动点压轴题(铅垂高)(教学课件)

学道教育初中数学学道教育初中数学 中考压轴题演练 一教学目的 1 让学生经历探索的过程 观察图形在动点的运动过程中观察图形的变化 情况 促进培养学生解决问题的能力 2 理解用 鉛锤高 水平宽 求不规则三角形面积的方法 并用此方法解决二次函 数与几何图形的综合题中有关三角形面积计算的问题 二重点难点 1 灵活应用铅垂高进行二次函数与几何图形的综合题中有关三角形面积计算的问题 2 铅垂高的寻找方法 以及用坐标表示线段 三 教学方法 先让学生阅读理解 自主探究 引导学生掌握方法 讲练结合 四 教学过程 例 1 阅读材料 如图 12 1 过 ABC 的三个顶点分别作出与水平线 垂直的三条直线 外侧两条直线之间的距离叫 ABC 的 水平宽 a 中间的这条直线在 ABC 内部线段的 长度叫 ABC 的 铅垂高 h 我们可得出一种计算三 角形面积的新方法 即三角形面积等于ahS ABC 2 1 水平宽与铅垂高乘积的一半 解答下列问题 如图 12 2 抛物线顶点坐标为点 C 1 4 交 x 轴于点 A 3 0 交 y 轴于点 B 1 求抛物线和直线 AB 的解析式 2 点 P 是抛物线 在第一象限内 上的一个动点 连结 PA PB 当 P 点运动到顶 点 C 时 求 CAB 的铅垂高 CD 及 CAB S 3 是否存在一点 P 使 S PAB S CAB 若存在 求出 P 点的坐标 若不存在 8 9 请说明理由 例 1 解 1 设抛物线的解析式为 1 分4 1 2 1 xay 把 A 3 0 代入解析式求得1 a 所以 3 分324 1 22 1 xxxy 图 12 2 x C O y A B D 1 1 B C 铅垂高 水平宽 h a 图 12 1 A 2 学道教育初中数学学道教育初中数学 设直线 AB 的解析式为 bkxy 2 由求得 B 点的坐标为 4 分32 2 1 xxy 3 0 把 代入中 0 3 A 3 0 Bbkxy 2 解得 3 1 bk 所以 6 分3 2 xy 2 因为 C 点坐标为 4 所以当 x 时 y1 4 y2 2 所以 CD 4 2 2 8 分 平方单位 10 分323 2 1 CAB S 3 假设存在符合条件的点 P 设 P 点的横坐标为 x PAB 的铅垂高为 h 则 12 分xxxxxyyh3 3 32 22 21 由 S PAB S CAB 8 9 得 3 8 9 3 3 2 1 2 xx 化简得 09124 2 xx 解得 2 3 x 将代入中 2 3 x32 2 1 xxy 解得 P 点坐标为 14 分 4 15 2 3 总结 求不规则三角形面积时不妨利用铅垂高 铅垂高的表示方法是解决问题的关键 要 学会用坐标表示线段 例 2 2010 广东省中考拟 如图 10 在平面直角坐标系中 二次函数 的图象的顶点为 D 点 与 y 轴交于 C 点 与x轴交于 A B 两点 0 2 acbxaxy A 点在原点的左侧 B 点的坐标为 3 0 OB OC tan ACO 3 1 1 求这个二次函数的表达式 2 经过 C D 两点的直线 与x轴交于点 E 在该抛物线上是否存在这样的点 F 使 以点 A C E F 为顶点的四边形为平行四边形 若存在 请求出点 F 的坐标 若不存 在 请说明理由 学道教育初中数学学道教育初中数学 3 若平行于x轴的直线与该抛物线交于 M N 两点 且以 MN 为直径的圆与x轴相切 求该圆半径的长度 4 如图 11 若点 G 2 y 是该抛物线上一点 点 P 是直线 AG 下方的抛物线上一 动点 当点 P 运动到什么位置时 APG 的面积最大 求出此时 P 点的坐标和 APG 的 最大面积 1 方法一 由已知得 C 0 3 A 1 0 将 A B C 三点的坐标代入得 3 039 0 c cba cba 解得 3 2 1 c b a 所以这个二次函数的表达式为 32 2 