初中数学经典题型

初中数学参考资料 第 1 页 共 68 页 综合知识讲解 目录目录 第一章 绪 论 2 1 1 初中数学的特点 2 1 2 怎么学习初中数学 2 1 3 如何去听课 5 1 4 几点建议 6 第二章 应知应会知识点 8 2 1 代数篇 8 2 2 几何篇 12 第三章 例题讲解 19 第四章 兴趣练习 38 4 1 代数部分 38 4 2 几何部分 52 第五章 复习提纲 57 初中数学参考资料 第 2 页 共 68 页 第一章第一章 绪绪 论论 1 1 初中数学的特点初中数学的特点 1 2 怎么学习初中数学怎么学习初中数学 1 培养良好的学习兴趣 培养良好的学习兴趣 两千多年前孔子说过 知之者不如好之者 好之者不如乐之者 意思说 干一件事 知道它 了解它不如爱好它 爱好它不如乐在其中 好 和 乐 就是愿意 学 喜欢学 这就是兴趣 兴趣是最好的老师 有兴趣才能产生爱好 爱好它就要去实践它 达到乐在其中 有兴趣才会形成学习的主动性和积极性 初中数学参考资料 第 3 页 共 68 页 在数学学习 中 我们把这种从自发的感性的乐趣出发上升为自觉的理性的 认 识 过程 这自然会变为立志学好数学 成为数学学习的成功者 那么如何才 能建立好的学习数学 兴趣呢 1 课前预习 对所学知识产生疑问 产生好奇心 2 听课中要配合老师讲课 满足感官的兴奋性 听课中重点解决预习中 疑问 把老师课堂的提问 停顿 教具和模型的演示都视为欣赏音乐 及时回 答老师课堂提问 培养思考与老师同步性 提高精神 把老师对你的提问的评 价 变为鞭策学习的动力 3 思考问题注意归纳 挖掘你学习的潜力 4 听课中注意老师讲解时的数学思想 多问为什么要这样思考 这样的 方法怎样是产生的 5 把概念回归自然 所有学科都是从实际问题中产生归纳的 数学概念 也回归于现实生活 如角的概念 直角坐标系的产生都是从实际生活中抽象出 来的 只有回归现实才能对概念的理解切实可 在应用概念判断 推理时会准 确 2 建立良好的学习数学习惯 建立良好的学习数学习惯 习惯是经过重复练习而巩固下来的稳重持久的条件反射和自然需要 建立 良好的学习数学习惯 会使自己学习感到有序而轻松 高中数学的良好习惯应 是 多质疑 勤 思考 好动手 重归纳 注意应用 良好的学习数学习惯还包 括课前自学 专心上课 及时复习 独立作业 解决疑难 系统小结和课外学 习几个方面 学生在学习 数学的过程中 要把教师所传授的知识翻译成为自己 的特殊语言 并永久记忆在自己的脑海中 另外还要保证每天有一定的自学时 间 以便加宽知识面和培养自己再 学习能力 3 有意识培养自己的各方面能力 有意识培养自己的各方面能力 数学能力包括 逻辑推理能力 抽象思维能力 计算能力 空间想象能力 和分析解决问题能力共五大能力 这些能力是在不同的数学学习环境中得到培 养的 在平时学 习中要注意开发不同的学习场所 参与一切有益的学习实践活 动 如数学第二课堂 数学竞赛 智力竞赛等活动 平时注意观察 比如 空 间想象能力是通过实例净 化思维 把空间中的实体高度抽象在大脑中 并在大 初中数学参考资料 第 4 页 共 68 页 脑中进行分析推理 其它能力的培养都必须学习 理解 训练 应用中得到发 展 特别是 教师为了培养这些能 力 会精心设计 智力课 和 智力问题 比如对习题的解答时的一题多解 举一反三的训练归类 应用模型 电脑等多 媒体教学等 都是为数学能力的培养开设的好课型 在这些课型中 学生务必 要用全身心投入 全方位智力参与 最终达到自己各方面能力的全面发展 4 及时了解 掌握常用的数学思想和方法 及时了解 掌握常用的数学思想和方法 学好初中数学 需要我们从数学思想与方法高度来掌握它 中学数学学习 要重点掌握的的数学思想有以上几个 集合与对应思想 分类讨论思想 数形 结合思想 运动 思想 转化思想 变换思想 有了数学思想以后 还要掌握具 体的方法 比如 换元 待定系数 数学归纳法 分析法 综合法 反证法等 等 在具体的方法中 常 用的有 观察与实验 联想与类比 比较与分类 分 析与综合 归纳与演绎 一般与特殊 有限与无限 抽象与概括等 解数学题时 也要注意解题思维策略问题 经常要思考 选择什么角度来 进入 应遵循什么原则性的东西 高中数学中经常用到的数学思维策略有 以 简驭繁 数形结合 进退互用 化生为熟 正难则反 倒顺相还 动静转换 分合相辅等 5 逐步形成 逐步形成 以我为主以我为主 的学习模式的学习模式 数学不是老师教会的 而是在老师的引导下 自己主动的思维活动去获取 的 学习数学就要积极主动地参与学习过程 养成实事求是的科学态度 独立 思考 勇于 探索的创新精神 正确对待学习中的困难和挫折 败不馁 胜不骄 养成积极进取 不屈不挠 耐挫折的优良心理品质 在学习过程中 要遵循认 识规律 善于开动 脑筋 积极主动去发现问题 注重新旧知识间的内在联系 不满足于现成的思路和结论 经常进行一题多解 一题多变 从多侧面 多角 度思考问题 挖掘问题的实 质 学习数学一定要讲究 活 只看书不做题不 行 只埋头做题不总结积累也不行 对课本知识既要能钻进去 又要能跳出来 结合自身特点 寻找最佳学习方法 6 针对自己的学习情况 采取一些具体的措施 针对自己的学习情况 采取一些具体的措施 记数学笔记 特别是对概念理解的不同侧面和数学规律 教师在课堂中扩 初中数学参考资料 第 5 页 共 68 页 展的课外知识 记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题 以及你还存 在的未解决的问题 以便今后将其补上 建立数学纠错本 把平时容易出现错误的知识或推理记载下来 以防再犯 争取做到 找错 析错 改错 防错 达到 能从反面入手深入理解正确东西 