北师大七年级下册数学知识点总结(生活中的轴对称)和经典例题对接

书之屋教育 1 第第 5 5 章章 生活中的轴对称生活中的轴对称 一 轴对称图形 1 如果一个图形沿一条直线折叠后 直线两旁的部分能够完全重合 那么这个图形叫做轴对称图形 这条直线 叫做对称轴 2 理解轴对称图形要抓住以下几点 1 指一个图形 2 存在一条直线 对称轴 3 图形被直线分成的两部分互相重合 4 轴对称图形的对称轴有的只有一条 有的则存在多条 5 线段 角 长方形 正方形 菱形 等腰三角形 圆都是轴对称图形 二 轴对称 1 对于两个图形 如果沿一条直线对折后 它们能互相重合 那么称这两个图形成轴对称 这条直线就是对称 轴 可以说成 这两个图形关于某条直线对称 2 理解轴对称应注意 1 有两个图形 2 沿某一条直线对折后能够完全重合 3 轴对称的两个图形一定是全等形 但两个全等的图形不一定是轴对称图形 4 对称轴是直线而不是线段 轴对称图形轴对称 是一个图形自身的对称特性是两个图形之间的对称关系区别 对称轴可能不止一条对称轴只有一条 沿某条直线对折后都能够互相重合共同点 如果轴对称的两个图形看作一个整体 那么它就是一个轴对称图形 如果把轴对称图形分成两部分 两个图形 那么这两部分关于这条对称轴成轴对称 三 角平分线的性质 1 角平分线所在的直线是该角的对称轴 2 性质 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 四 线段的垂直平分线 1 垂直于一条线段并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线 又叫线段的中垂线 书之屋教育 2 2 性质 线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等 五 等腰三角形 1 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 2 相等的两条边叫做腰 另一边叫做底边 3 两腰的夹角叫做顶角 腰与底边的夹角叫做底角 4 三条边都相等的三角形也是等腰三角形 5 等腰三角形是轴对称图形 有一条对称轴 等边三角形除外 其底边上的高或顶角的平分线 或底边上的 中线所在的直线都是它的对称轴 6 等腰三角形的三条重要线段不是它的对称轴 它们所在的直线才是等腰三角形的对称轴 7 等腰三角形底边上的高 底边上的中线 顶角的平分线互相重合 简称为 三线合一 8 三线合一 是等腰三角形所特有的性质 一般三角形不具备这一重要性质 9 三线合一 是等腰三角形特有的性质 是指其顶角平分线 底边上的高和中线 这三线 并非其他 10 等腰三角形的两个底角相等 简写成 等边对等角 11 判定一个三角形是等腰三角形常用的两种方法 1 两条边相等的三角形是等腰三角形 2 如果一个三角形有两个角相等 那么它们所对的边也相等相等 简写为 等角对等边 六 等边三角形 1 等边三角形是指三边都相等的三角形 又称正三角形 是最特殊的三角形 2 等边三角形是底与腰相等的等腰三角形 所以等边三角形具备等腰三角形的所有性质 3 等边三角形有三条对称轴 三角形的高 角平分线和中线所在的直线都是它的对称轴 4 等边三角形的三边都相等 三个内角都是 600 图形定义性质 等腰三角 形 有两边 相等的 三角形 1 两腰相等 两底角相等 2 顶角 1800 2 底角 底角 1800 顶角 2 3 顶角的平分线 底边上的中线和高 三线 合一 4 轴对称图形 有一条对称轴 书之屋教育 3 等边三角 形 又叫 正三角形 三边都 相等的 三角形 1 三边都相等 三内角相等 且每个内角都 等于 600 2 具有等腰三角形的所有性质 3 轴对称图形 有三条对称轴 七 轴对称的性质 1 两个图形沿一条直线对折后 能够重合的点称为对应点 对称点 能够重合的线段称为对应线段 能够重合 的角称为对应角 2 关于某条直线对称的两个图形是全等图形 3 如果两个图形关于某条直线对称 那么对应点所连的线段被对称轴垂直平分 4 如果两个图形关于某条直线对称 那么对应线段 对应角都相等 5 类似地 轴对称图形的性质有 1 轴对称图形对应点所连的线段被对称轴垂直平分 2 轴对称图形的对应线段 对应角相等 3 根据轴对称图形的性质可求作轴对称图形的对应点 对应线段或对应角 并由此能补全轴对称图形 知识点一 轴对称实例知识点一 轴对称实例 典例分析典例分析 1 下列说法中 不正确的是 A 等腰三角形底边上的中线就是它的顶角平分线 B 等腰三角形底边上的高就是底边的垂直平分线的一部分 C 