高等数学考研大总结之四导数与微分

第四章 导数与微分 第一讲 导数 一 导数的定义 1 函数在某一点处的导数 设 在某个内有定义 如果极限 0 x xfy 0 xU 其中称为函数在 上的平均 0 lim 00 x x xfxxf x xfxxf 00 xf 0 x 0 xx 变化率 或差商 称此极限值为函数在处的变化率 存在则称函数在点可导 xf 0 x xf 0 x 并称该极限值为在点的导数记为 若记则 xf 0 x 0 xf 00 xfxfyxxx 0 xf 0 0 0 lim xx xx xfxf 0 lim x x y 解析 导数的实质是两个无穷小的比 即 函数相对于自变量变化快慢的程度 其绝对 值越大 则函数在该点附近变化的速度越快 导数就是平均变化率 或差商 的极限 常用记法 0 xf 0 xxy 0 xx dx dy 函数在某一点处的导数是研究函数在点处函数的性质 xf 0 x xf 0 x 导数定义给出了求函数在点处的导数的具体方法 即 对于点处的自 xf 0 x 0 x 变量增量 求出函数的增量 差分 求函数增量与自变x y 00 xfxxf y 量增量之比 求极限若存在 则极限值就是函数在点处的导数 若极x x y 0 lim x x y xf 0 x 限不存在 则称函数在处不可导 xf 0 x 在求极限的过程中 是常数 是变量 求出的极限值一般依赖于 0 xx 0 x 导数是由极限定义的但两者仍有不同 我们称当极限值为时通常叫做极限不存 在 而导数则不同 因其具有实在的几何意义 故当在某点处左 右导数存在且为同一个 广义实数值时我们称函数在某点可导 实质是给导数的定义做了一个推广 注意 若函数在点处无定义 则函数在点处必无导数 但若函数在点处 xf 0 x 0 x 0 x 有定义 则函数在点处未必可导 0 x 2 单侧导数 设函数在某个 或 有定义 并且极限 xf 00 xx 00 x x 或 存在 则称其极限值为在 0 lim 00 x x xfxxf 0 lim 0 x x xfxxf xf 点的左 右 导数 记为 或 或 左导数和 0 x 0 0 xf 0 xf 0 0 0 xfxf 右导数统称为单侧导数 函数在某一点处有导数的充要条件 左导数和右导数存在且相等 3 函数在某一区间上的导数 在内可导 如果函数在开区间内每一点 ba xf ba 都可导 则说在内可导 描述性 在内可导 如果函数在 xf ba ba xf 内可导且存在则说函数在上可导 ba bfaf xf ba 4 导函数 如果函数在区间 I 上可导 则对于任意一个都对应着唯一一个 极 xfIx 限的唯一性 确定的导数值 这样就构成了一个新的函数 称为函数的导 xf xfy 函数 记为 或或或 由此可知函数某一点处的导数实质是 xf dx dy dx xdf y xf 0 x 在点处的导函数值 0 x 解析 1 区别与 表示函数在点处的导函数值 而 0 xf 0 xf 0 xf xf 0 x 表示对函数值这个常数求导 其结果为零 0 xf 0 xf 2 与在某一区间可导的关系 在某一区间可导就是在该区间上存在导函数 5 可导与连续的关系 可导必连续 但连续不一定可导 二 导数的几何意义 当 y 表示一条曲线时 则表示曲线在点的切线的斜率 的正和负 xf xf yx xf 分别表示曲线在该点是上升还是下降 的大小则表示曲线在该点的邻域内起伏的程 xf 度 越小说明曲线在该点的邻域内近似水平 反之越大说明曲线在该点的邻域 xf xf 内越陡 起伏明显 解析 用曲线上某点和增量点连线的割线的斜率的极限来表达曲线在某点的斜率 过曲线 y 上的点 的方程 切线方程 x xf 0 x 0 yy 0 y 0 xf 0 x 法线方程 0 y 0 y 0 0 1 xx xf 0 xf 如果点 P A B 在曲线 y 外 那么过 P 点与曲线相切的切线有两条 xf 若 说明函数的曲线在点处的切线与 x 轴垂直 若 0 xf xf 0 x 0 则说明的曲线在点处的切线与 x 轴平行 0 xf xf 0 x 三 