能由果朔因把错误原因弄个水落石出 以便对症下药 解答问题完整 推理严 密 1 3 如何去听课如何去听课 认真听好每一节棵 要上好每一节课 数学课有知识的发生和形成的概念课 有解题思路探索 和规律总结的习题课 有数学思想方法提炼和联系实际的复习课 要上好这些 课来学会数学知识 掌握学习数学的方法 概念课概念课 要重视教学过程 要积极体验知识产生 发展的过程 要把知识的来龙去 脉搞清楚 认识知识发生的过程 理解公式 定理 法则的推导过程 改变死 记硬背的方法 这样我们就能从知识形成 发展过程当中 理解到学会它的乐 趣 在解决问题的过程中 体会到成功的喜悦 习题课习题课 要掌握 听一遍不如看一遍 看一遍不如做一遍 做一遍不如讲一遍 讲 一遍不如辩一辩 的诀窍 除了听老师讲 看老师做以外 要自己多做习题 而且要把自己的体会主动 大胆地讲给大家听 遇到问题要和同学 老师辩一 辩 坚持真理 改正错误 在听课时要注意老师展示的解题思维过程 要多思 考 多探究 多尝试 发现创造性的证法及解法 学会 小题大做 和 大题 小做 的解题方法 即对选择题 填空题一类的客观题要认真对待绝不粗心大 意 就像对待大题目一样 做到下笔如有神 对综合题这样的大题目不妨把 大 拆 小 以 退 为 进 也就是把一个比较复杂的问题 拆成或退 为最简单 最原始的问题 把这些小题 简单问题想通 想透 找出规律 然 后再来一个飞跃 进一步升华 就能凑成一个大题 即退中求进了 如果有了 初中数学参考资料 第 6 页 共 68 页 这种分解 综合的能力 加上有扎实的基本功还有什么题目难得倒我们 复习课复习课 在数学学习过程中 要有一个清醒的复习意识 逐渐养成良好的复习习惯 从而逐步学会学习 数学复习应是一个反思性学习过程 要反思对所学习的知 识 技能有 没有达到课程所要求的程度 要反思学习中涉及到了哪些数学思想 方法 这些数学思想方法是如何运用的 运用过程中有什么特点 要反思基本 问题 包括基本图 形 图像等 典型问题有没有真正弄懂弄通了 平时碰到的 问题中有哪些问题可归结为这些基本问题 要反思自己的错误 找出产生错误 的原因 订出改正的措 施 在新学期大家准备一本数学学习 病例卡 把平 时犯的错误记下来 找出 病因 开出 处方 并且经常拿出来看看 想想错 在哪里 为什么会错 怎么改 正 通过你的努力 到高考时你的数学就没有什 么 病例 了 并且数学复习应在数学知识的运用过程中进行 通过运用 达 到深化理解 发展能力的目的 因此在新的一年要在教师的指导下做一定数量 的数学习题 做到举一反三 熟练应用 避免以 练 代 复 的题海战术 1 4 几点建议几点建议 1 记数学笔记 特别是对概念理解的不同侧面和数学规律 教师为备战高 考而加的课外知识 如 我在讲课时的注解 2 建立数学纠错本 把平时容易出现错误的知识或推理记载下来 以防再 犯 争取做到 找错 析错 改错 防错 达到 能从反面入手深入理解正确 东西 能由果朔因把错误原因弄个水落石出 以便对症下药 解答问题完整 推理严密 3 记忆数学规律和数学小结论 4 与同学建立好关系 争做 小老师 形成数学学习 互助组 5 争做数学课外题 加大自学力度 6 反复巩固 消灭前学后忘 7 学会总结归类 从数学思想分类 从解题方法归类 从知识应用上分 类 总之 对初中生来说 学好数学 首先要抱着浓厚的兴趣去学习数学 积 初中数学参考资料 第 7 页 共 68 页 极展开思维的翅膀 主动地参与教育全过程 充分发挥自己的主观能动性 愉 快有效地学数学 其次要掌握正确的学习方法 锻炼自己学数学的能力 转变学习方式 要 改变单纯接受的学习方式 要学会采用接受学习与探究学习 合作学习 体验 学习等多样化 的方式进行学习 要在教师的指导下逐步学会 提出问题 实验 探究 开展讨论 形成新知 应用反思 的学习方法 这样 通过学习方式由 单一到多样的转变 我 们在学习活动中的自主性 探索性 合作性就能够得到 加强 成为学习的主人 初中数学参考资料 第 8 页 共 68 页 第二章第二章 应知应会知识点应知应会知识点 2 1 代数篇代数篇 一 数与式 一 有理数 1 有理数的分类 2 数轴的定义与应用 3 相反数 4 倒数 5 绝对值 6 有理数的大小比较 7 有理数的运算 二 实数 8 实数的分类 9 实数的运算 10 科学记数法 11 近似数与有效数字 12 平方根与算术根和立方根 13 非负数 14 零指数次幂 负指数次幂 三 代数式 15 代数式 代数式的值 16 列代数式 四 整式 17 整式的分类 18 整式的加减 乘除的运算 19 幂的有关运算性质 20 乘法公式 初中数学参考资料 第 9 页 共 68 页 21 因式分解 五 分式 22 分式的定义 23 分式的基本性质 24 分式的运算 六 二次根式 25 二次根式的意义 26 根式的基本性质 27 根式的运算 二 方程和不等式 一 一元一次方程 28 方程 方程的解的有关定义 29 一元一次的定义 30 一元一次方程的解法 31 列方程解应用题的一般步骤 二 二元一次方程 32 二元一次方程的定义 33 二元一次方程组的定义 34 二元一次方程组的解法 代入法消元法 加减消元法 35 二元一次方程组的应用 三 一元二次方程 36 一元二次方程的定义 37 一元二次方程的解法 配方法 因式分解法 公式法 十字相乘法 38 一元二次方程根与系数的关系和根的判别式 39 一元二次方程的应用 四 分式方程 40 分式方程的定义 41 分式方程的解法 转化为整式方程 检验 42 分式方程的增根的定义 初中数学参考资料 第 10 页 共 68 页 43 分式方程的应用 五 不等式和不等式组 44 不等式 组 的有关定义 45 不等式的基本性质 46 