广东省揭阳一中等2014届高三数学上学期开学摸底联考试题 理

1 k 0 S 1 k 3 开始 结束 是 否 k k 1 输出 S S S 2k 第 6 题图 20132013 20142014 学年度高三摸底考联考学年度高三摸底考联考 数学 理 试题数学 理 试题 本试卷共 4 页 三大题 满分 150 分 考试时间为 120 分钟 注意事项 1 答卷前 考生务必将自己的姓名 班级 座号写在答题卷密封线内 2 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答 3 答案一律写在答题区域内 不准使用铅笔和涂改液 不按以上要求作答的答案无效 第第 I I 卷卷 本卷共计 70 分 一 选择题 一 选择题 本大题共本大题共 8 8 个小题 每小题个小题 每小题 5 5 分 共分 共 4040 分 在每小题给出的四个选项中 分 在每小题给出的四个选项中 有且只有一项是符合题目要求的 有且只有一项是符合题目要求的 1 已知集合 1 1A 20Bx ax 若BA 则实数a的所有可能取值的集 合为 A 2 B 2 C 2 2 D 2 0 2 2 设z是复数 a z表示满足1 n z 的最小正整数n 则对虚数单位i a i A 8 B 6 C 4 D 2 3 如图 某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形 且体积为 1 2 则该几何体的俯视图可以是 4 0mn 是 方程 22 1mxny 表示焦点在y轴上的椭圆 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 既不充分也不必要条件 D 充要条件 D 5 已知幂函数 yf x 的图象过点 13 33 则 9 log 3 f的值为 A 1 4 B 1 4 C 2 D 2 2 C O B A P 6 执行如图所示的程序框图 输出的 S 值为 A 2B 4 C 8D 16 7 已知函数sincosyxx 则下列结论正确的是 A 此函数的图象关于直线 4 x 对称 B 此函数在区间 4 4 上是增函数 C 此函数的最大值为 1 D 此函数的最小正周期为 8 若不等式 22 2 9 tt a tt 在t 0 2 上恒成立 则a的取值范围是 A B C D 1 6 1 2 13 1 1 6 4 13 1 6 2 2 二 填空题 二 填空题 本大题共本大题共 7 7 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 3030 分 本大题分为必做题和选做题两分 本大题分为必做题和选做题两 部分 部分 一 必做题 一 必做题 第第 9 9 1010 1111 1212 1313 题为必做题 每道试题考生都必须做答题为必做题 每道试题考生都必须做答 9 函数 2 1 1 lg 4 yx x 的定义域是 10 已知 x y 满足约束条件 50 0 0 xy xy y 则24zxy 的最小值是 11 若 2 n x x 展开式中所有二项式系数之和为 16 则展开式常数项为 12 若双曲线 2 2 a x 2 2 b y 1 的渐近线与圆3 2 22 yx相切 则此双曲线的离心率为 13 已知正项等比数列 n a满足 765 2aaa 若存在两项 mn aa使得 1 4 mn a aa 则 14 mn 的最小值为 二 选做题 二 选做题 第第 1414 1515 题为选做题 考生只能选做一题 两题全答的 只计算前一题题为选做题 考生只能选做一题 两题全答的 只计算前一题 的得分 的得分 14 14 几何证明选讲选做题几何证明选讲选做题 已知 AB 是圆O的一条弦 点 P 为 AB 上一点 PCOP PC 3 D A C B P O 交圆O于点 C 若6AP 3PB 则 PC 的长为 15 15 坐标系与参数方程选做题坐标系与参数方程选做题 在极坐标系中 已知两点 A B 的极坐标分别为 2 3 4 6 则 ABC 其中 O 为极点 的面积为 第第 IIII 卷卷 本卷共计 80 分 三 解答题 本大题三 解答题 本大题 6 6 小题 满分小题 满分 8080 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步 骤 骤 16 本题满分 12 分 已知向量 sin cos cos sin 3366 xx AA ab 函数 f x Aa b 0 AxR 且 2 2f 1 求函数 yf x 的表达式 2 设 0 2 16 3 5 f 520 3 213 f 求cos 的值 17 本题满分 12 分 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息 安排一名员工随机收 集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据 