xxy 方法二 由已知得 C 0 3 A 1 0 设该表达式为 3 1 xxay 将 C 点的坐标代入得 1 a 所以这个二次函数的表达式为 32 2 xxy 注 表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分 2 方法一 存在 F 点的坐标为 2 3 理由 易得 D 1 4 所以直线 CD 的解析式为 3 xy E 点的坐标为 3 0 由 A C E F 四点的坐标得 AE CF 2 AE CF y x O E D C B A 图 10 G A B C D O x y 图 11 学道教育初中数学学道教育初中数学 以 A C E F 为顶点的四边形为平行四边形 存在点 F 坐标为 2 3 方法二 易得 D 1 4 所以直线 CD 的解析式为 3 xy E 点的坐标为 3 0 以 A C E F 为顶点的四边形为平行四边形 F 点的坐标为 2 3 或 2 3 或 4 3 代入抛物线的表达式检验 只有 2 3 符合 存在点 F 坐标为 2 3 3 如图 当直线 MN 在x轴上方时 设圆的半径为 R R 0 则 N R 1 R 代入抛物线的表达式 解得 2 171 R 当直线 MN 在x轴下方时 设圆的半径为 r r 0 则 N r 1 r 代入抛物线的表达式 解得 2 171 r 圆的半径为或 2 171 2 171 4 过点 P 作 y 轴的平行线与 AG 交于点 Q 易得 G 2 3 直线 AG 为 1 xy 设 P x 则 Q x x 1 PQ 32 2 xx2 2 xx 3 2 2 1 2 xxSSS GPQAPQAPG 当时 APG 的面积最大 2 1 x 此时 P 点的坐标为 4 15 2 1 8 27 的最大值为 APG S R R r r 1 1 N N M M AB D Ox y 学道教育初中数学学道教育初中数学 随堂练习随堂练习 1 1 2010 江苏无锡 如图 矩形ABCD的顶点A B的坐标分别为 4 0 和 2 0 BC 设直线AC与直线x 4 交于点E 2 3 1 求以直线x 4 为对称轴 且过C与原点O的抛物线的函数关系式 并说明此抛物线一 定过点E 2 设 1 中的抛物线与x轴的另一个交点为N M是该抛物线上位于C N之间的一动 点 求 CMN面积的最大值 x 4 x y E DC BAO 答案 解 1 点C的坐标 设抛物线的函数关系式为 2 2 3 2 4 ya xm 则 解得 160 423 am am 38 3 63 am 所求抛物线的函数关系式为 2 38 3 4 63 yx 设直线AC的函数关系式为则 解得 ykxb 40 223 kb kb 343 33 kb 直线 AC的函数关系式为 点 E 的坐标为 343 33 yx 8 3 4 3 把x 4 代入 式 得 此抛物线过 E 点 2 38 38 3 44 633 y 2 1 中抛物线与x轴的另一个交点为N 8 0 设M x y 过M作MG x轴于 G 则 S CMN S MNG S梯形 MGBC S CBN 111 8 23 2 82 23 222 xyyx A 22 3433 338 33 38 35 38 3 632 yxxxxxx 2 393 5 22 x 当x 5 时 S CMN有最大值 93 2 课下练习 1 本题满分 12 分 已知 如图一次函数 y 1 2 x 1 的图象与 x 轴交于点 A 与 y 轴交于点 B 二次函数 y 1 2 x2 bx c 的图象与一次函数 y 1 2 x 1 的图象交于 B C 两点 与 x 轴交于 D E 两点且 D 点坐标为 1 0 1 求二次函数的解析式 2 求四边形 BDEC 的面积 S 3 在 x 轴上是否存在点 P 使得 PBC 是以 P 为直角顶点的直角三角形 若存在 求出 所有的点 P 若不存在 请说明理由 学道教育初中数学学道教育初中数学 