2010上海地区高中数学论文：抛物线焦点弦与“五朵金花”人教大纲版

用心 爱心 专心 论文 抛物线焦点弦与论文 抛物线焦点弦与 五朵金花五朵金花 上海教材 上海教材 抛物线的焦点弦的性质层出不穷 变幻莫测 令人心生向往 如果把焦点弦比抛物线的焦点弦的性质层出不穷 变幻莫测 令人心生向往 如果把焦点弦比 作一棵参天大树 那么它的性质就像是树上开出的作一棵参天大树 那么它的性质就像是树上开出的 五朵金花五朵金花 第一朵第一朵金花 金花 平分金花金花 性质定理性质定理 1 1 过抛物线的焦点 F 的一条弦 AB 记准线与 x 轴交点为 2 2 0 ypx p E AE B E E 分别交分别交 y y 轴于轴于 P QP Q 两点 则 两点 则 AEBE PEQ KK0EF 线段平分角 A B F Q E P y 2 2 2 2 2 1 2 1 y p y By p y A证明 设 222 11 2 22 AE ypy k ypyp p 则 2 22 2 2 BE py k yp 同理 2 1212 2222 12 2 AEBE p yyy yp kk ypyp AEFBEF 即 0 ABBK kk 用心 爱心 专心 第二朵第二朵金花 定值金花 金花 定值金花 性质定理性质定理 2 2 端点坐标积恒定 端点坐标积恒定 即即 1 1 4 2 21 p xx 2 3 4 4 OBOA 2 4 3 p pFBFA 211 证明 证明 1 1 pxy p xky 2 2 2 和0 2 22 py k p y0 4 2 22 222 pk xppkxk 和 同理易证 同理易证 2 2 3 3 4 4 2 21 pyy 2 12 4 p x x 第三朵第三朵金花 共线金花 金花 共线金花 性质定理性质定理 3 3 1 1 O O B B1 1 三点共线三点共线 2 2 B B O O A A1 1 三点共线三点共线 A 3 3 设直线 设直线 AOAO 与抛物线的准线的交点为与抛物线的准线的交点为 B B1 1 则 则 BBBB1 1平行于平行于 X X 轴轴 4 4 设直线 设直线 BOBO 与抛物线的准线的交点为与抛物线的准线的交点为 A A1 1 则 则 AAAA1 1平行于平行于 X X 轴轴 用心 爱心 专心 证 因为 而 p y p y k y p p y y x y k oBoA 22 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 21 pyy 所以所以三点共线 同理可证 2 3 4 1 2 2 2 22 oBoA k p y y p p k 第四朵第四朵金花 四个圆金花金花 四个圆金花 性质定理性质定理 4 4 1 1 以以 ABAB 为直径的圆与抛物线的准线相切为直径的圆与抛物线的准线相切 2 2 以以 A A1 1B B1 1为直径的圆与抛物线的弦为直径的圆与抛物线的弦 ABAB 相切相切 3 3 以以 AFAF 为直径的圆与为直径的圆与 y y 轴相切轴相切 4 4 以以 BFBF 为直径的圆与为直径的圆与 y y 轴相切轴相切 证 1 设 M 为 AB 的中点 过 A 点作准线的垂线 AA1 过 B 点作 准线的垂线 BB1 过 M 点作准线的垂线 MM1 由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 故结论得证 222 11 1 ABBFAFBBAA MM 同理可证 2 3 4 用心 爱心 专心 第五朵面积金花 面积金花第五朵面积金花 面积金花 性质定理性质定理 5 5 结论 结论 1 1 结论结论 2 2 sin2 2 p S OAB 8 32 为定值 p AB SoAB 证明 结论 1 易证 下面证结论 2 8 sin2 sin sin 2 22 1 sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 32 2 2 0 P AB S ppp ABOFBFAFOF AFOFBFOFSSS OAB AFOBFOAB 以上性质可以简单记作电影名 五朵金花五朵金花 帮助大家记忆