福建省长泰一中高考数学一轮复习《总体特征数的估计》学案

用心 爱心 专心1 第第 2 2 课时课时 总体特征数的估计总体特征数的估计 1 122 1122 kk nn x nx nx n x n x px px p 这里 12k nnnn 3 方差 1 2 2 1 1 n i i Sxx n 分别称为数据的方差和标准差 它们反映的是数据的稳定与波动 2 0 SS S 12 n x xx 集中与离散的程度 2 2 2222 12 1 n Sxxxnx n 3 数值较大时 可以将各数据减去一个恰当的常数a 得到 12 n x xx 则 1122 nn xxa xxaxxa 2 2222 12 1 n Sxxxnx n 例 1 某班 40 人随机平均分成两组 两组学生一次考试的成绩情况如下表 统计量 级别 平均标准差 第一组 906 第二组 804 求全班的平均成绩和标准差 解 设第一组 20 名学生的成绩为 1 2 20 i x i 第二组 20 名学生的成绩为 1 2 20 i y i 1220 1 90 20 xxx 典型例题典型例题 基础过关基础过关 用心 爱心 专心2 故全班平均成绩为 1220 1 80 20 yyy 2 2222222 12201220 222 22 12 22222 1 40 40 1 2020202040 40 1 6490802 85 51 2 SxxxyyyZ SxSyZ 51S 变式训练 1 对甲乙的学习成绩进行抽样分析 各抽 5 门功课 得到的观测值如下 甲 60 80 70 90 70 乙 80 60 70 80 75 问 甲乙谁的各科平均成绩好 谁的各门功课发展较平衡 解 因为 所以甲的平均成74x 乙 73x 乙 2 104S 乙 2 56S 乙 xx 乙乙 22 SS 乙乙 绩较好 乙的各门发展较平衡 例 2 甲乙两台机床在相同的条件下同时生产一种零件 现在从中各抽测 10个 它们的尺 寸分别为 单位 mm 甲 10 2 10 1 10 9 8 9 9 9 10 3 9 7 10 9 9 10 1 乙 10 3 10 4 9 6 9 9 10 1 10 9 8 9 7 10 2 10 分别计算上面两个样本的平均数与方差 如果图纸上的设计尺寸为 10mm 从计算结果 看 用哪台机床加工这种零件较合适 解 1 10 x 乙 乙10 2 10 1 10 9 10 1乙 10 1 10 3 10 49 610 10 10 x 乙 2 1 10 S 22 乙 2 乙10 2 10 10 1 10 10 1 10 0 228 用心 爱心 专心3 222 2 1 10 3 10 10 4 10 10 10 10 0 06 S 乙 10 xx 乙乙 22 SS 乙乙 所以乙比甲稳定 用乙较合适 变式训练 2 假定下述数据是甲乙两个供货商的交货天数 甲 10 9 10 10 11 11 9 11 10 10 乙 8 10 14 7 10 11 10 8 15 12 估计两个供货商的交货情况 并问哪个供货商交货时间短一些 哪个供货商交货时间较具 一致性与可靠性 10 1x 乙 10 5x 乙 2 0 49S 乙 22 6 05SS 乙乙 从交货天数的平均值看来 甲供货商的供货天数短一些 从方差来看 甲供货商的交货天 数较稳定 因此是较具一致性与可靠性的供货商 例 3 个体户王某经营一家餐馆 下面是餐馆所有工作人员在某个月份的工资 王某 厨师 甲 厨师 乙 杂工 招待 甲 招待 乙 会计 3000 元 450 元 400 元 320 元 350 元 320 元 410 元 1 计算平均工资 2 计算出的平均工资能否反映帮工人员这个月收入的一般水平 3 去掉王某工资后 再计算平均工资 4 后一个平均工资能代表帮工人员的收入吗 5 根据以上计算 从统计的观点看 你对 1 3 的结果有什么看法 解 1 平均工资 750 元 2 因为帮工人员的工资低于平均工资 所以 1 中算出的平均工资不能反映帮工人员在这 个月份的月收入的一般水平 3 去掉王某的工资后的平均工资 375 元 4 3 中计算的平 均工资接近于帮工人员月工资收入 所以它能代表帮工人员的收入 5 从本题的计算可见 个别特殊值对平均数具有很大的影响 因此在选择样本时 样本中尽量不要选特殊数据 变式训练 3 甲乙两人在相同条件下 射靶 10 次 命中环数如下 甲 8 6 9 5 10 7 4 8 9 5 乙 7 6 5 8 6 9 6 8 7 7 依上述数据估计 A 甲比乙的射击技术稳定 B 乙比甲的射击技术稳定 C 两人没有区别 D 两人区别不大 解 B 例 4 为了科学地比较考试成绩 有些选拔性考试常常会将考试分数转化为标准分 转化 关系式为 z 其中x是某位同学的考试分数 是该次考试的平均分 s 是该次考 s xx x 用心 爱心 专心4 试的标准差 z 称为这位学生的标准分 转化为标准分后可能出现小数和负值 因此 又 常常将 z 分数作线性变换转化或其他分数 例如某次学生选拔考试采用的是 T 分数 试性 变换公式是 T 40z 60 已知在这次考试中某位考生的考试分数是 85 这次考试的平均 分是 70 标准差是 25 则该考生的 T 分数为多少 解 84 分 变式训练 4 经问卷调查 某班学生对摄影分别执 喜欢 不喜欢 和 一般 三种态 度 其中执 一般 态度的比 不喜欢 的多 12 人 按分层抽样方法从全班选出部分 学生座谈摄影 如果选出的是 5 位 喜欢 摄影的同学 1 位 不喜欢 摄影的同 学和 3 位执 一般 态度的同学 那么全班学生中 喜欢 摄影的人数为多少 解 设班里 喜欢 的y人 一般 的x人 不喜欢 的x 12 人 x 18 3 112 x x 又 y 30 3 5 18