一元一次不等式的解法 47 一元一次不等式组的解法 48 一元一次不等式 组 的应用 三 函数 一 位置的确定与平面直角坐标系 49 位置的确定 50 坐标变换 51 平面直角坐标系内点的特征 52 平面直角坐标系内点坐标的符号与点的象限位置 53 对称问题 P x y Q x y 关于 x 轴对称 P x y Q x y 关于 y 轴对称 P x y Q x y 关于原点对称 54 变量 自变量 因变量 函数的定义 55 函数自变量 因变量的取值范围 使式子有意义的条件 图象法 56 函数的图象 变量的变化趋势描述 二 一次函数与正比例函数 57 一次函数的定义与正比例函数的定义 58 一次函数的图象 直线 画法 59 一次函数的性质 增减性 60 一次函数 y kx b k 0 中 k b 符号与图象位置 61 待定系数法求一次函数的解析式 一设二列三解四回 62 一次函数的平移问题 63 一次函数与一元一次方程 一元一次不等式 二元一次方程的关系 图象 法 64 一次函数的实际应用 初中数学参考资料 第 11 页 共 68 页 65 一次函数的综合应用 1 一次函数与方程综合 2 一次函数与其它函数综合 3 一次函数与不等式的综合 4 一次函数与几何综合 三 反比例函数 66 反比例函数的定义 67 反比例函数解析式的确定 68 反比例函数的图象 双曲线 69 反比例函数的性质 增减性质 70 反比例函数的实际应用 71 反比例函数的综合应用 四个方面 面积问题 四 二次函数 72 二次函数的定义 73 二次函数的三种表达式 一般式 顶点式 交点式 74 二次函数解析式的确定 待定系数法 75 二次函数的图象 抛物线 画法 五点法 76 二次函数的性质 增减性的描述以对称轴为分界 77 二次函数 y ax2 bx c a 0 中 a b c 与特殊式子的符号与图象位置关 系 78 求二次函数的顶点坐标 对称轴 最值 79 二次函数的交点问题 80 二次函数的对称问题 81 二次函数的最值问题 实际应用 82 二次函数的平移问题 83 二次函数的实际应用 84 二次函数的综合应用 1 二次函数与方程综合 2 二次函数与其它函数综合 初中数学参考资料 第 12 页 共 68 页 3 二次函数与不等式的综合 4 二次函数与几何综合 2 2 几何篇几何篇 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中 垂线段最短 7 经过直线外一点 有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行 这两条直线也互相平行 9 同位角相等 两直线平行 10 内错角相等 两直线平行 11 同旁内角互补 两直线行 12 两直线平行 同位角相等 13 两直线平行 内错角相等 14 两直线平行 同旁内角互补 15 三角形两边的和大于第三边 16 三角形两边的差小于第三边 17 三角形三个内角的和等 180 18 直角三角形的两个锐角互余 19 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边 对应角相等 22 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 SAS 23 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 ASA 24 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 AAS 25 有三边对应相等的两个三角形全等 SSS 初中数学参考资料 第 13 页 共 68 页 26 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 HL 27 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 到一个角的两边的距离相同的点 在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 31 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线 底边上的中线和高互相重合 33 等边三角形的各角都相等 并且每一个角都等于 60 34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等 那么这两个角 所对的边也相等 等角对等边 35 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 有一个角等于 60 的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中 如果一个锐角等于 30 那么它所对的直角边等于斜边的 一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 和一条线段两个端点距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 如果两个图形关于某直线对称 那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44 两个图形关于某直线对称 如果它们的对应线段或延长线相交 那么交点 在对称轴上 45 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分 那么这两个图形关于 这条直线对称 46 直角三角形两直角边 a b 的平方和 等于斜边 c 的平方 即 a