导数的四则运算 如果函数及都在点具有导数 那么其和差积商 除分母为零的点外 都在 xuu xvv x 点具有导数 x xvxuxvxu xvxuxvxuxvxu xkuxku 0 2 xv xv xvxuxvxu xv xu 0 2 xv xv xkv xv k 解析 和差积可推广为有限项即 xuxuxuxuxuxu nn 2 1 21 xu xu xuxuxuxuxuxu k k n k nn 1 21 21 四 几类函数的求导法则 1 反函数的求导法则 如果函数在区间内单调且则它的反函数 y yfx y I 0 yf 在区间内也可导 且或即 xf 1 yx IyyfxxI yf xf 1 1 dy dx dx dy1 是 的函数反函数的导数等于直接函数导数的倒数 解析 且在点 y 处连续 0 yf yfx 反函数求导法则的几何意义 由于是函数的曲线上点 x 处的切 xf xf 线与 x 轴正向夹角的正切 而反函数与 y 在同一坐标系中有相同的曲线 yfx xf 只不过反函数的自变量是 y 所以导数就是 y 曲线上 x 的对应点 y 处 yfx yf xf 的同一条切线与 y 轴正向夹角的正切 因此 即 xf yf 1 之和为 tan 1 tan 2 2 复合函数的求导法则 链式求导 如果在点可导 而 y 在点 xgu x uf 可导 则复合函数在点可导 且其导数为 或 xgu xgfy x xguf dx dy dx du du dy dx dy 解析 复合函数整体在某点是否可导与和在某点是否可导无关 xgu xg 逐层分解为简单函数在求导 不重 不漏 3 隐函数求导法则 对方程所确定的隐函数求导 要把方程的两 0 yxF 0 yxF 边分别对求导即可 在求导过程中应注意是的函数 所以在对或的函数求导时xyxyy 应理解为复合函数的求导 4 参数方程求导法则 由参数方程所确定的 与 的函数的导数为 t ty tx t t xf 解析 注意理解 3 2 t tttt dt dx dt xdf y dt dx dt dy y x 5 对数求导法则 是求幂指数型导数的有效方法即 对函数的 xfy x xfy x 两边同时取对数 然后根据对数的性质将作为指数的函数化为与相乘的一个 x xfln 因子 再利用上述方法求导 6 两个结论 可微分的周期函数其导数仍为具有相同周期的周期函数 可微分的偶函数的导函数为奇函数 而可微分的奇函数的导函数为偶函数 这个事实说明 凡对称于轴的图形其对称点的切线也关于轴对称 凡关于原点对称的yy 图形 其对称点的切线互相平行 五 常见函数的一阶导数 为常数 0 c 1 aa axx xx aaa ln xx ee ax x a ln 1 log x x 1 ln xxcossin xxsincos x xx 2 2 cos 1 sectan x xx 2 2 sin 1 csccot xxxtansecsec xxxcotcsccsc 2 1 1 arcsin x x 2 1 1 arccos x x 2 1 1 arctan x x 2 1 1 cot x xarc chxshx shxchx xch xhthx 2 2 1 sec 21 22 xsh xhcthx 2 2 1 csc 1 1 2 x arcshx 1 1 2 x archx 23 2 1 1 x arcthx 六 高阶导数 设是函数在 I 上的导数 并且也在 I 上可导 则称在 I 上二阶可 xf xf xf xf 导 并称的导函数是在 I 上二阶导数 记为 或 一般地 设 xf xf xf xf 2 是在区间 I 上的阶导函数并且也在 I 上可导则称 2 1 nxf n xf 1 n xf n 1 在 I 上 阶可导 并称的导函数是在区间 I 上的 阶导函数记为 xf xf n 1 xf 当函数由给出时的 阶导数也可表示为 若 xf n xfy xf n n n dx yd y xf n 在点的 阶导数常记为 0 x 0000 xx dx xfd xx dx yd xxyxf x n n n nn 