3 3 2010 山东临沂 如图 二次函数的图象与轴交于 两 2 yxaxb x 1 0 2 A 2 0 B 点 且与轴交于点 yC 1 求该抛物线的解析式 并判断的形状 ABC 2 在轴上方的抛物线上有一点 且以四点为顶点的四边形是等腰梯形 xDACDB 请直接写出点的坐标 D 3 在此抛物线上是否存在点 使得以四点为顶点的四边形是直角梯形 若PACBP 存在 求出点的坐标 若不存在 说明理由 P 第 26 题图 答案 解 根据题意 将 A 0 B 2 0 代入 y x2 ax b 中 1 2 得 11 0 42 420 ab ab 解这个方程 得 全品中考网 3 2 1 a b 所以抛物线的解析式为 y x2 x 1 3 2 当 x 0 时 y 1 所以点 C 的坐标为 0 1 所以在 AOC 中 AC 22 OAOC 5 2 在 BOC 中 BC 22 OBOC 5 AB OA OB 15 2 22 因为 AC2 BC2 2 125 2 44 AB 第 24 题图 学道教育初中数学学道教育初中数学 所以 ABC 是直角三角形 2 点 D 的坐标是 3 1 2 3 存在 由 1 知 AC BC 若以 BC 为底边 则 BC AP 如图 1 所示 可求得 直线 BC 的解析式为 1 1 2 yx 直线 AP 可以看作是由直线 AC 平移得到的 所以设直线 AP 的解析式为 1 2 yxb 将 A 0 代入直线 AP 的解析式求得 b 所以直 1 2 1 4 线 AP 的解析式为 11 24 yx 因为点 P 既在抛物线上 又在直线 AP 上 所以点 P 的纵 坐标相等 即 x2 x 1 3 2 11 24 x 解得 不合题意 舍去 12 51 22 xx 当 x 时 y 5 2 3 2 所以点 P 的坐标为 5 2 3 2 若以 AC 为底边 则 BP AC 如图 2 所示 可求得 直线 AC 的解析式为 21yx 直线 BP 可以看作是由直线 AC 平移得到的 所以设直线 BP 的解析式为 2yxb 将 B 2 0 代入直线 BP 的解析式求得 b 4 所以直线 BP 的解析式为 y 2x 4 因为点 P 既在抛物线上 又在直线 BP 上 所以点 P 的纵 坐标相等 即 x2 x 1 2x 4 3 2 解得 不合题意 舍去 12 5 2 2 xx 当 x 时 y 9 5 2 所以点 P 的坐标为 9 5 2 综上所述 满足题目的点 P 的坐标为 或 9 5 2 3 2 5 2 2 本题 10 分 如图 已知二次函数 y 的图象与 y 轴交于点 A 与 x 轴4 2 3 4 1 2 xx 交于 B C 两点 其对称轴与 x 轴交于点 D 连接 AC 图 1 图 2 学道教育初中数学学道教育初中数学 1 点 A 的坐标为 点 C 的坐标为 2 线段 AC 上是否存在点 E 使得 EDC 为等腰三角形 若存在 求出所有符合条件的点 E 的坐标 若不存在 请说明理由 3 点 P 为 x 轴上方的抛物线上的一个动点 连接 PA PC 若所得 PAC 的面积为 S 则 S 取何值时 相应的点 P 有且只有 2 个 解 1 A 0 4 C 8 0 2 分 2 易得 D 3 0 CD 5 设直线 AC 对应的函数关系式为 ykxb 则 4 80 b kb 解得 1 2 4 k b 1 4 2 yx 3 分 当 DE DC 时 OA 4 OD 3 DA 5 1 E 0 4 4 分 当 ED EC 时 可得 2 E 11 2 5 4 5 分 当 CD CE 时 如图 过点 E 作 EG CD 则 CEG CAO EGCGCE OAOCAC 即 5EG 2 5CG 3 E 8 2 5 5 6 分 综上 符合条件的点 E 有三个 1 E 0 4 2 E 11 2 5 4 3 E 8 2 5 5 3 如图 过 P 作 PH OC 垂足为 H 交直线 AC 于点 Q 设