四川省德阳市2012高考数学难点21 直线方程及其应用

用心 爱心 专心 1 难点难点 2121 直线方程及其应用直线方程及其应用 直线是最简单的几何图形 是解析几何最基础的部分 本章的基本概念 基本公式 直线直线是最简单的几何图形 是解析几何最基础的部分 本章的基本概念 基本公式 直线 方程的各种形式以及两直线平行 垂直 重合的判定都是解析几何重要的基础内容方程的各种形式以及两直线平行 垂直 重合的判定都是解析几何重要的基础内容 应达到应达到 熟练掌握 灵活运用的程度 线性规划是直线方程一个方面的应用 属教材新增内容 高熟练掌握 灵活运用的程度 线性规划是直线方程一个方面的应用 属教材新增内容 高 考中单纯的直线方程问题不难 但将直线方程与其他知识综合的问题是学生比较棘手的考中单纯的直线方程问题不难 但将直线方程与其他知识综合的问题是学生比较棘手的 难点磁场难点磁场 已知已知 a a 1 b 1 b 1 c 1 c 1 1 求证 求证 abc 2abc 2 a b c a b c 案例探究案例探究 例 例 1 1 某校一年级为配合素质教育 利用一间教室作为学生绘画成果展览室 为节约经 某校一年级为配合素质教育 利用一间教室作为学生绘画成果展览室 为节约经 费 他们利用课桌作为展费 他们利用课桌作为展台 将装画的镜框放置桌上 斜靠展出 已知镜框对桌面的倾斜台 将装画的镜框放置桌上 斜靠展出 已知镜框对桌面的倾斜 角为角为 90 90 180 180 镜框中 画的上 下边缘与镜框下边缘分别相距镜框中 画的上 下边缘与镜框下边缘分别相距 a a m bm b m am a b b 问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳 问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳 命题意图 本题是一个非常实际的数学问题 它不仅考查了直线的有关概念以及对三角知命题意图 本题是一个非常实际的数学问题 它不仅考查了直线的有关概念以及对三角知 识的综合运用 而且更重要的是考查了把实际问题转化为数学问题的能力 属识的综合运用 而且更重要的是考查了把实际问题转化为数学问题的能力 属 级题目级题目 知识依托 三角函数的定义 两点连线的斜率公式 不等式法求最值知识依托 三角函数的定义 两点连线的斜率公式 不等式法求最值 错解分析 解决本题有几处至关重要 一是建立恰当的坐标系 使问题转错解分析 解决本题有几处至关重要 一是建立恰当的坐标系 使问题转化成解析几何问化成解析几何问 题求解 二是把问题进一步转化成求题求解 二是把问题进一步转化成求 tanACBtanACB 的最大值的最大值 如果坐标系选择不当 或选择求如果坐标系选择不当 或选择求 sinACBsinACB 的最大值的最大值 都将使问题变得复杂起来都将使问题变得复杂起来 技巧与方法 欲使看画的效果最佳 应使技巧与方法 欲使看画的效果最佳 应使 ACB ACB 取最大值 欲求角的最值 又需求角的一取最大值 欲求角的最值 又需求角的一 个三角函数值个三角函数值 解 建立如图所示的直角坐标系 解 建立如图所示的直角坐标系 AOAO 为镜框边 为镜框边 ABAB 为画的宽度 为画的宽度 O O 为下边缘上的一为下边缘上的一点 在点 在 x x 轴的正半轴上找一点轴的正半轴上找一点 C x 0 xC x 0 x 0 0 欲使欲使 看画的效果最佳 应使看画的效果最佳 应使 ACB ACB 取得最大值取得最大值 由三由三角函数的角函数的定义知 定义知 A A B B 两点坐标分别为两点坐标分别为 acos asin acos asin bcos bsin bcos bsin 于是直线于是直线 ACAC BCBC 的斜率分别为 的斜率分别为 kAC tanxCA kAC tanxCA xa a cos sin cos sin tan xb b xCBkBC 于是于是 tanACB tanACB ACBC ACBC kk kk 1 cos sin cos sin 2 bax x ab ba xxbaab xba 由于由于 ACB ACB 为锐角 且为锐角 且 x x 0 0 则则 tanACB tanACB cos 2 sin baab ba 当且仅当当且仅当 x ab x x 即 即 x x ab 时 