解析 规定函数的零阶导数为函数的本身 xf xf 该定义的给出具有数学归纳法的性质 因此在求某一函数的高阶导数时常用数学 归纳法 的 阶导数是由的阶再一阶导而求得 所以其具有逐阶刻画的 xf xf 1 n 性质 高阶导数的常用求法 莱布尼茨 Leibniz 公式 kkn n k k n n vuCuv 0 上的 阶连续函数 其展开式为 bavu nn n n n n uvvuCvuCvu 22 11 七 常见函数的高阶导数 为常数 0 n C na n a xnaaaax 121 x n n x aaaln kx n n kx aakaln kxn n kx eke x n x ee n n n x a xa n ln 1 1log 1 n nn x n x 1 1ln 1 2 sinsin n xx n 2 sinsin n kxkkx n n 2 coscos n xx n 设且则有 2 coscos n kxkkx n n xgey kx bxgaey kx 设且则有 nbxgeay kxnn xgey kx cbxgkey kx 用同一函数的思想求 ncnbxgeky kxnn ncbxebacbxe ax n n ax sinsin 2 22 其中 ncbxebacbxe ax n n ax coscos 2 22 2222 cos sin ba a ba b 第二讲 微分 一 微分的定义 设在点的某个邻域中有定义如果存在常数 A 使 xf 0 x 0 xU 则称函数在点可微 并称为 xxxAxfxxf 00 xf 0 xxA 在点处的微分 记为 其中称为函数增量 xf 0 x 000 xdfxxxdfxxdy xA 的线性主部 y 解析 给出了求函数值的改变量的近似计算方法 极限的无穷小判别法 简单地反映了 函数增量与自变量增量的关系即 线性关系 这是一种局部线性逼近的思想 令函数则这表明自变量的微分就是它的增量 xy dxdy dxx 导数与微分的关系 函数在点 处可微的充要条件是函数在该点可导 并且 xf 有 一种常见求微分的方法 所以导数称为微商 dxxfdy 函数的微分是关于的线性函数 其中 且函数 xfx xA xfA 的导数与无关 xfx 二 导数与微分几何意义的比较 三 微分的四则运算法则 设均可微分则有 xvvxuu dvduvud 为常数 vduudvuvd kdukud 2 v udvvdu v u d 为常数 2 v kdv v k d 四 复合函数一阶微分形式的不变性 设函数 均可导 则复合函数的导数为 ufy xgu xgfy 故其微分为 注意 xgxgfy dxxgxgfdy ufxgf 因此上式为 无论 是自变量还是中间变量都保 duxdgdxxg duufdy 持形式的不变性 解析 第一类积分换元法 凑微分 的理论基础 五 微分的近似计算及误差估计 1 微分的近似计算 若函数在点处可微 则当很小时 可用微 xfy 0 x 0 xxx 分近似代替增量即 dyy 00 000 0 xxxfxfxfxxxfxfxf 解析 用微分进行近似计算的实质就是在微小局部将给定的函数线性化 将复杂函数简 单化 从几何意义角度看就是用曲线在点处的切线来近似代替该曲线 xfy 00 xfx 达到化曲为直的目的 另一种理解就是寻求其等价无穷小量 用函数微分近似计算时要注意 不一定是无穷小量但应比 dxxfdy y dx 较小 应是一个不依赖于 的增量 dx 一般利用微分解决四个方面的问题 计算函数增量的近似值即 y 计算函数的近似值即 求方程的近 dxxfdyy dxxfxfxxf 似解即 按照误差的精度要求进行近似计算 xafafxaf 2 微分在误差估计中的实际应用 设某量的测量值为 精确值为 A 如果则正 aA 数称为测量的绝对误差 称为测量的相对误差 而在实际应用中相对误差多用来 A a 计算 解析 分清精确值与测量值 六 高阶微分 由于对自变量来说 与无关 因此可微函数的微分仍是xdxx x xfy dxxfdy 的函数这样若还可微 则把它的微分叫做函数xdy 