时 f x 在 a 1 a 1 内有极大值 f O 2 无极小值 当 a 1 时 f x 在 a 1 a 1 内无极值 当 1 a 3 时 f x 在 a 1 a 1 内有极小值 f 2 6 无极大值 当 a 3 时 f x 在 a 1 a 1 内无极值 综上得 当 0 a 1 时 f x 有极大值 2 无极小值 当 1 a 3 时 f x 有极小值 6 无极 大值 当 a 1 或 a 3 时 f x 无极值 22 解 1 由题设 a 2 c 1 从而 所以椭圆 C 的方程为 222 3 bac 22 1 43 xy 2 i 由题意得 F 1 0 N 4 0 设 A m n 则 B m n n 0 1 34 22 nm AF 与 BN 的方程分别为 n x 1 m 1 y 0 n x 4 m 4 y 0 设 M x0 y0 则有 n x0 1 m 1 y0 0 n x0 4 m 4 y0 0 由 得 x0 52 3 52 85 0 m n y m m 所以点 M 恒在椭圆 G 上 设 AM 的方程为 x ty 1 代入 1 得 3t2 4 y2 6ty 9 0 34 22 yx 设 A x1 y1 M x2 y2 则有 y1 y2 43 9 43 6 2 21 2 t yy x x y1 y2 43 33 34 4 2 2 21 2 21 t t yyyy 1 52 4 936 85 52 4 12 85 52 3 52 4 85 52 3 52 4 85 34 2 22 2 22 2 2 2 2 2 2 2 22 0 2 0 m mm m nm m n m m m n m myx 由于 令 3t2 4 4 则 y1 y2 4 1 2 11 34 11 34 1 34 32 因为 4 0 时 即 所以当04 4 11 4 1 1 t y1 y2 有最大值 3 此时 AM 过点 F AMN 的面积 S AMN 2