一条线段可看作以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形 D 两个三角形能够重合 它们一定是轴对称的 1 下列图形中 轴对称图形的个数是 A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 2 下列分子结构模型平面图中 有一条对称轴的是 书之屋教育 4 图 2 图 3 A B E C D C 22 5 图 1 3 将一个正方形纸片依次按图a 图b的方式对折 然后沿图c中的虚线裁剪 最后将图d的纸再展开铺平 所看到的图案是 a b c d A B C D 4 在一些缩写符号 SOS CCTV BBC WWW TNT 中 成轴对称图形的是 填写序 号 5 汉字是世界上最古老的文字之一 字形结构体现人类追求均衡对称 和谐稳定的天性 如 王 中 田 请 你再举出三个可以看成是轴对称图形的汉字 笔画的粗细和书写的字体可忽略不记 知识点二 轴对称的性质知识点二 轴对称的性质 典例分析典例分析 1 如图 1 将长方形纸片沿对角线折叠 使点落在处 交 AD 于 E ABCDBDC C BC 若 则在不添加任何辅助线的情况下 则图中的角 虚线也视为角的边 22 5DBC 45 的个数是 A 5 个 B 4 个 C 3 个 D 2 个 2 下列说法中错误的是 A 两个关于某直线对称的图形一定能够完全重合 B 对称图形的对称点一定在对称轴的两侧 C 成轴对称的两个图形 其对应点的连线的垂直平分线是它们的对称轴 D 平面上两个能够完全重合的图形不一定关于某直线对称 3 如图 2 AOD 关于直线 进行轴对称变换后得到 BOC 下列说法中不正确的是 l A DAO CBO ADO BCO B 直线 垂直平分 AB CDl C AO D 和 BOC 均是等腰三角形 D AD BC OD OC 4 如图 3 有一张直角三角形纸片 两直角边 AC 5cm BC 10cm ABC 折叠 使点 B 与点 A 重合 折痕为 DE 则 ACD 的周长 为 书之屋教育 5 图 5 图 7 图 6 A 10 cm B 12cm C 15cm D 20cm 5 把两个都有一个锐角为 30 的一样大小的直角三角形拼成如图 5 所示的图形 两条直角边在同一直线上 则 图中等腰三角形有 个 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 6 如图 6 AB 的垂直平分线交 BC 于点 D 那么ABAC 120BAC DAC 的度数为 A B C D 90 80 70 60 7 如图 7 公路 BC 所在的直线恰为 AD 的垂直平分线 则下列说法中 小明从家到书店与小颖从家到书店一 样远 小明从家到书店与从家到学校一样远 小颖从家到书店与从家到学校一样远 小明从家到学校 与小颖从家到学校一样远 正确的是 填写序号 8 如图 8 下页 AD 是三角形ABC的对称轴 点E F是AD上的两点 若 BD 2 AD 3 则图中阴影部分的面 积是 9 下午 2 时 一轮船从A处出发 以每小时 40 海里的速度向正南方向行驶 下午 4 时 到达B处 在A处测得 灯塔C在东南方向 在B处测得灯塔C在正东方向 则B C之间的距离是 10 如图 9 在中 AB 25cm AB 的垂直平分线交 AB 于点 D 交 AC 于点 E 若ABC ABCACB 的周长为 43cm 则底边 BC 的长为 BCE 11 如图 10 把宽为 2cm 的纸条沿同时折叠 两点恰好落在边的点处 若 PFHABCDEFGH BCADP 的周长为 10cm 则长方形的面积为 ABCD 20 在 ABC中 已知AB AC A 36 AB的垂直平分线MN交AC于D 在下列结论中 C 72 BD 是 ABC的平分线 BDC 100 ABD是等腰三角形 AD BD BC 上述结论中 正确的有 填写序号 A EP D G HF B A C D 图 10 图 8 图 9 书之屋教育 6 图 4 知识点三 镜面对称的性质知识点三 镜面对称的性质 典例分析典例分析 1 右图小明衣服上的号码在镜子中如右图 则小明衣服上的实际号码为 2 图 4 是小明在平面镜里看到的电子钟示数 这时的实际时间是 A 12 01 B 10 51 C 10 21 D 15 10 3 小明照镜子的时候 发现 T 恤上的英文单词在镜子中呈现 的样子 请你判断这个英文单词是 A B C D 4 从汽车的后视镜中看见某车车牌的后 5 位号码是 则该车的后 5 位号码实际是 知识点四 作对称图形步骤知识点四 作对称图形步骤 典例分析典例分析 1 2 如图 14 在正方形网格上有一个 