2 dxxfdxxfddyd 的二阶微分 并将记作 把记作 于是二阶微分为 xfy dydyd 2 2 dx 2 dx 由此可以更一般地若的阶微分 2 2 dxxfyd xfy 1 n 仍可微 则把它的微分 叫做的 阶 111 nnn dxxfyd nnn dxxfyd xfy 微分 这时称函数 阶可微 二阶与二阶以上的微分称为高阶微分 xfy 解析 其描述过程具有数学归纳法的性质 所以求解高阶微分的一般方法为数学归纳法 高阶微分没有微分形式不变性 第三讲 导数的应用 一 函数的单调性 设函数在上连续 在内可导 如果在内 xfy ba ba ba 那么函数在上单调增加 如果在内那么函数 0 xf xfy ba ba 0 xf 在上单调减少 xfy ba 解析 区间具有任意性 无论开闭还是有穷 无穷均可 ba 若在内则严格单增 若在内则严格单减 ba 0 xf ba 0 xf 在该定理中我们研究的是导函数值域的性质 并不是某一点导函数值的性质 而 是区间上任意点导函数值的性质 此定理为充要条件 所以结合定义域可求出某函数的单调增 减 区间 与此同 时一定要针对函数的单调区间去谈函数的单调性 几何意义 由函数的导数的正负来判断曲线的升降 进而判断其 xfy xf 单调性 该定理具有逐层描述的特性 即 二阶导函数的正负决定一阶导函数的增减性 可推广到 阶 二 函数的极值 1 函数极值的定义 设函数在点的某邻域内有定义 如果对于其去心邻域内的 xfy 0 x 任一 有 则称是函数的一个极大值 或 0 xfxf 0 xfxf 0 xf xfy 极小值 函数的极大值与极小值统称为函数的极值 使函数取得极值的点称为极值点 解析 在研究函数在点处的极值时 一般要求函数是连续函数即 应考察函数在点 0 x 及其附近是否有定义 0 x 极值是一个局部性定义 它只与一点及其附近的函数值有关 而与整个定义域或 定义域内某个区间上的一切函数值无关 因此对于同一个函数来说在一点的极大值也可能 小于另一点的极小值 在一个区间内可能取得多个极值 极值与最值的区别 极值点处函数曲线的切线平行于 轴 即 导数为 0 但导数为 0 的点 或称稳 定点 临界点 驻点 不一定是极值点 换句话说 费马 Fermat 引理只是可导函数极值的 必要条件 函数极值与方程根的个数有一定的关系 2 常用两种极值的判别法 两个充分条件 第一判别法 设函数在连续在 xf 0 x 上可导 若当时 当时则 0 0 xU 00 xxx 0 xf 00 x xx 0 xf 在取得极大值 若当时 当时 xf 0 x 00 xxx 0 xf 00 x xx 则在取得极小值 0 xf xf 0 x 解析 反映了单调性与极值的关系 按此法求极值的步骤 确定函数的定义域 求函数的导数 xf xf xf 令求出函数的所有驻点和不可导点 检查在各驻点附近左右的 0 xf xf xf 值的符号 如果左正右负则在这个驻点取得极大值 如果左负右正则在这个驻 xf xf 点取得极小值 如果左右同号 那么函数在这个驻点不取得极值 求出函数在所有 xf 极值点的函数值就得到函数的各极值 xf 第二判别法 设函数在处具有二阶导数且那么 当 xf 0 x 0 0 0 0 xfxf 时函数在处取得极大值 当时函数在处取得极小 0 0 xf xf 0 x 0 0 xf xf 0 x 值 解析 其与函数的凸凹性是统一的 有时多用第一 二判别法综合起来使用 按此法求极值的步骤 确定函数的定义域且函数在定义域内有二阶 xf xf 导数 求函数的一阶导数和二阶导数 令求出函数的所有驻点和不 xf 0 xf xf 可导点 计算各驻点 有不可导点时用列表法 的二阶导数值 若二阶导数值为正则函数 在该点取得极小值 若二阶导数值为负则函数在该点取得极大值 若二阶导数值为 0 则此 法失效 求出函数在所有极值点的函数值就得到函数的各极值 xf 定理推广 若函数在上至少存在阶导数且 xf 0 xU2 n 而则 为奇数则函数在不 0 0 1 0 0 xfxfxf n 0 0 xf n xf 0 x 