b c 47 如果三角形的三边长 a b c 有关系 a b c 那么这个三角形是直角三角 形 48 四边形的内角和等于 360 49 四边形的外角和等于 360 初中数学参考资料 第 14 页 共 68 页 50 多边形内角和定理 n 边形的内角的和等于 n 2 180 51 任意多边的外角和等于 360 52 平行四边形的对角相等 53 平行四边形的对边相等 54 夹在两条平行线间的平行线段相等 55 平行四边形的对角线互相平分 56 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 57 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 58 对角线互相平分的四边形是平行四边形 59 一组对边平行相等的四边形是平行四边形 60 矩形的四个角都是直角 61 矩形的对角线相等 62 有三个角是直角的四边形是矩形 63 对角线相等的平行四边形是矩形 64 菱形的四条边都相等 65 菱形的对角线互相垂直 并且每一条对角线平分一组对角 66 菱形面积 对角线乘积的一半 即 S a b 2 67 四边都相等的四边形是菱形 68 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 69 正方形的四个角都是直角 四条边都相等 70 正方形的两条对角线相等 并且互相垂直平分 每条对角线平分一组对角 71 关于中心对称的两个图形是全等的 72 关于中心对称的两个图形 对称点连线都经过对称中心 并且被对称中心 平分 73 如果两个图形的对应点连线都经过某一点 并且被这一 点平分 那么这 两个图形关于这一点对称 74 等腰梯形在同一底上的两个角相等 75 等腰梯形的两条对角线相等 76 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 初中数学参考资料 第 15 页 共 68 页 77 对角线相等的梯形是等腰梯形 78 如果一组平行线在一条直线上截得的线段 相等 那么在其他直线上截得的线段也相等 79 经过梯形一腰的中点与底平行的直线 必平分另一腰 80 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线 必平分第三边 81 三角形的中位线平行于第三边 并且等于它的一半 82 梯形的中位线平行于两底 并且等于两底和的 一半 L a b S L h 83 如果 a b c d 那么 ad bc 如果 ad bc 那么 a b c d 84 如果 a b c d 那么 a b b c d d 85 如果 a b c d m n b d n 0 那么 a c m b d n a b 86 三条平行线截两条直线 所得的对应线段成比例 87 平行于三角形一边的直线截其他两边 或两边的延长线 所得的对应线段 成比例 88 如果一条直线截三角形的两边 或两边的延长线 所得的对应线段成比例 那么这条直线平行于三角形的第三边 89 平行于三角形的一边 并且和其他两边相交的直线 所截得的三角形的三 边与原三角形三边对应成比例 90 平行于三角形一边的直线和其他两边 或两边的延长线 相交 所构成的三 角形与原三角形相似 91 两角对应相等 两三角形相似 ASA 92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 93 两边对应成比例且夹角相等 两三角形相似 SAS 94 三边对应成比例 两三角形相似 SSS 95 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三 角形的斜边和一条直角边对应成比例 那么这两个直角三角形相似 初中数学参考资料 第 16 页 共 68 页 96 相似三角形对应高的比 对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 97 相似三角形周长的比等于相似比 98 相似三角形面积的比等于相似比的平方 99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值 任意锐角的余弦值等于它的余 角的正弦值 100 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值 任意锐角的余切值等 于它的余角的正切值 101 圆是定点的距离等于定长的点的集合 102 圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 103 圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 104 同圆或等圆的半径相等 105 到定点的距离等于定长的点的轨迹 是以定点为圆心 定长为半径的圆 106 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹 是着条线段的垂直平分线 107 到已知角的两边距离相等的点的轨迹 是这个角的平分线 108 到两条平行线距离相等的点的轨迹 是和这两条平行线平行且距离相等的 一条直线 109 不在同一直线上的三个点确定一条直线 110 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 111 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分弦所对的两条弧 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦 并且平分弦所对的另一条弧 112 圆的两条平行弦所夹的弧相等 113 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 114 在同圆或等圆中 相等的圆心角所对的弧相等 所对的弦相等 所对的弦 的弦心距相等 115 在同圆或等圆中 如果两个圆心角 两条弧 两条弦或两弦的弦心距中有 一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等 116 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 117 同弧或等弧所对的圆周角相等 同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧也 初中数学参考资料 第 17 页 共 68 页 相等 118 半圆 或直径 所对的圆周角是直角 90 的圆周角所 对的弦是直径 119 如果三角形一边上的中线等于这边的一半 那么这个三角形是直角三角形 120 圆的内接四边形的对角互补 并且任何一个外角都等于它的内对角 121 直线 L 和 O 相交 d r 直线 L 和 O 相切 d r 直线 L 和 O 相离 d r 122 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 123 圆的切线垂直于经过切点的半径 124 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 125 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 126 从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长相等 圆心和这一点的连线平 分两条切线的夹角 127 圆的外切四边形的两组对边的和相等 128 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 129 如果两个弦切角所夹的弧相等 那么这两个弦切角也相等 130 圆内的两条相交弦 被交点分成的两条线段长的积相等 131 如果弦与直径垂直相交 那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例 中项 132 从圆外一点引圆的切线和割线 切线长是这点到割线与圆交点的两条线段 长的比例中项 133 从圆外一点引圆的两条割线 这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长 的积相等 134 如果两个圆相切 那么切点一定在连心线上 135 两圆外离 d R r 两圆外切 d R r 两圆相交 R r d R r R r 两圆内切 d R r R r 两圆内含 d R r R r 136 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 初中数学参考资料 第 18 页 共 68 页 137 把圆分成 n n 3 依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形 经过各分点作圆的切线 以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切 正 n 边形 138 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆 这两个圆是同心圆 139 正 n 边形的每个内角都等于 n 2 180 n 140 正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分成 2n 个全等的直角三角形 141 正 n 边形的面积 Sn pnrn 2 p 表示正 n 边形的周长 142 正三角形面积 3a 4 a 表示边长 143 如果在一个顶点周围有 k 个正 n 边形的角 由于这些角的和应为 360 因此 k n 2 180 n 360 化为 n 2 k 2 4 144 弧长计算公式 L n R 180 145 扇形面积公式 S 扇形 n R 360 LR 2 146 内公切线长 d R r 外公切线长 d R r 初中数学参考资料 第 19 页 共 68 页 第三章第三章 例题讲解例题讲解 例 如图 10 平行四边形ABCD中 AB 5 BC 10 BC边上的高AM 4 E 为BC边上的一个动点 不与B C重合 过E作直线AB的垂线 垂足为F FE与DC的延长线相交于点G 连结DE DF 1 求证 BEF CEG 2 当点E在线段BC上运动时 BEF和 CEG的周长之间有什么关系 并说明你的理由 3 设BE x DEF的面积为y 请你求出y和x之间的函数关系式 并求出当x为何值时 y有最大值 最大值是多少 解析过程及每步分值 1 因为四边形ABCD是平行四边形 所以 1 分ABDGA 所以 BGCEGBFE 所以 3 分BEFCEG 2 的周长之和为定值 4 分BEFCEG 与 理由一 过点C作FG的平行线交直线AB于H 因为GF AB 所以四边形FHCG为矩形 所以 FH CG FG CH 因此 的周长之和等于BC CH BH BEFCEG 与 由 BC 10 AB 5 AM 4 可得CH 8 BH 6 所以BC CH BH 24 6 分 理由二 由AB 5 AM 4 可知 在 Rt BEF与 Rt GCE中 有 4343 5555 EFBEBFBEGEECGCCE 图 10 M B D C E F G x A A M