等号成立 此时时 等号成立 此时 ACB ACB 取最大值 对应的点为取最大值 对应的点为 C C ab 0 0 因此 学生距离镜框下因此 学生距离镜框下 缘缘 ab cmcm 处时 视角最大 即看画效果最佳处时 视角最大 即看画效果最佳 例 例 2 2 预算用 预算用 20002000 元购买单件为元购买单件为 5050 元元的桌子和的桌子和 2020 元的椅子 希望使桌椅的总数尽可能元的椅子 希望使桌椅的总数尽可能 用心 爱心 专心 2 的多 但椅子不少于桌子数 且不多于桌子数的的多 但椅子不少于桌子数 且不多于桌子数的 1 51 5 倍 问桌 椅各买多少才行 倍 问桌 椅各买多少才行 命题意图 利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用 本题主命题意图 利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用 本题主 要考查找出约束条件与目标函数 准确地描画可行域 再利用图形直观求得满足题设的最要考查找出约束条件与目标函数 准确地描画可行域 再利用图形直观求得满足题设的最 优解 属优解 属 级题目级题目 知识依托 约束条件 目标函数 可行域 最优解知识依托 约束条件 目标函数 可行域 最优解 错解错解 分析 解题中应当注意到问题中的桌 椅张数应是自然数这个隐含条件 若从图形直分析 解题中应当注意到问题中的桌 椅张数应是自然数这个隐含条件 若从图形直 观上得出的最优解不满足题设时 应作出相应地调整 直至满足题设观上得出的最优解不满足题设时 应作出相应地调整 直至满足题设 技巧与方法 先设出桌 椅的变数后 目标函数即为这两个变数之和 再由此在可行域内技巧与方法 先设出桌 椅的变数后 目标函数即为这两个变数之和 再由此在可行域内 求出最优解求出最优解 解 设桌椅分别买解 设桌椅分别买 x yx y 张 把所给的条件表示成不等式组 即约束条件张 把所给的条件表示成不等式组 即约束条件 为为 0 0 5 1 20002050 yx xy xy yx 由由 7 200 7 200 20002050 y x xy yx 解得 A A 点的坐标为点的坐标为 7 200 7 200 由由 2 75 25 5 1 20002050 y x xy yx 解得 B B 点的坐标为点的坐标为 25 25 2 75 所以满足约束条件的可行域是以所以满足约束条件的可行域是以 A A 7 200 7 200 B 25B 25 2 75 O 0O 0 0 0 为顶点的三角形区域为顶点的三角形区域 如右图如右图 由图形直观可知 目标函数由图形直观可知 目标函数 z x yz x y 在可行域内的最优解为在可行域内的最优解为 25 25 2 75 但注意到但注意到 x N y N x N y N 故取故取 y 37 y 37 故有买桌子故有买桌子 2525 张 椅子张 椅子 3737 张是最好选择张是最好选择 例 例 3 3 抛物线有光学性质 由其焦点射出的光线经抛物线折射后 沿平行于 抛物线有光学性质 由其焦点射出的光线经抛物线折射后 沿平行于抛物线对称抛物线对称 轴的方向射出 今有抛物线轴的方向射出 今有抛物线 y2 2px py2 2px p 0 0 一光源在点一光源在点 M M 4 41 4 4 处 由其发出的光线沿平处 由其发出的光线沿平 行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点 P P 折射后又射向抛物线上的点 折射后又射向抛物线上的点 Q Q 再折射后 又 再折射后 又 沿平行于抛物线的轴的方向射出 途中遇到直线沿平行于抛物线的轴的方向射出 途中遇到直线 l l 2x2x 4y4y 17 017 0 上的点上的点 N N 再折射后又 再折射后又 射回点射回点 M M 如下图所示如下图所示 1 1 设设 P P Q Q 两点坐标分别为两点坐标分别为 x1 y1 x1 y1 x2 y2 x2 y2 证明 证明 y1 y2 y1 y2 p2p2 2 2 求抛物线的方程 求抛物线的方程 用心 爱心 专心 3 3 3 试判断在抛物线上是否存在一点 使该点与点试判断在抛物线上是否存在一点 使该点与点 M M 关于关于 PNPN 所在的直线对称 若存在 请所在的直线对称 若存在 请 求出此点的坐标 