取得极值 为偶数则函数在取得极大值 为偶数 0 0 xf n xf 0 x 则在取得极小值 0 0 xf n xf 0 x 解析 上述等式可用高阶泰勒 Taylor 公式证明 三 函数的最值 1 函数的最值与极值的区别与联系 从研究范围看函数的极值是局部性的 它只与某一 点及其附近的函数值有关 因此对于整个区间来说可能存在多个极值而函数的最值则不然 它与闭区间上的任意一点的函数值有关是对整个区间来说的 因此是唯一的 最值 ba 与极值没有必然的联系即 如果在区间内部取得函数的最值 它不一定是极值 同 ba 理取得函数的极值 它不一定是最值 并且最大值不一定比极小值大 求函数在某点的 极值时仅把该点的函数值与该点附近的左右函数值相比较 而求函数在闭区间上的最 ba 值时 需要与开区间内的所有函数值比较并且还要与端点处的函数值比较 ba 2 求闭区间上函数最值的步骤 求函数的导数 令求出 ba xf xf 0 xf 函数在开区间内的所有驻点和不可导点 求出开区间内的所有可能的 xf ba ba 极值 包括驻点和不可导点处的值 和区间端点的函数值 比较上述所有函 bfaf 数值 选出最大者为函数在上的最大值 最小者为函数在上的最小 xf ba xf ba 值 3 最值在实际问题 最优化问题 中的应用 分析实际问题中各量之间的关系 把实际 问题转化为数学问题 即 列出函数关系式 确定 和 的变化范围 并求出 xfy 变化范围内的各驻点及不可导点 求出 变化范围的端点函数值 比较函数各驻点 及不可导点处的函数值和端点函数值 根据实际意义确定函数的最值 在实际问题中由 常常仅解到一个驻点 若能判断函数的最值 在 的变化区间内部得到驻点处 0 xf 的函数值就是所求的最值 四 函数的凸凹性与拐点 1 函数的凸凹性 设函数在区间上有定义 如果对任意的且及任 xfIxx 21 21 xx 意实数总有则称函数是 I 上的下 1 0 2121 11xfxfxxf xf 凸函数 简称凸函数 若总有则称函数 2121 11xfxfxxf 是 I 上的下凹函数 简称凹函数 若不等式是严格不等式则称函数在 I 上是严 xf xf 格凸函数或凹函数 解析 凸凹性是相对方向性定义 随所选方向的不同而不同 实际上 在研究凸凹性时就是在相同的横坐标下 曲线上相异两点连线的纵坐标 与相应曲线纵坐标的比较 为了研究的方便常取 这时其定义为 设函数在区 2 1 xf 间上有定义 如果对任意的且 若有为该Ixx 21 21 xx 22 2121 xfxfxx f 区间上的下凸函数 若有为该区间上的下凹函数 22 2121 xfxfxx f 琴生 Jensen 不等式 设函数是区间上的下凸函数 则对于任意的 xf 有不等式成立 反之Ixxxx n 321 n xfxfxf n xxx f nn 2121 若函数是区间上的下凹函数 那么有不等式 xf 对于上述两式当且仅当 n xfxfxf n xxx f nn 2121 时取等号 n xxx 21 解析 此不等式是一些重要不等式的基础例如 三角形不等式 幂平均不等式 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 n i ii n i i n i i yxyx Ni 调和 几何 算术平均值 1 11 11 ra n a n n k r k r n k k ra n a n n k r k r n k k 1 11 11 不等式 柯西 Cauchy 不等式 Raa n a a n i n i i n n i i n i i 11 1 1 1 0 2 11 22 ii n i ii n i ii yxyxyx 凸 凹函数的几何解释 严格下凸函数的图象在任意一点处切线的上方 严格下凹 函数的图象在任意一点处切线的下方 2 函数凸凹性的判断 设函数在上连续 在内具有一阶和二阶导数 xfy ba ba 那么 若在内则在上的图形是严格下凸的 若在内 ba 0 xf xf ba ba 则在上的图形是严格下凹的 0 xf xf ba 解析 