如下表所示 一次购物量1 至 4 件5 至 8 件9 至 12 件13 至 16 件17 件及以上 顾客数 人 x 3025 y 10 结算时间 分钟 人 11 522 53 已知这 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55 确定x y的值 并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望 若某顾客到达收银台时前面恰有 2 位顾客需结算 且各顾客的结算相互独立 求该 顾客结算前的等候时间不超过 2 5 分钟的概率 注 将频率视为概率 18 本题满分 14 分 如图 在三棱锥P ABC中 AB AC D为BC的中点 PO 平面 ABC 垂足O落在线段AD上 已知BC 8 PO 4 AO 3 OD 2 证明 AP BC 在线段AP上是否存在点M 使得二面角A MC B为直二面 角 若存在 求出AM的长 若不存在 请说明理由 19 本题满分 14 分 已知数列 n a的前n项和为 n S 且 1 nn Sa nN 第 14 题 4 1 求数列 n a的通项公式 2 设 1 log 1 1 2 1 nn bb c a b nn n n n 记 12 nn Tccc 证明 Tn 1 20 本题满分 14 分 已知圆C的圆心为 0 3 C mm 半径为5 圆C与椭圆E 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 有一个公共点A 3 1 21 FF 分别是椭圆的左 右焦点 1 求圆C的标准方程 2 若点P的坐标为 4 4 试探究斜率为k的直线 1 PF与圆C能否相切 若能 求 出椭圆E和直线 1 PF的方程 若不能 请说明理由 21 本题满分14分 已知函数 3 2 ln 21 2 3 x f xaxxax aR 1 若2x 为 f x的极值点 求实数a的值 2 若 yf x 在 3 上为增函数 求实数a的取值范围 3 当 1 2 a 时 方程 3 1 1 3 xb fx x 有实根 求实数b的最大值 20132013 20142014 学年度高三摸底考联考学年度高三摸底考联考 数学科答题卷数学科答题卷 登分栏 第三题总分 第一题第二题 第 16 题第 17 题第 18 题第 19 题第 20 题第 21 题 一 选择题 8 小题 共 40 分 5 题号 12345678 答案 二 填空题 共 6 小题 共 30 分 9 10 11 12 13 三 解答题 注意 必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答 答案必须写在各题指定区域内 注意 必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答 答案必须写在各题指定区域内 相应位置相应位置 16 本题满分 12 分 17 本题满分 12 分 6 D A C B P O 18 本题满分 14 分 19 本题满分 14 分 7 20 本题满分 14 分 8 20132013 20142014 学年度高三摸底考联考学年度高三摸底考联考 数学科参考答案数学科参考答案 一 选择题 21 本题满分 14 分 9 题号 12345678 答案 DCCDACBB 二 填空题 9 11 33 4 10 15 11 24 12 2 13 3 2 14 3 2 15 2 三 解答题 16 解 1 依题意得 sincoscossin 3636 xx f xAA sin 36 x A 2 分 又 2 2f 得 2 sin2 36 A 即 5 sin2 6 A 4A 3 分 4sin 36 x f x 4 分 2 由 16 3 5 f 得 116 4sin 3 365 即 16 4sin 25 5 分 4 cos 5 6 分 又 0 2 3 sin 5 7 分 由 520 3 213 f 得 1520 4sin 3 32613 即 5 sin 13 8 分 5 sin 13 9 分 又 0 2 12 cos 13 10 分 4123533 cos coscossinsin 51351365 12 分 17 解 1 由已知 得251055 35 yxy 所以15 20 xy 2 分 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体 所以收集的 100 位顾客一次购物的 结算时间可视为总体的一个容量随机样本 将频率视为概率得 153303251 1 1 5 2 10020100101004 p Xp Xp X 201101 2 5 3 100510010 p Xp X 4 分 X 的分布为 X X11 522 53 P 3 20 3 10 1 4 1 5 1 10 10 y x z D A C B P