x H G F E D CB 初中数学参考资料 第 20 页 共 68 页 所以 BEF的周长是 ECG的周长是 12 5 BE 12 5 CE 又BE CE 10 因此的周长之和是 24 6 分BEFCEGAA与 3 设BE x 则 43 10 55 EFxGCx 所以 8 分 2 11 43622 10 5 22 55255 yEF DGxxxx AA 配方得 2 655121 2566 yx 所以 当时 y有最大值 9 分 55 6 x 最大值为 10 分 121 6 例 如图 二次函数y ax2 bx c a 0 与坐标轴交于点 A B C 且 OA 1 OB OC 3 1 求此二次函数的解析式 2 写出顶点坐标和对称轴方程 3 点 M N 在y ax2 bx c的图像上 点 N 在点 M 的右边 且 MN x轴 求以 MN 为直径且与x轴相切的圆的半径 解析过程及每步分值 1 依题意分别代入 1 分 10 3 0 03 ABC 2 yaxbxc 解方程组得所求解析式为 4 分 2 23yxx 2 5 分 22 23 1 4yxxx 顶点坐标 对称轴 7 分 14 1x 3 设圆半径为 当在轴下方时 点坐标为 8 分rMNxN 1 rr 把点代入得 9 分N 2 23yxx 117 2 r 初中数学参考资料 第 21 页 共 68 页 同理可得另一种情形 117 2 r 圆的半径为或10 分 117 2 117 2 例例 3 3 已知两个关于的二次函数与x 1 y 当时 22 2112 2 0 612yya xkkyyxx xk 2 17y 且二次函数的图象的对称轴是直线 2 y1x 1 求的值 k 2 求函数的表达式 12 yy 3 在同一直角坐标系内 问函数的图象与的图象是否有交点 请说 1 y 2 y 明理由 解析过程及每步分值 1 由 22 112 2612ya xkyyxx 得 2222 2121 612 2610 yyyyxxa xkxxa xk 又因为当时 即 xk 2 17y 2 61017kk 解得 或 舍去 故的值为 1 1k 2 7k k1 2 由 得 1k 222 2 610 1 1 26 10yxxa xa xaxa 所以函数的图象的对称轴为 2 y 26 2 1 a x a 于是 有 解得 26 1 2 1 a a 1a 所以 22 12 212411yxxyxx 3 由 得函数的图象为抛物线 其开口向下 顶点坐标为 2 1 1 2yx 1 y 12 由 得函数的图象为抛物线 其开口向上 顶点坐标 22 2 24112 1 9yxxx 2 y 为 故在同一直角坐标系内 函数的图象与的图象没有交点 19 1 y 2 y 初中数学参考资料 第 22 页 共 68 页 例 4 如图 抛物线与 x 轴分别相交于点 B O 它的顶点为 A 连接 AB 把 AB 2 4yxx 所的直线沿 y 轴向上平移 使它经过原点 O 得到直线 l 设 P 是直线 l 上一动点 1 求点 A 的坐标 2 以点 A B O P 为顶点的四边形中 有菱形 等腰梯形 直角梯形 请分别直接 写出这些特殊四边形的顶点 P 的坐标 3 设以点 A B O P 为顶点的四边形的面积为 S 点 P 的横坐标为 x 当 时 求 x 的取值范围 46 268 2S 解析过程及每步分值 解 1 4 2 4 22 xxxy A 2 4 2 四边形 ABP1O 为菱形时 P1 2 4 四边形 ABOP2为等腰梯形时 P1 5 4 5 2 形 四边形 ABP3O 为直角梯形时 P1 5 8 5 4 形 四边形 ABOP4为直角梯形时 P1 5 12 5 6 形 3 由已知条件可求得 AB 所在直线的函数关系式是 y 2x 8 所以直线 的函数关系式是l y 2x 初中数学参考资料 第 23 页 共 68 页 当点 P 在第二象限时 x0 过点 A P 分别作 x 轴的垂线 垂足为 A P 则四边形 POA A 的面积 44 2 2 1 2 2 24 xxxx x SSS OPPAAP形形PAAPO AA B 的面积424 2 1 BAA S 0 84 xxSSS BAAAAPO 286264 S 即 286 264 S S 28684 26484 x x 2 124 2 223 S x x 的取值范围是 2 124 2 223 x 初中数学参考资料 第 24 页 共 68 页 例 4 随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展 对花木的需求量逐年提高 某园林专业户计划投资种植花卉及树木 根据市场调查与预测 种植树木 的利润与投资量成正比例关系 如图 所示 种植花卉的利润与投 1 yx 2 y 资量成二次函数关系 如图 所示 注 利润与投资量的单位 万元 x 1 分别求出利润与关于投资量的函数关系式 1 y 2 yx 2 如果这位专业户以 8 万元资金投入种植花卉和树木 他至少获得多少 利润 他能获取的最大利润是多少 解析过程及每步分值 解 1 设 由图 所示 函数 的图像过 1 2 所以 2 1 ykx 1 ykx1 k2 k 故利润关于投资量的函数关系式是 1 yx 1 yx2 因为该抛物线的顶点是原点 所以设 由图 12 所示 函数 的图像 2 y 2 ax 2 y 2 ax 过 2 2 所以 2 22 a 2 1 a 故利润关于投资量的函数关系式是 2 yx 2 2 1 xy 2 设这位专业户投入种植花卉万元 x80 x 则投入种植树木 万元 他获得的利润是万元 根据题意 得x 8z z 8 2x 2 2 1 x162 2 1 2 xx14 2 2 1 2 x 当时 的最小值是 14 2 xz 因为 所以80 x622 