由于二阶导数可以用来刻画一阶导数的性质 故得到两点结论 在上 xf ba 连续在内可导 若有对于任意的使得有 ba bax 0 成立则称为上的下凸函数 若有对 bxaxxxfxfxf 000 0 xf ba 于任意的使得有 成立则称为 bax 0 bxaxxxfxfxf 000 0 xf 上的下凹函数 反映了过曲线上任意一点切线斜率的变化趋势 ba 3 拐点 使连续曲线在经过点时其凸凹性发生改变的点 xfy 00 xfx 称为曲线的拐点 00 xfx 解析 拐点的性质 若函数在上存在二阶导数且点是函数 xf 0 xU 00 xfx 的拐点那么 xfy 0 0 xf 求函数拐点的步骤 求 令解出这个方程在区间 内的实根 xf 0 xf 并求出在区间 内二阶导数不存在的点 判断符号 对 中所求的的每一个实根或二阶不 可导的点 根据进行左右邻近两侧的符号判断若两侧异号则是拐点 同号则不是拐 xf 点 五 函数凸凹性 拐点 与单调性 极值 的比较 对于连续函数我们通常用一阶导数确定单调性 而用二阶导数来确定凸凹性 根据一阶导 数在某点邻近两侧单调性的不同从而确定其点为极值点 而根据二阶导数在某点邻近两侧 凸凹性的不同从而确定其点为拐点 但二者统一于二阶导数 当二阶导数大于 0 时函数是 下凸函数取得极小值 当二阶导数小于 0 时函数是下凹函数取得极大值 如果存在极值的 话 六 曲线的渐近线 1 定义 设曲线上的动点沿曲线无限的远离原点时 点与某一直线之间的距 xfPPL 离趋于 0 则称直线是曲线的渐近线 体现了数学的辩证法思想 L xf 2 分类 垂 铅 直渐近线 若 或当 则是曲 0 lim xx xf 00 xxxx 0 xx 线的垂 铅 直渐近线 xf 解析 确定点是关键 一般采用罗比塔 L Hospital 法则或求其反函数且当解 0 x x 出 即为 0 x 水平渐近线 若则就是曲线的水平渐近线 x bxflim by xf 斜渐近线 设曲线有斜渐近线那么 xfbkxy x x xf lim x kxxflim 解析 判断一个函数的渐近线时一般采取水平 垂直 斜渐近线的顺序依次验证 七 函数图象的描绘 确定函数的定义域 讨论函数的奇偶性 周期性 确定函数的某些特殊点 如与坐标轴的交点 确定函数的单调区间 极值点 凸凹区间及拐点 求出渐近线 也可能不存在 列表综合上述各情况描绘函数图象 八 弧微分与曲率 1 弧微分 在上取定一点 作为度量弧长的基点 并规定增大的方向为的正向 LAxL 设为上任意一点 并规定有向弧段的长为 则 是 的横坐标的函数 yxM LMA x 即 而且是的单增函数 我们称弧长函数的微分为弧微分 下面 xSS xSx xSds 是三种形式弧微分计算公式 普通方程 参数方程 dxyds 2 1 极坐标方程 dtttds 2 2 drrds 2 2 解析 实际与积分的求弧长是统一的 2 曲率 平均曲率 若记曲线弧的弧长为切线转角为则称为曲线MA s s k 弧的平均曲率 曲率 当 即 时如果的平均曲率的极限0 sMA MA s k 存在 则称此极限的绝对值为曲线在点 处的曲率 记为 0 lim s s k 0 lim s s ds d 解析 曲率反映了曲线的弯曲程度 曲率是平均曲率的精确化 其描述曲线上每一点的 弯曲程度 与导数定义的比较 曲率的计算 普通方程 参数方程 2 3 2 1y y k 2 3 2 2 tt tttt k 3 曲率圆与曲率半径 设曲线在点 的曲率为 过 点作曲线的切线 xfy k 0 k 并在曲线凹向一侧的法线上取一点 C 使 以 C 为圆心 以为半径作圆 则 k MC 1 称此圆为曲线在点 处的曲率圆 C 称为曲率圆的中心 称为曲率半径 解析 在点 处 曲线与曲率圆具有关系 有共同的函数值 有共同的曲率 有共同的 一 二阶导数 有共同的切线 即曲率圆与曲线在 点相切 转化的思想 曲率半径与曲率互为倒数 所以曲率半径 2 3 2 1 y y R 曲率中心的计算 设其中心坐标为曲线的对应点为 则 o yxM 2 2 1 1 y y y y yy x 曲