若不存在 请说明理由求出此点的坐标 若不存在 请说明理由 命题意图 对称问题是直线方程的又一个重要应用命题意图 对称问题是直线方程的又一个重要应用 本题是一道与物理中的光学知识相结合本题是一道与物理中的光学知识相结合 的综合性题目 考查了学生理解问的综合性题目 考查了学生理解问题 分析问题 解决问题的能力 属题 分析问题 解决问题的能力 属 级题级题 目目 知识依托 韦达定理 点关于直线对称 直线关于直线对称 直线的点斜式方程 两点式知识依托 韦达定理 点关于直线对称 直线关于直线对称 直线的点斜式方程 两点式 方程方程 错解分析 在错解分析 在证明第证明第 1 1 问题 注意讨论直线问题 注意讨论直线 PQPQ 的斜率不存在时的斜率不存在时 技巧与方法 点关于直线对称是解决第技巧与方法 点关于直线对称是解决第 2 2 第 第 3 3 问的关键问的关键 1 1 证明 由抛物线的光学性质及题意知证明 由抛物线的光学性质及题意知 光线光线 PQPQ 必过抛物线的焦点必过抛物线的焦点 F F 2 p 0 0 设直线设直线 PQPQ 的方程为的方程为 y k xy k x 2 p 由由 式得式得 x x k 1 y y 2 p 将其代入抛物线方程将其代入抛物线方程 y2 2pxy2 2px 中 整理 得中 整理 得 y2y2 k p2 y y p2 0 p2 0 由韦达由韦达 定理 定理 y1y2 y1y2 p2 p2 当直线当直线 PQPQ 的斜率角为的斜率角为 90 90 时 将时 将 x x 2 p 代入抛物线方程 得代入抛物线方程 得 y p y p 同样得到同样得到 y1 y2 y1 y2 p2 p2 2 2 解 因为光线解 因为光线 QNQN 经直线经直线 l l 反射后又射向反射后又射向 M M 点 所以直线点 所以直线 MNMN 与直线与直线 QNQN 关于直线关于直线 l l 对称 对称 设点设点 M M 4 41 4 4 关于关于 l l 的对称点为的对称点为 M x y M x y 则 则 017 2 4 4 2 4 41 2 1 2 1 4 41 4 y x x y 解得解得 1 4 51 y x 直线直线 QNQN 的方程为的方程为 y y 1 Q1 Q 点的纵坐标点的纵坐标 y2 y2 1 1 由题设由题设 P P 点的纵坐标点的纵坐标y1 4y1 4 且由 且由 1 1 知 知 y1 y2 y1 y2 p2 p2 则则 4 4 1 1 p2 p2 得得 p 2 p 2 故所求抛物线方程为故所求抛物线方程为 y2 4x y2 4x 3 3 解 将解 将 y 4y 4 代入代入 y2 4x y2 4x 得得 x 4x 4 故 故 P P 点坐点坐标为标为 4 4 4 4 将将 y y 1 1 代入直线代入直线 l l 的方程为的方程为 2x2x 4y4y 17 0 17 0 得得 x x 2 13 故故 N N 点坐标为点坐标为 2 13 1 1 由由 P P N N 两点坐标得直线两点坐标得直线 PNPN 的方程为的方程为 2x y2x y 12 0 12 0 设设 M M 点关于直线点关于直线 NPNP 的对称点的对称点 M1 x1 y1 M1 x1 y1 用心 爱心 专心 4 1 4 1 012 2 4 2 4 41 2 1 2 4 41 4 1 1 1 1 1 1 y x y x x y 解得则 又又 M1 M1 4 1 1 1 的坐标是抛物线方程的坐标是抛物线方程 y2 4xy2 4x 的解 故抛物线上存在一点的解 故抛物线上存在一点 4 1 1 1 与点与点 M M 关关 于直线于直线 PNPN 对称对称 锦囊妙计锦囊妙计 1 1 对直线方程中的基本概念 要重点掌握好直线方程的特征值对直线方程中的基本概念 要重点掌握好直线方程的特征值 主要指斜率 截距主要指斜率 截距 等问题 等问题 直线平行和垂直的条件 与距离有关的问题等直线平行和垂直的条件 与距离有关的问题等 2 2 对称问题是直线方程的一个重要应用 中学里面所涉及到的对称一般都可转化为点关于对称问题是直线方程的一个重要应用 中学里面所涉及到的对称一般都可转化为点关于 点或点关于直线的对称点或点关于直线的对称 中点坐标公式和两条直线垂直的条件是解决对称问题的重要工具中点坐标公式和两条直线垂直的条件是解决对称问题的重要工具 3 3 