x 所以36 2 2 x 所以18 2 2 1 2 x 所以 即 此时32141814 2 2 1 2 x32 z8 x 初中数学参考资料 第 25 页 共 68 页 当时 的最大值是 32 8 xz 例 5 如图 已知 现以 A 点为位似中心 相似比为 9 4 4 0 A 0 4 B 将 OB 向右侧放大 B 点的对应点为 C 1 求 C 点坐标及直线 BC 的解析式 2 一抛物线经过 B C 两点 且顶点落在 x 轴正半轴上 求该抛物线的 解析式并画出函数图象 3 现将直线 BC 绕 B 点旋转与抛物线相交与另一点 P 请找出抛物线上 所有满足到直线 AB 距离为的点 P 3 2 解析过程及每步分值 解 1 过 C 点向 x 轴作垂线 垂足为 D 由位似图形性质可知 ABO ACD 4 9 AOBO ADCD 由已知 可知 4 0 A 0 4 B4 4AOBO 初中数学参考资料 第 26 页 共 68 页 C 点坐标为 9ADCD 5 9 直线 BC 的解析是为 40 9450 yx 化简得 4yx 2 设抛物线解析式为 由题意得 2 0 yaxbxc a 2 4 9255 40 c abc bac 解得 1 1 1 1 4 4 a b c 2 2 2 1 25 4 5 4 a b c 解得抛物线解析式为或 2 1 44yxx 2 2 14 4 255 yxx 又 的顶点在 x 轴负半轴上 不合题意 故舍去 2 2 14 4 255 yxx 满足条件的抛物线解析式为 2 44yxx 准确画出函数图象 2 44yxx 3 将直线 BC 绕 B 点旋转与抛物线相交与另一点 P 设 P 到 直线 AB 的距离为 h 故 P 点应在与直线 AB 平行 且相距的上下两条平行直线和上 3 2 1 l 2 l 由平行线的性质可得 两条平行直线与 y 轴的交点到直线 BC 的距离也为 3 2 如图 设与 y 轴交于 E 点 过 E 作 EF BC 于 F 点 1 l 在 Rt BEF 中 3 2EFh 45EBFABO 可以求得直线与 y 轴交点坐标为6BE 1 l 0 10 同理可求得直线与 y 轴交点坐标为 2 l 0 2 两直线解析式 1 10lyx 2 2lyx 根据题意列出方程组 2 44 10 yxx yx 2 44 2 yxx yx 初中数学参考资料 第 27 页 共 68 页 解得 1 1 6 16 x y 2 2 1 9 x y 3 3 2 0 x y 4 4 3 1 x y 满足条件的点 P 有四个 它们分别是 1 6 16 P 2 1 9 P 3 2 0 P 4 3 1 P 例 6 如图 抛物线交轴于 A B 两点 交轴于 M 点 抛物线 2 1 23Lyxx xy 向右平移 2 个单位后得到抛物线 交轴于 C D 两点 1 L 2 L 2 Lx 1 求抛物线对应的函数表达式 2 L 2 抛物线或在轴上方的部分是否存在点 N 使以 A C M N 为顶点的四边 1 L 2 Lx 形是平行四边形 若存在 求出点 N 的坐标 若不存在 请说明理由 3 若点 P 是抛物线上的一个动点 P 不与点 A B 重合 那么点 P 关于原点的对 1 L 称点 Q 是否在抛物线上 请说明理由 2 L 解析过程及每步分值 初中数学参考资料 第 28 页 共 68 页 例 7 如图 在矩形中 点是边上的动点ABCD9AB 3 3AD PBC 点不与点 点重合 过点作直线 交边于点 PBCPPQBD CDQ 再把沿着动直线对折 点的对应点是点 设的长度为 PQC PQCRCPx 与矩形重叠部分的面积为 PQR ABCDy 1 求的度数 CQP 2 当取何值时 点落在矩形的边上 xRABCDAB 3 求与之间的函数关系式 yx 当取何值时 重叠部分的面积等于矩形面积的 x 7 27 D Q C B P R AB A DC 备用图 1 B A DC 备用图 2 初中数学参考资料 第 29 页 共 68 页 解析过程及每步分值 解 1 如图 四边形是矩形 ABCDABCDADBC 又 9AB 3 3AD 90C 9CD 3 3BC 3 tan 3 BC CDB CD 30CDB PQBD 30CQPCDB 2 如图 1 由轴对称的性质可知 RPQCPQ RPQCPQ RPCP 由 1 知 30CQP 60RPQCPQ 60RPB 2RPBP CPx PRx 3 3PBx 在中 根据题意得 RPB 2 3 3 xx 解这个方程得 2 3x 3 当点在矩形的内部或边上时 RABCDAB 02 3x 2 113 3 222 CPQ SCP CQxxx A 当时 RPQCPQ 02 3x 2 3 2 yx 当在矩形的外部时 如图 2 RABCD2 33 3x 在中 RtPFB 60RPB 22 3 3 PFBPx 又 RPCPx 36 3RFRPPFx 在中 RtERF 30EFRPFB 36ERx D Q C B P R A 图 1 D Q C B P R A 图 2 FE 初中数学参考资料 第 30 页 共 68 页 2 13 3 1818 3 22 ERF SERFRxx RPQERF ySS 当时 2 33 3x 2 31818 3yxx 综上所述 与之间的函数解析式是 yx 2 2 3 02 3 2 31818 3 2 33 3 xx y xxx 矩形面积 当时 函数随自变量的增大9 3 327 3 02 3x 2 3 2 yx 而增大 所以的最大值是 而矩形面积的的值 y6 3 7 27 7 27 37 3 27 而 所以 当时 的值不可能是矩形面积的 7 36 3 02 3x y 7 27 当时 根据题意 得 2 33 3x 解这个方程 得 因为 2 31818 37 3xx 3 32x 3 