利用导数解决恒成立问题

利用导数求函数最值 基础知识总结和逻辑关系 一 函数的单调性 求可导函数单调区间的一般步骤和方法求可导函数单调区间的一般步骤和方法 1 确定函数的的定义区间 f x 2 求 令 解此方程 求出它在定义区间内的一切实根 fx 0fx 3 把函数的无定义点的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起 f x 来 然后用这些 点把函数的定义区间分成若干个小区间 f x 4 确定在各个区间内的符号 由的符号判定函数在每个相应小 fx fx f x 区间内的单调性 二 函数的极值 求函数的极值的三个基本步骤 1 求导数 fx 2 求方程的所有实数根 0fx 3 检验在方程的根左右的符号 如果是左正右负 左负右正 则 fx 0fx 在这个根处取得极大 小 值 f x 三 三 求函数最值 1 求函数在区间上的极值 f x a b 2 将极值与区间端点函数值比较 其中最大的一个就是最大值 最小的一个 f af b 就是最小值 四四 利用导数证明不等式利用导数证明不等式 1 利用导数得出函数单调性来证明不等式利用导数得出函数单调性来证明不等式 我们知道函数在某个区间上的导数值大于 或小于 0 时 则该函数在该区间上单调递增 或递减 因而在证明不等式时 根据不等式的特点 有时可以构造函数 用导数证明该 函数的单调性 然后再用函数单调性达到证明不等式的目的 即把证明不等式转化为证明函 数的单调性 具体有如下几种形式 直接构造函数 然后用导数证明该函数的增减性 再利用函数在它的同一单调递增 减 区间 自变量越大 函数值越大 小 来证明不等式成立 把不等式变形后再构造函数 然后利用导数证明该函数的单调性 达到证明不等式的目 的 2 利用导数求出函数的最值 或值域 后 再证明不等式利用导数求出函数的最值 或值域 后 再证明不等式 导数的另一个作用是求函数的最值 因而在证明不等式时 根据不等式的特点 有时可以 构造函数 用导数求出该函数的最值 由当该函数取最大 或最小 值时不等式都成立 可得该不等式恒成立 从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题 解题方法总结和题型归类 利用导数研究含参变量函数的恒成立问题利用导数研究含参变量函数的恒成立问题 1 其中关键是根据题目找到给定区间上恒成立的不等式 转化成其中关键是根据题目找到给定区间上恒成立的不等式 转化成 最值问题 最值问题 2 首先找不等式 一般来说 有以下五类题型 首先找不等式 一般来说 有以下五类题型 在某个区间上在某个区间上 单调递增减单调递增减 表明 恒成立 0fx 0fx 无极值点无极值点 表明恒成立或恒成立 0fx 0fx 曲线曲线在曲线在曲线上方 下方 上方 下方 yf x yg x 表明 恒成立 0f xg x 0f xg x 无零点无零点 表明恒成立或恒成立 0f x 0f x 标志词 标志词 任意 所有 均有 恒成立 等等 此时题干 已给出不等式 例例 1 1 设函数 f x ax3 3x 1 x R 若对于任意 x 1 1 都有 f x 0 成立 则实数 a 的值为 解析 若 x 0 则不论 a 取何值 f x 0 显然成立 当 x 0 即 x 0 1 时 f x ax3 3x 1 0 可化为 a 设 g x 则 3 x2 1 x3 3 x2 1 x3 g x 3 1 2x x4 所以 g x 在区间上单调递增 在区间上单调递减 因此 g x 0 1 2 1 2 1 max g 4 从而 a 4 1 2 当 x0 即 x2 2 ex 0 因为 ex 0 所以 x2 2 0 解得 x0 所以 x2 a 2 x a 0 对 x 1 1 都成立 即 a x 1 对 x 1 1 都成立 x2 2x x 1 x 1 2 1 x 1 1 x 1 令 y x 1 则 y 1 0 1 x 1 1 x 1 2 所以 y x 1 在 1 1 上单调递增 1 x 1 所以 y0 时 函数 f x 在区间 1 e 上的最小值为 2 求 a 的取值范围 若对任意 且恒成立 求 a 的取 12 0 x x 12 xx 1122 2 2f xxf xx 值范围 难度 题 己知函数是 R 上的单调增函数 求实数5 1 2 3 1 23 xaxaxxf 的取值范围 a 难度 题 已知函数在处的切线斜率为零 22 1 2e3e ln 2 f xxxxb 0 0 x 求和的值 0 xb 求证 在定义域内恒成立 0f x 难度 题 已知函数 32 1 3 f xxaxbx a b R I 若 求函数的解析式 0 2 1ff f x II 若 且在区间上单调递增 求实数