山西省2013届高考数学一轮复习单元测试 空间向量与立体几何

用心 爱心 专心1 山西省山西省 20132013 届高考数学一轮单元复习测试 空间向量与立体几何届高考数学一轮单元复习测试 空间向量与立体几何 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 满分 150 分 考试时间 120 分钟 第 卷 选择题 共 60 分 一 选择题一 选择题 本大题共 12 个小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 1 平面 的一个法向量n n 1 1 0 则y轴与平面 所成的角的大小为 A B 6 4 C D 3 3 4 答案 B 2 已知长方体ABCD A1B1C1D1中 AB BC 1 AA1 2 E是侧棱BB1的中点 则直线AE 与平面A1ED1所成角的大小为 A 60 B 90 C 45 D 以上都不正确 答案 B 3 在三棱柱 111 ABCABC 中 设 M N 分别为 1 BB AC的中点 则MN 等于 A 1 1 2 ACABBB B 11111 1 2 B ABCC C C 1 1 2 ACCBBB D 1 1 2 BBBABC 答案 B 4 空间任意四个点 A B C D 则BACBCD 等于 A DB B AD C DA D AC 答案 C 5 对于空间任意一点O和不共线的三点A B C 有 x y z x y z R R 则 x 2 y 3 z 2 是P A B C四点共面的 A 必要不充分条件 B 充分不必要条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件 答案 B 6 在空间四边形 ABCD 中 若ABa BDb ACc 则CD 等于 A abc B cba C abc D bca 答案 D 7 点M在z轴上 它与经过坐标原点且方向向量为s s 1 1 1 的直线l的距离为 6 则点M的坐标是 A 0 0 2 B 0 0 3 C 0 0 D 0 0 1 3 用心 爱心 专心2 答案 B 8 四棱柱 1111 ABCDABC D 中 AC 与 BD 的交点为点 M 设 11111 ABa ADb AAc 则下列与 1 B M 相等的向量是 A 11 22 abc B 11 22 abc C 11 22 abc D 11 22 abc 答案 9 平面 的法向量分别是n n1 1 1 1 n n2 1 0 1 则平面 所成角 的余弦值是 A B 3 3 3 3 C D 6 3 6 3 答案 C 10 以下命题中 不正确的命题个数为 已知A B C D是空间任意四点 则A B C D 0 若 a b c 为空间一个基底 则 a b b c c a 构成空间的另一个基底 对空间任意一点O和不共线三点A B C 若O x y z 其中x y z R 则 P A B C四点共面 A 0B 1 C 2D 3 答案 B 11 在棱长为 1 的正方体ABCD A1B1C1D1中 P为正方体内一动点 包括表面 若 x y z 且 0 x y z 1 则点P所有可能的位置所构成的几何体的体积是 A 1B C D 1 2 1 3 1 6 答案 D 12 如图所示 已知在直三棱柱ABO A1B1O1中 AOB AO 2 BO 6 D为A1B1的 2 中点 且异面直线OD与A1B垂直 则三棱柱ABO A1B1O1的高是 A 3B 4 C 5D 6 答案 B 用心 爱心 专心3 第 卷 非选择题 共 90 分 二 填空题二 填空题 本大题共 4 个小题 每小题 5 分 共 20 分 把正确答案填在题中横线上 13 空间四边形OABC中 G是 ABC的重心 试用 表示 则 答案 1 3 1 3 1 3 14 若两点的坐标是 A 3cos 3sin 1 B 2cos 2sin 1 则 AB 的取值范围是 答案 1 5 15 两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1 1 0 1 v2 2 0 2 则l1与 l2的位置关系是 答案 平行 16 已知正三棱柱ABC A1B1C1的侧棱长与底面边长相等 则AB1与侧面ACC1A1所成角的正 弦等于 答案 6 4 用心 爱心 专心4 三 解答题三 解答题 本大题共 6 个小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 如图 在四棱锥P ABCD中 PA 平面ABCD 底面ABCD是菱形 AB 2 BAD 60 1 求证 BD 平面PAC 2 若PA AB 求PB与AC所成角的余弦值 3 当平面PBC与平面PDC垂直时 求PA的长 答案 1 因为四边形ABCD是菱形 所以AC BD 又因为PA 平面ABCD 所以PA BD 因为PA AC A 所以BD 平面PAC 2 设AC BD O 因为 BAD 60 PA AB 2 所以BO 1 AO CO 3 如图 以O为坐标原点 建立空间直角坐标系O xyz 则P 0 2 3 A 0 0 B 1 0 0 3 C 0 0 3 所以 1 2 3 0 2 0 3 设PB与AC所成角为 则 cos 6 2 2 2 3 6 4 3 由 2 知 1 0 3 设P 0 t t 0 则 1 t 33 设平面PBC的法向量m x y z 则 m 0 m 0 所以Error 令y 则x 3 z 所以m 3 3 6 t3 6 t 同理 平面PDC的法向量n 3 3 6 t 因为平面PBC 