323 3 所以不合题意 舍去 3 32x 所以 3 32x 综上所述 当时 与矩形重叠部分的面积等于矩形面积的3 32x PQR ABCD 7 27 初中数学参考资料 第 31 页 共 68 页 第四章第四章 兴趣练习兴趣练习 4 1 代数部分代数部分 1 已知 抛物线与 x 轴交于 A B 两点 与 y 轴交于点 C 其中点 A 在 2 yaxbxc x 轴的负半轴上 点 C 在 y 轴的负半轴上 线段 OA OC 的长 OA OC 是方程 的两个根 且抛物线的对称轴是直线 2 540 xx 1x 1 求 A B C 三点的坐标 2 求此抛物线的解析式 3 若点 D 是线段 AB 上的一个动点 与点 A B 不重合 过点 D 作 DE BC 交 AC 于点 E 连结 CD 设 BD 的长为 m CDE 的面积为 S 求 S 与 m 的函数关系 式 并写出自变量 m 的取值范围 S 是否存在最大值 若存在 求出最大值并求 此时 D 点坐标 若不存在 请说明理由 2 已知 如图 1 过点作平行于轴的直线 抛物线上的两点 01E xl 2 1 4 yx 的横坐标分别为1 和 4 直线交轴于点 过点分别作直线 的垂线 AB AByFAB l 垂足分别为点 连接 CDCFDF 1 求点的坐标 ABF 2 求证 CFDF 3 点是抛物线对称轴右侧图象上的一动点 过点作交P 2 1 4 yx PPQPO 轴于点 是否存在点使得与相似 若存在 请求出所有符xQPOPQ CDF 合条件的点的坐标 若不存在 请说明理由 P y x BD O A E C ED C AF B xO y l ED C O F x y 图 1 备用图 初中数学参考资料 第 32 页 共 68 页 3 已知矩形纸片的长为 4 宽为 3 以长所在的直线为轴 为坐标原点建OABCOAxO 立平面直角坐标系 点是边上的动点 与点不重合 现将沿翻POAOA POC PC 折 得到 再在边上选取适当的点将沿翻折 得到 使得PEC ABD PAD PDPFD 直线重合 PEPF 1 若点落在边上 如图 求点的坐标 并求过此三点的抛物线的函EBCPCD 数关系式 2 若点落在矩形纸片的内部 如图 设当为何值时 EOABCOPxADy x 取得最大值 y 3 在 1 的情况下 过点三点的抛物线上是否存在点使是以PCD Q PDQ 为直角边的直角三角形 若不存在 说明理由 若存在 求出点的坐标 PDQ 4 如图 已知抛物线交轴于 A B 两点 交轴于点 C 抛物线的对 2 43yxx xy 称轴交轴于点 E 点 B 的坐标为 0 x1 1 求抛物线的对称轴及点 A 的坐标 2 在平面直角坐标系中是否存在点 P 与 A B C 三点构成一个平行四边形 xoy 若存在 请写出点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 3 连结 CA 与抛物线的对称轴交于点 D 在抛物线上是否存在点 M 使得直线 CM 把四边形 DEOC 分成面积相等的两部分 若存在 请求出直线 CM 的解析式 若不存在 请说明理由 C y E B F D APxO 图 A B D F E C OP x y 图 O D B C Ax y E 初中数学参考资料 第 33 页 共 68 页 初中数学参考资料 第 34 页 共 68 页 5 如图 已知抛物线3 2 bxaxy a 0 与x轴交于点 A 1 0 和点 B 3 0 与 y 轴交于点 C 1 求抛物线的解析式 2 设抛物线的对称轴与x轴交于点 M 问在对称轴上是否存在点 P 使 CMP 为等腰 三角形 若存在 请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 3 如图 若点 E 为第二象限抛物线上一动点 连接 BE CE 求四边形 BOCE 面积的 最大值 并求此时 E 点的坐标 二 动态几何 6 如图 在梯形中 厘米 厘米 ABCD906DCABAAD 4DC 的坡度动点从出发以 2 厘米 秒的速度沿方向向点运动 动点BC3 4i PAABB 从点出发以 3 厘米 秒的速度沿方向向点运动 两个动点同时出发 QBBCD D 当其中一个动点到达终点时 另一个动点也随之停止 设动点运动的时间为 秒 t 1 求边的长 BC 2 当 为何值时 与相互平分 tPCBQ 3 连结设的面积为探求与 的函数关系式 求 为何值时 有最大PQ PBQ y ytty 值 最大值是多少 y C AM O B x 图 y C A O B x 图 C c D c A c B c Q c P c 初中数学参考资料 第 35 页 共 68 页 7 已知 直线 1 1 2 yx 与y轴交于 A 与x轴交于 D 抛物线 2 1 2 yxbxc 与直线 交于 A E 两点 与x轴交于 B C 两点 且 B 点坐标为 1 0 1 求抛物线的解析式 2 动点 P 在轴上移动 当 PAE 是直角三角形时 求点 P 的坐标 x 3 在抛物线的对称轴上找一点 M 使 AMMC 的值最大 求出点 M 的坐标 8 已知 抛物线的对称轴为与轴交于两点 与 2 0yaxbxc a 1x xAB 轴交于点其中 yC 3 0A 02C 1 求这条抛物线的函数表达式 2 已知在对称轴上存在一点 P 使得的周长最小 请求出点 P 的坐标 PBC 3 若点是线段上的一个动点 不与点 O 点 C 重合 过点 D 作交DOCDEPC 轴于点连接 设的长为 的面积为 求与之间的函xE PDPECDmPDE SSm 数关系式 试说明是否存在最大值 若存在 请求出最大值 若不存在 请说明理由 S 9 如图 1 已知抛物线经过坐标原点和轴上另一点 顶点的坐标为 矩形OxE