线性规划是直线方程的又一应用线性规划是直线方程的又一应用 线性规划中的可行域 实际上是二元一次不等式线性规划中的可行域 实际上是二元一次不等式 组组 表表 示的平面区域示的平面区域 求线性目标函数求线性目标函数 z ax byz ax by 的最大值或最小值时 设的最大值或最小值时 设 t ax by t ax by 则此直线往右则此直线往右 或左或左 平移时 平移时 t t 值随之增大值随之增大 或减小或减小 要会在可行域中确定最优解 要会在可行域中确定最优解 4 4 由于一次函数的图象是一条直线 因此有关函数 数列 不等式 复数等代数问题往往由于一次函数的图象是一条直线 因此有关函数 数列 不等式 复数等代数问题往往 借助直线方程进行 考查学生的综合能力及创新能力借助直线方程进行 考查学生的综合能力及创新能力 歼灭难点训练歼灭难点训练 一 选择题一 选择题 1 1 设设 M M 120 110 110 110 2002 2001 2001 2000 N 则 则 M M 与与 N N 的大小关系为的大小关系为 A MA M N N B M NB M N C MC M N N D D 无法判断无法判断 2 2 三边均为整数且最大边的长为三边均为整数且最大边的长为 1111 的三角形的个数为的三角形的个数为 A 15A 15B 30B 30C 36C 36D D 以上以上 都不对都不对 二 填空题二 填空题 3 3 直线直线 2x2x y y 4 04 0 上有一点上有一点 P P 它与两定点 它与两定点 A 4A 4 1 1 B 3B 3 4 4 的距离之差最的距离之差最 大 则大 则 P P 点坐标是点坐标是 4 4 自点自点 A A 3 3 3 3 发出的光线发出的光线 l l 射到射到 x x 轴上 被轴上 被 x x 轴反射 其反射光线所在直轴反射 其反射光线所在直 线与圆线与圆 x2 y2x2 y2 4x4x 4y 7 04y 7 0 相切 则光线相切 则光线 l l 所在直线方程为所在直线方程为 5 5 函数函数 f f 2cos 1sin 的最大值为的最大值为 最小值为 最小值为 6 6 设不等式设不等式 2x2x 1 1 m x2m x2 1 1 对一切满足对一切满足 m 2 m 2 的值均成立 则的值均成立 则 x x 的范围为的范围为 三 解答题三 解答题 7 7 已知过原点已知过原点 O O 的一条直线与函数的一条直线与函数y log8xy log8x 的图象交于的图象交于 A A B B 两点 分别过点两点 分别过点 A A B B 作作 y y 轴的平行线与函数轴的平行线与函数 y log2xy log2x 的图象交于的图象交于 C C D D 两点两点 1 1 证明 点证明 点 C C D D 和原点和原点 O O 在同一直线上在同一直线上 2 2 当当 BCBC 平行于平行于 x x 轴时 求点轴时 求点 A A 的坐标的坐标 8 8 设数列设数列 an an 的前的前 n n 项和项和 Sn na n nSn na n n 1 b1 b n 1 2 a n 1 2 a b b 是常数且是常数且 b 0 b 0 1 1 证明 证明 an an 是等差数列是等差数列 用心 爱心 专心 5 2 2 证明 以证明 以 an an n Sn 1 1 为坐标的点为坐标的点 Pn n 1 2 Pn n 1 2 都落在同一条直线上 并写出此直线的都落在同一条直线上 并写出此直线的 方程方程 3 3 设设 a 1 b a 1 b 2 1 C C 是以是以 r r r r 为圆心 为圆心 r r 为半径的圆为半径的圆 r r 0 0 求使得点 求使得点 P1P1 P2P2 P3P3 都落在都落在 圆圆 C C 外时 外时 r r 的取值范围的取值范围 参考答案参考答案 难点磁场难点磁场 证明 设线段的方程为证明 设线段的方程为 y f x bcy f x bc 1 1 x 2 x 2 b b c c 其中其中 b b 1 c 1 c 1 x 1 x 1 1 且且 1 1 b b 1 1 f f 1 11 1 bc 2bc 2 b b c 1c 1 bc 1bc 1 b 1b 1 c c 0 0 f 1 bcf 1 bc 1 21 2 b b c 1c 1 b b 1 1 c c 0 0 线段线段 y bcy bc 1 x 21 x 2 b b c c 1 1 