《画轴对称图形》

1 13 2 画轴对称图形画轴对称图形 第一课时第一课时 一 教学目标 一 学习目标 1 通过实际操作 了解什么叫做轴对称变换 2 掌握作一个图形关于一条直线的轴对称图形的方法 3 经历实际操作 发展学生的空间思维 并体会轴对称变换在实际生活中的应用 二 学习重点 如何做已知图形关于一条直线的轴对称图形 三 学习难点 利用轴对称变换作图并理解轴对称变换的实际作用 二 教学设计 一 课前设计 1 预习任务 一个图形与另一个图形沿着某条直线折叠后能完全重合 那么就说这两个图形关于这条直线 成轴对称 折痕所在的直线就是它们的 对称轴 并且连接任意一对对称点的线段被对称 轴 垂直平分 已知图形和对称轴作对称图形 先作已知图形中每个 特殊点 关于对称轴 的对称点 再 连接 对称点得其对称图形 2 预习自测 1 如图 图中的两个脚印沿着直线 l 对折后能够完全重合 那么这两个脚印关于直线 l 直线 l 叫做它们的 点 P 和点 是一对 线段 P 被直线 l 知识点 轴对称的图形的相关性质 解题过程 成轴对称的两个图形形状 大小完全相同 新图形上的每一点都是原图形上的 某一点关于直线 l 的对称点 连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分 思路点拨 利用轴对称图形的相关性质进行分析 答案 成轴对称 对称轴 对称点 垂直平分 2 2 如图 ABC 与 关于直线 l 对称那么 AO 直线 l AO 知识点 轴对称图形的对应点之间的线段被对称轴垂直平分 解题过程 ABC 与 关于直线 l 对称 那么 A被直线 l 垂直平分 所以 AO 思路点拨 轴对称的两个图形的所有对应点之间的线段被对称轴垂直平分 答案 3 把以下图形补成关于直线 l 对称的图形 l B A C 知识点 轴对称图形的画法 解题过程 分别作出 ABC 三个顶点的对称点 并顺次连接这些对称点 思路点拨 作点的对称点的方法是 作垂直 顺延长 取相等 答案 l B A C E D F 4 要在燃气管道 l 上修建一个泵站 分别向 A B 两镇供气 泵站修建在管道的什么位置 可以使输气管线最短 l A B 知识点 利用轴对称解决最短路径问题 解题过程 作点 A 的对称点 C 并连接 BC 与直线 l 交于点 P 即为所求 3 思路点拨 两条线段之和为 最短 问题 一般采用对称法进行转化 答案 l P A B C 二 课堂设计 1 知识回顾 1 轴对称 一个图形沿着某条直线对折能和另外一个图形重合 2 轴对称的两个图形的每一对对应点之间的线段被对称轴垂直平分 3 线段的垂直平分线的性质 垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 2 问题探究 探究一 感知轴对称变换 活动 动手操作 整合旧知 师 在一张半透明的纸的左边画上一个三角形 把这张纸对折后描图 打开这张纸 就能得 到相应的另外一个三角形 请问 1 这两个三角形有什么关系 2 这条折痕和这两个三角形有什么关系 3 图 中的点 A 和点 D 之间的连线和折痕有什么关系 l O C AD E F B 教师总结 ABC 与 DEF 关于直线 l 对称 直线 l 叫做对称轴 并且线段 AD BE CF 被直线 l 垂直平分 设计意图 动手操作 感知轴对称变换 活动 探究并归纳轴对称的性质 师问 画出的轴对称图形的大小 形状与原图形有怎样的关系 画出的轴对称图形的点与原 图形上的点有什么关系 对应点所连线段与对称轴有什么关系 学生回答 由一个平面图形可以得到与它关于一条直线 l 对称的图形 这个图形与原图形的 形状 大小完全相同 新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线 l 的对称点 连 接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分 4 师问 如果有一个图形和一条直线 如何作出这个图形关于这条直线对称的图形呢 教师总结 对于某些图形 只要画出图形中的一些特殊点 如线段端点 的对称点 连接这 些对称点 就可以得到原图形的轴对称图形 设计意图 归纳轴对称图形的性质 提炼画轴对称图形方法 探究二 画轴对称图形的方法 活动 大胆猜想 探究新知识 师问 已知一个点和一条直线 如何画出这个点关于这条直线的对称点 l M 学生回答 由于对称点的连线被对称轴垂直平分 所以先过点M作直线l的垂线 垂足为O 在垂线上截取ON OM N就是点M关于直线l的对称点 l O M N 教师总结新知 作点的对称点的方法 过原点作对称轴的垂线 并延长 在延长线上截取一段与原点和垂足 之间的距离相等的线段 截取线段的非垂足端点即为对称点 