O M X 的数学期望为 33111 11 522 531 9 20104510 E X 6 分 记 A 为事件 该顾客结算前的等候时间不超过 2 5 分钟 1 2 i X i 为该顾客前 面第i位顾客的结算时间 则 121212 11 11 5 1 51 P AP XXP XXP XX 且且且 8 分 由于顾客的结算相互独立 且 12 XX的分布列都与 X 的分布列相同 所以 121212 1 1 1 1 5 1 5 1 P AP XP XP XP XP XP X 3333339 20202010102080 11 分 故该顾客结算前的等候时间不超过 2 5 分钟的概率为 9 80 12 分 18 方法一方法一 证明 如图 以O为原点 以射线OP为z轴的正半轴 建立空间直角坐标系O xyz 则O 0 0 0 A 0 3 0 B 4 2 0 C 4 2 0 P 0 0 4 1 分 0 3 4 8 0 0 APBC 2 分 由此可得0AP BC 所以AP BC 即AP BC 4 分 解 设 1 0 3 4 PMPAPM 则 5 分 BMBPPMBPPA 4 2 4 0 3 4 4 23 44 6 分 4 5 0 8 0 0 ACBC 7 分 设平面BMC的法向量 1111 nx y z 平面APC的法向量 2222 nxyz 8 分 由 1 1 0 0 BM n BC n 得 111 1 4 23 44 0 80 xyz x 即 1 11 0 23 44 x zy 可取 23 0 1 44 n 10 分 11 D A C B P O M 由 2 1 0 0 AP n AC n 即 22 22 340 450 yz xy 得 22 22 5 4 3 4 xy zy 可取 2 5 4 3 n 12 分 由 12 0n n 得 23 430 44 解得 2 5 13 分 综上所述 存在点M符合题意 AM 3 14 分 方法二 方法二 证明 由AB AC D是BC的中点 得AD BC 1 分 又PO 平面ABC 得PO BC 2 分 因为PO AD 0 所以BC 平面PAD 3 分 故BC PA 4 分 解 如下图 在平面PAB内作BM PA于M 连CM 5 分 由 中知AP BC 得AP 平面BMC 6 分 又AP 平面APC 所以平面BMC 平面APC 7 分 在Rt ADB中 AB2 AD2 BD2 41 得AB 41 8 分 在Rt POD中 PB2 PO2 OD2 在Rt PDB中 PB2 PD2 BD2 所以PB2 PO2 OD2 BD2 36 得PB 6 9 分 在Rt POA中 PA2 AO2 OP2 25 得PA 5 10 分 又 222 1 cos 23 PAPBAB BPA PA PB 11 分 从而cos2 PMPBBPA 所以3AMPAPM 13 分 综上所述 存在点M符合题意 AM 3 14 分 19 解 1 当1n 时时 由 11 1 Sa 得 1 1 2 a 2 分 当 2 n时 1 nn Sa 11 1 nn Sa 12 上面两式相减 得 1 1 2 nn aa 4 分 所以数列 n a是以首项为 1 2 公比为 1 2 的等比数列 5 分 求得 2 1 Nna n n 7 分 2 1 2 1 log 1 log 1 2 1 2 1 na b n n n 9 分 1 11 1 1 nnnn nn cn 11 分 12 1111111 1 223341 nn Tccc nn 1 1 1n 1 14 分 20 解 1 由已知可设圆 C 的方程为 3 5 22 mymx 1 分 将点 A 的坐标代入圆 C 的方程 得51 3 2 m 即4 3 2 m 解得51 mm 或 3 分 3 m 1 m 圆 C 的方程为 5 1 22 yx 5 分 2 依题意 可得直线 1 PF的方程为4 4 xky 即044 kykx 6 分 若直线 1 PF与圆 C 相切 则5 1 440 2 k kk 7 分 011244 2 kk 解得 2 1 2 11 kk 或 8 分 当 2 11 k时 直线 1 PF与 x 轴的交点横坐标为 11 36 不合题意 舍去 9 分 当 2 1 k时 直线 1 PF与 x 轴的交点横坐标为4 10 分 0 4 0 4 4 21 FFc 11 分 由椭圆的定义得 262251 43 1 43 2 2222 21 AFAFa 13 23 a 即18 2 a 2 222 cab 13 分 直线 1 PF能与圆 C 相切 直线 1 PF的方程为042 yx 椭圆E 的方程为 1 218 22 yx 14 分 21 解 解 1 22 2 2 1 4 42 2 22 2121 xaxa xa a fxxxa axax 1分 因为2x 为 f x的极值点 所以 2 0f 2分 即 2 20 41 a a a 解得0a 3分 又当0a 时 2 fxx x 从而2x 为 f x的极值点成立 4