平面PDC 所以m n 0 即 6 0 解得t 36 t26 所以PA 6 18 已知 E F 分别是棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1的棱 BC 和 CD 的中点 求 用心 爱心 专心5 1 A1D 与 EF 所成角的大小 2 A1F 与平面 B1EB 所成角的余弦值 3 二面角 C D1B1 B 的余弦值 答案 建立如图所示空间直角坐标系 Dxyz 1 1 A D 1 0 1 11 EF 0 22 1 1 1 1 A D EF1 2 cos 2 A D EF 2 2 2 A 1 60 因此 A1D 与 EF 所成角的大小为 60 2 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 AB 平面 B1C1CB AB 是平面 B1EB 的一个法向量 AB 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 A F 0 1 2 0 1 0 1 1 1 2 1 11 31 AB 1 A F A F AB 22 A 由 1 1 cos 3 可得 A1F 与平面 B1EB 所成角的余弦值为 2 2 3 3 连结 AC1 AC AC1 平面 B1D1C 1 AC 是平面 B1D1C 的一个法向量 AC 平面 B1D1B AC 是平面 B1D1B 的一个法向量 用心 爱心 专心6 1 AC 1 1 1 AC 1 1 0 1 AC 3 1 AC 2 AC AC2 A 1 6 cos 3 故所求二面角的余弦值为 6 3 19 正方形 ABCD ABEF 的边长都是 1 而且平面 ABCD 与平面 ABEF 互相垂直 点 M 在 AC 上 移动 点 N 在 BF 上移动 若 CM BN a 0 a 2 当 a 为何值时 MN 的长度最短 答案 平面 ABCD 平面 ABEF 平面 ABCD 平面 ABEF AB AB BE BE 平面 ABCD AB BC BE 两两垂直 以 B 点为原点 射线 BA BE BC 分别为 x 轴 y 轴和 z 轴的正半轴 建立如图所示的空间 直角坐标系 则 M 2 a 2 0 1 2 a 2 N 2 a 2 2 a 2 0 222 2222 MN aa 0a 1a0 2222 22 21 a2a1 a 22 当 a 2 2 时 MN 最短为 2 2 此时 M N 恰好分别为 AC BF 的中点 20 已知长方体ABCD A1B1C1D1中 AB 2 BC 4 AA1 4 点M是棱D1C1的中点 求直 线AB1与平面DA1M所成角的正弦值 答案 建立如图所示的空间直角坐标系 用心 爱心 专心7 可得有关点的坐标为D 0 0 0 A 4 0 0 B 4 2 0 C 0 2 0 A1 4 0 4 B1 4 2 4 C1 0 2 4 D1 0 0 4 于是 M 0 1 4 0 1 4 4 0 4 0 2 4 设平面DA1M的法向量为n x y z 则 即Error 取z 1 得x 1 y 4 所以平面DA1M的一个法向量为n 1 4 1 设直线AB1与平面DA1M所成角为 则 sin 10 15 所以直线AB1与平面DA1M所成角的正弦值为 10 15 21 如图所示 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD是边长为 2 的正方形 平面PBC 底面 ABCD 且PB PC 5 1 求证 AB CP 2 求点B到平面PAD的距离 3 设面PAD与面PBC的交线为l 求二面角A l B的大小 答案 1 证明 以BC的中点O为坐标原点 建立如图所示的空间直角坐标系 则B 1 0 0 A 1 2 0 C 1 0 0 P 0 0 2 D 1 2 0 0 2 0 1 0 2 则有 0 即AB CP 2 解 设平面PAD的法向量为n x y z 则由得Error 令x 0 则y 1 z 1 得n 0 1 1 又 1 0 2 点B到平面PAD的距离d 0 0 2 22 3 解 由 2 知平面PAD的法向量n 0 1 1 而平面PBC 平面ABCD 平面PBC的法向量m 0 1 0 用心 爱心 专心8 二面角A l B的余弦值为 m n m n 2 2 由图形知二面角A l B为锐二面角 二面角A l B的大小为 45 22 如图 已知四棱锥 P ABCD 底面 ABCD 是菱形 DAB 60 PD 平面 ABCD PD AD 点 E 为 AB 的中点 点 F 为 PD 的中点 1 证明 平面 PED 平面 PAB 2 求二面角 P AB F 的平面角的余弦值 答案 1 连结 BD ABCD 是菱形 DAB 60 ABD 是等边三角形 又 E 是 AB 的中点 则 EDB 30 BDC 60 EDC 90 如图 建立空间直角坐标系 Dxyz 设 PD AB 1 则 PF FD 1 2 ED 3 2 用心 爱心 专心9 P 0 0 1 E 3 2 0 0 B 3 2 1 2 0 3 13 PB 1 PE 01 222 平面 PED 的一个法向量为DC 0 1 0 设平面 PAB 的法向量为 n x y 1 由 3 1 x y 1 1 0 PB 22 PE3 x y 1 0 1 0 2 A A n n 31 2 xy 10 x 22 3 3 y0 x10 2 n 2 3 0 1 DC n 0 即DC n 平面 PED 平面 PAB 2 由 1 知 平面 PAB 的法向量为 n 2 3 0 1 设平面