简要总结为 作垂线 顺延长 取相等 师问 我们如何验证M N是一对对称点 学生回答 沿着直线l折叠 观察点M N能否重合 设计意图 掌握对称点的作法 为作对称图形做准备 活动 集思广益 探究新知 师问 已知 ABC 和直线 l 画出与 ABC 关于直线 l 对称的图形 l B A C 学生回答 ABC 可以由三个顶点的位置确定 只要能分别画出这三个顶点的对称点 再连 接这些对称点 就可以得到要画得对称图形 5 l O B A C D E F 教师总结方法 画法 1 过点 A 画直线 l 的垂线 垂足为 O 在垂线上截取 OE OA 点 E 就是点 A 关于直线 l 的对称点 2 同理 分别画出点 B C 关于直线 l 的对称点 D F 3 连接 DE EF FD 则 DEF 即为所求 设计意图 掌握作对称图形的一般方法 活动 反思过程 总结方法 思考 几何图形的对称图形的做法 学生回答 找关键点的对称点 然后进行连接 得到新图形 教师归纳 几何图形都可以看作由点组成 对于某些图形 只要画出图形中的一些特殊点的 对称点 连接这些对称点 就可以得到原图形的轴对称图形 设计意图 通过师生合作 进一步归纳新知 活动 发散思维 重新认识 师问 已知一个几何图形在对称轴两侧 如何作出它的轴对称图形呢 学生回答 找关键点 作出关键点的对称点 连接这些对称点即可 教师展示图形 作出 ABC关于直线AD的轴对称图形 B A D C 学生尝试独立解决 教师展示结果 B A D C F E 探究三 熟练掌握轴对称图形的画法 并会运用轴对称图形的相关性质解决实际问题 6 活动 作轴对称图形 部分点在对称轴上 例 1 把以下图形补成关于直线 l 对称的图形 l E F G 知识点 轴对称图形的画法 解题过程 过点 E 作直线 l 的垂线 垂足为 O 并截取 OH OE 点 H 即为点 E 的对称点 同理作出点 F 的对称点 I 连接 HG GI HI HGI 即为所求 思路点拨 找准必要的关键点 已知一点在对称轴上 只需分别画出另外两点的对称点即 可 对称点的做法 作垂直 顺延长 取相等 答案 l E F G H I 练习 已知 BC AC 把以下图像补成关于直线 l 对称的图形 l A C B 知识点 轴对称图形的画法 解题过程 根据题意 只需延长 BC 并在延长线上截取 CD CB 连接 AD DC ACD 即为所求 思路点拨 作点的对称点的方法 作垂直 顺延长 取相等 答案 l A C BD 设计意图 尝试练习 掌握轴对称图形的画法 O 7 活动 2 作轴对称图形 图形与对称轴无交点 例 2 画出 ABC 关于直线 l 的对称图形 A C l B 知识点 轴对称图形的画法 解题过程 在 ABC 中 取点 A C 分别作出点 A B C 的对称点 D E F 连接点 EF ED 由于角的两边是射线 所以只需将 EF ED 延长即可 所得的 DEF 即为所求 思路点拨 要确定一个角的位置 只需确定它的顶点与两条边 所以在两条边上分别取一 点 然后把它们以及顶点的对称点作出来 再连接这些对称点 最后把角的两边延长 答案 F B E A C D 练习 如图 作出菱形 ABCD 关于直线 l 的对称图形 l D A B C 知识点 轴对称图形的画法 解题过程 分别作出点 A B C D 关于直线 l 的对称点 E F G I 连接 EF FG GI IE 菱形 EFGI 即为所求 思路点拨 作出菱形四个顶点的对称点 并顺次连接起来 答案 l D A B C I E F G 设计意图 让学生熟练轴对称图形的画法 8 活动 3 利用轴对称解决 最短 问题 例 3 如图 请在直线 l 上找一点 P 使得点 P 分别到点 A 到点 B 的距离之和最短 l A B 知识点 对称点之间的连线被对称轴垂直平分 垂直平分线上的点到线段两端点的距离相 等 两点之间线段最短 解题过程 作点 A 关于直线 l 的对称点 C 连接 BC 与直线 l 交于点 P 则点 P 即为所 求 思路点拨 假定已找到的点 P 使得 PA PB 为最短 根据两点之间线段最短 可想办法 将 PA 与 PB 转化到一条直线上 故作点 A 的对称点 C PA 就转化为 PC 只需连接 BC BC 与直线 l 的交点即为点 P 答案 l P A B C 练习 如图所示 要在河边建立一个水站向 A B 两个村庄供水 请问水站建在河边的哪个 地方更经济实惠 l A B 知识点 对称点之间的连线被对称轴垂直平分 垂直平分线上的点到线段两端点的距离 相等 两点之间线段最短 解题过程 根据题意要经济实惠 那么需要 PA PB 最短 转化为最短路径问题 作点 A 关 于直线 l 的对称点 C 连接 BC 与直线 l 交于点 P 则点 P 即为所求 两条线段之和为 