x x 1 1 在在 x x 轴上方 这就是说 当轴上方 这就是说 当 a a 1 b 1 b 1 c 1 c 1 1 时 恒有时 恒有 abc 2abc 2 a b c a b c 歼灭难点训练歼灭难点训练 一 一 1 1 解析 将问题转化为比较解析 将问题转化为比较 A A 1 1 1 1 与 与 B 102001B 102001 102000102000 及 及 C 102002C 102002 102001102001 连线的斜率大小 因为 连线的斜率大小 因为 B B C C 两点的直线方程为两点的直线方程为 y y 10 1 x x 点 点 A A 在直线在直线 的下方 的下方 kAB kAB kAC kAC 即即 M M N N 答案 答案 A A 2 2 解析 设三角形的另外两边长为解析 设三角形的另外两边长为 x y x y 则则 11 110 110 yx y x 点点 x y x y 应在如右图所示区域内 应在如右图所示区域内 当当 x 1x 1 时 时 y 11y 11 当 当 x 2x 2 时 时 y 10 11y 10 11 当当 x 3x 3 时 时 y 9 10 11y 9 10 11 当 当 x 4x 4 时 时 y 8 9 10 11 y 8 9 10 11 当当 x 5x 5 时 时 y 7 8 9 10 11 y 7 8 9 10 11 以上共有以上共有 1515 个 个 x yx y 对调又有对调又有 1515 个 再加上个 再加上 6 6 6 6 7 7 7 7 8 8 8 8 9 9 9 9 10 10 1010 11 11 1111 六组 所以共有 六组 所以共有 3636 个个 答案 答案 C C 二 二 3 3 解析 找解析 找 A A 关于关于 l l 的对称点的对称点 A A A BA B 与直线与直线 l l 的交点的交点 即为所求的即为所求的 P P 点点 答案 答案 P 5P 5 6 6 4 4 解析 光线解析 光线 l l 所在的直线与圆所在的直线与圆 x2 y2x2 y2 4x4x 4y 7 04y 7 0 关于关于 x x 轴对称的圆相切轴对称的圆相切 答案 答案 3x 4y3x 4y 3 03 0 或或 4x 3y 3 04x 3y 3 0 5 5 解析 解析 f f 2cos 1sin 表示两点表示两点 cos sin cos sin 与与 2 1 2 1 连线的斜率连线的斜率 答案 答案 3 4 0 0 6 6 解析 原不等式变为解析 原不等式变为 x2 x2 1 m 11 m 1 2x 2x 0 0 构造线段构造线段 f m x2f m x2 1 1 m 1 m 1 2x 2x 2 m 2 2 m 2 则则 f f 2 2 0 0 且且 f 2 f 2 0 0 用心 爱心 专心 6 答案 答案 2 13 2 17 x 三 三 7 1 7 1 证明 设证明 设 A A B B 的横坐标分别为的横坐标分别为 x1x1 x2x2 由题设知 由题设知 x1x1 1 x21 x2 1 1 点点 A x1 log8x1 B x2 log8x2 A x1 log8x1 B x2 log8x2 因为因为 A A B B 在过点在过点 O O 的直线上 所以的直线上 所以 2 28 1 18 loglog x x x x 又点又点 C C D D 的坐标分别为的坐标分别为 x1 log2x1 x1 log2x1 x2 log2x2 x2 log2x2 由于由于 log2x1 3log8x1 log2x2log2x1 3log8x1 log2x2 3log8x2 3log8x2 则则 2 28 2 22 1 18 1 12 log3log log3log x x x x k x x x x k ODOC 由此得由此得 kOC kOC kOD kOD 即即 O O C C D D 在同一直线上在同一直线上 2 2 解 由解 由 BCBC 平行于平行于 x x 轴 有轴 有 log2x1 log8x2 log2x1 log8x2 又又 log2x1 3log8x1log2x1 3log8x1 x2 x13 x2 x13 将其代入将其代入 2 28 1 18 loglog x x x x 得得 x13log8x1 3x1log8x1 x13log8x1 3x1log8x1 由于由于 x1x1 1 1