ABC 1 画 ABC 关于直线 MN 的对称图形 不写画法 2 若网格上的每个小正方形的边长为 1 求 ABC 的面积 3 1 观察图 15 中阴影部分构成的图案 请写出这四个图案都具有的两个共同特征 2 借助图 15 的网格 请设计一个新的图案 使该图案同时具有你在解答 1 中所写出的两个共同特 征 注意 新图案与图 14 的图案不能重合 图 14 图 15 书之屋教育 7 图 12 图 11 图 11 知识点五 综合能力知识点五 综合能力 典例分析典例分析 1 如图 11 在中 平分 如果 ABC 90C ADBAC DEAB 5cmDE 求的长度及的度数 32CAD CDB 2 如图 12 已知AB CD ABD BCE都是等腰三角形 如果CD 8cm BE 3cm 求 AE 的长 3 如图 13 校园有两条路 OA OB 在交叉口附近有两块宣传牌 C D 学校准备在这里安装一盏路灯 要求灯 柱的位置 P 离两块宣传牌一样远 并且到两条路的距离也一样远 请你帮助画出灯柱的位置点 P 并说明理 由 4 如图 16 在 ABC中 已知AB AC BAC和 ACB的平分 线相交于点D ADC 125 求 ACB和 BAC的度数 27 10 分 如图 17 在等腰 ABC中 AB AC AD是BC边上的高 点E F分别是边AB AC上的中点 且EF BC 图 17 图 13 书之屋教育 8 第3题 C BA 第2题 MP D O C B A x 27 117 A B C F E D 1 试说明 AEF是等腰三角形 2 试比较DE与DF的大小关系 并说明理由 考考 题题 链接链接 一 填空题 1 如右图 这个轴对称图形有 条对称轴 2 如图 OM 平分 AOB 点 P 在 OM 上 PC OA 垂足为 C PD OB 垂足为 D 若 PC 3 2 则 PD cm 3 如图 在 ABC 中 若 AB BC B 90 则 A C 4 如图 在 ABC 中 若 BC AC A 50 则 C 5 等腰三角形的周长为 24cm 底边长为 6cm 则腰长是 cm 6 等腰三角形一内角为 70 则该三角形另外两个内角分别为 7 在 ABC 中 AB BC BD 是 ABC 的角平分线 ABD 60 则 C 8 如图 两个三角形关于某直线对称 则 x 9 1 长方形有 条对称轴 2 等腰三角形有 条对称轴 对称轴是 3 等边三角形有 条对称轴 对称轴是 4 圆有 条对称轴 对称轴是 5 正方形有 条对称轴 对称轴是 10 在日常生活中 事物所呈现的对称性能给人们以平衡与和谐的美感 我们的汉语也有类似的情况 呈现轴对 称图形的汉字有 请举出两个例子 笔画的粗细和书写的字体可忽略不计 11 如图 7 109 在 ACD 中 AD BD BC 若 C 25 则 ADB 书之屋教育 9 12 已知 如图 7 110 ABC 中 AB AC BE AC BDE 100 BAD 70 则 E 13 如图 7 111 在 Rt ABC 中 B 为直角 DE 是 AC 的垂直平分线 E 在 BC 上 BAE BAC 1 5 则 C 二 选择题 1 国旗是一个国家的象征 观察下面的国旗 是轴对称图形的是 A 加拿大 哥斯达黎加 乌拉圭 B 加拿大 瑞典 澳大利亚 C 加拿大 瑞典 瑞士 D 乌拉圭 瑞典 瑞士 加拿大 哥斯达黎加 澳大利亚 乌拉圭 瑞典 瑞士 2 等腰三角形的周长为 13cm 其中一边长为 3cm 则该等腰三角形的底边长为 A 7cm B 3cm C 7cm 或 3cm D 5cm 3 在线段 直线 射线 角 等腰三角形 任意的一个三角形 五角星这些图形中 轴对称图形有 A 6 个 B 5 个 C 4 个 D 3 个 4 以下是王北电脑屏幕上显示的日期 哪一个日期是轴对称的 A 06 01 08 B 16 11 91 C 08 10 13 D 04 08 04 5 下列图形中 轴对称图形有 填编号 三 作图 1 作出下列图形的对称轴 书之屋教育 10 C AD B C D A B 2 请将正方形分成四个形状相同的部分 并使之成为轴对称图形 你可以画出几个这样的图形 在你画出的各 图形中画出对称轴 并至少各找出一组对应点 对应线段 四 解答题 1 如图 7 117 在 ABC 中 C 为直角 AB 上的高 CD 及中线 CE 恰好把 ACB 三等分 若 AB 20 求 ABC 的 两锐角及 AD DE EB 各为多少 2 如图 7 118 AD BE 分别是等边 ABC 中 BC AC 上的高 M N 分别在 AD BE 的延长线上 CBM ACN 求证 AM BN 来 K 3 如图 AB