最短 问题一般采用对称法 思路点拨 两条线段不在一条直线上 利用轴对称将其转化到一条直线上 再根据两点之 间线段最短求得点 P 9 答案 l P A B C 设计意图 根据轴对称图形画法的学习 让学生掌握解决最短路径问题的方法 3 课堂总结 知识梳理 1 已知图形和对称轴作轴对称图形 作已知图形中的每个关键点关于对称轴的对称点 再连接对称点得到对称图形 2 两条线段之和为 最短 问题 一般采用对称法 重难点归纳 1 会作轴对称图形 2 利用对称法解决最短路径问题 三 课后作业 基础型 自主突破 1 把以下图形补成关于直线 l 对称的图形 知识点 轴对称图形的画法 解题过程 找到原图形的关键点 并作出他们关于直线 l 的对称点 并连接这些对称点 思路点拨 画对称点的方法 作垂直 顺延长 取相等 答案 10 2 把以下图形补成关于直线 l 对称的图形 l C D B A 知识点 轴对称图形的画法 解题过程 只需作出点 B 关于直线 l 的对称点 E 分别连接 AE CE 即为所求 思路点拨 找准某些关键点即可 答案 l D C B A E 3 把以下图形补成关于直线 l 对称的图形 l A B O 知识点 轴对称图形的画法 解题过程 分别作出点 A 点 B 的对称点 再顺次连接 CO OD DC 即为所求 思路点拨 点 O 在对称轴上 只需作出 A B 两点的对称点 答案 l A B O C D 11 4 把以下图形补成关于直线 l 对称的图形 l 知识点 轴对称图形的画法 解题过程 把不在对称轴上的关键点关于直线 l 的对称点作出来 再进行顺次连接 思路点拨 找准图形的关键点 再作对称点 答案 l 5 小莹和小博士下棋 小莹执白子 小博士执黑子 如图 棋盘中心黑子的位置用 1 0 表示 右下角黑子的位置用 0 1 表示 小莹将第 4 枚白子放入棋盘后 所有棋子构成 一个轴对称图形 他放的位置是 A 2 1 B 1 1 C 1 2 D 1 2 知识点 坐标与图形变化 对称 坐标确定位置 解题过程 棋盘中心黑子的位置用 1 0 表示 则这点所在的横线是 x 轴 右下角黑 子的位置用 0 1 则这点所在的纵线是 y 轴 则当放的位置是 1 1 时构成轴对称 图形 故选 B 思路点拨 本题考查了轴对称图形和坐标位置的确定 答案 B 12 6 如图 ABC 关于直线 l 的对称图形是 DEF 下列判断错误的是 l B A C E D F A AB DE B BC EF C 直线 l BE D ABC DEF 知识点 轴对称图形的相关性质 解题过程 成轴对称的图形是全等形 故 AB DE ABC DEF 对称点之间的线段被 对称轴垂直平分即直线 l BE 而 BC EF 没有依据 故 B 选项错误 思路点拨 结合轴对称图形的相关性质逐一检验 从而找到合理答案 答案 B 能力型 师生共研 7 已知 ABC 和直线 m n 先作 关于直线 m 的对称图形 DEF 再作 DEF 关于直线 n 的对称图形 GHI mn A B C 知识点 轴对称图形的画法 解题过程 依次作出 ABC 关于直线 m 的对称图形 然后再作出关于直线 n 的对称图形 思路点拨 确定三角形位置的要素是顶点 故作顶点的对称点是关键 答案 mn A B C D E F G H I 13 8 已知 ABC 和直线 m n 先作 关于直线 m 的对称图形 DEF 再作 DEF 关于直线 n 的对称图形 GHI mn A B C 知识点 轴对称图形的画法 解题过程 依次作出 ABC 关于直线 m 的对称图形 然后再作出关于直线 n 的对称图形 思路点拨 确定三角形位置的要素是顶点 故作顶点的对称点是关键 答案 m D n A B C E F G H I 设计意图 熟练轴对称图形的画法 探究型 多维突破 9 直线 l 左侧有两点 P Q 试在直线上确定一点 O 使得 OP OQ 最短 l P Q 知识点 轴对称变换的运用 解题过程 作点 P 关于直线 l 的对称点 A 连接 AQ 交直线 l 与点 O 即为所求 思路点拨 利用轴对称解决最短路径问题 答案 l O P Q A 14 10 如图 ABC 与 DEF 关于某条直线对称 请画出对称轴 A B C D F E 知识点 任意一对对应点之间的连线被对称轴垂直平分 解题过程 连接 AD 作线段 AD 的垂直平分线 思路点拨 根据对称图形确定对称轴的位置 注意垂直平分线的画法 答案 l O A B C D F E 设计意图 让学生掌握轴对称的运用 加深对知识的巩固 自助餐 1 观察下图中各组图形 其中不是轴对称的是 A B C D 知识点 轴对称图形的判断 解题过程 由图形可以看出 C 选项中的伞把不对称 故选 C 思路点拨 熟练运用轴对称图形的概念 答案 C 2 把以下图形补成关于直线