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部分知识点总结部分知识点总结 3 导读 矩阵的分解定理 1 设 A Cnn n 则 A 可唯一地分 解为 A U1R 其中 U1 是酉矩阵 R 是正线上三角复矩阵 或 A 可唯一分解为 A LU2 其中 L 是正线下三角复矩阵 U2 是酉矩阵 推论 1 设 A 是正定 Hermit 高中物理选修3 5 知识点总结 矩阵的分解定理 1 设 A Cnn n 则 A 可唯一地分解为 A U1R 其中 U1 是酉矩阵 R 是正线上三角复矩阵 或 A 可唯 一分解为 A LU2 其中 L 是正线下三角复矩阵 U2 是酉矩阵 推论 1 设 A 是正定 Hermite 矩阵 则存在唯一的 正线上三角 复矩阵 R 使 A RH R 定理 2 设 A Cnn n 用 L 表示下三角复矩阵 R 是上三角 复矩阵 L 是单位下三角复矩阵 R 是单位上三角复矩阵 D 表示对 角矩阵 则下列命题等价 a11 a12 i k a21 a22a1k a2k 0 k 1 nan1 an2akk ii A 可唯一地分解为 A L R iii A 可唯一 地分解为 A L R iv A 可唯一地分解为 A L D R 单纯矩阵 矩阵 A 的每个特征值的代数重复度与几何重复度 相等 定理 3 设 A C n n 是单纯矩阵 则 A 可分解为一系列幂 等矩阵 Ai i 1 2 n 的加权和 nA i Aii 1 其中 i i 1 2 n 是 A 的特征值 Ai 的性质 1 幂等性 Ai2 Ai 2 分离性 Ai Aj 0 i j n 3 可加性 Ai Eni 1 正规矩阵 AAH AH A A 为正规矩阵引理 1 A 为 正规矩阵 A 与 B 酉相似 则 B 为正规矩阵引理 2 Schur 设 A C n n 则存在酉矩阵 U 使得 A URU H R 是一个上三角矩阵且 主对角线上的元素为 A 的特征值 引理 3 A 正规矩阵且是三角 矩阵 A 是对角矩阵 定理 4 A 是正规矩阵 A 与对角矩阵 酉相似即 存在 n 阶酉矩阵 U 使得 A Udiag 1 2 n U H 定理5 设 A C n n 它有 k 个相异特征值 i i 1 2 k 则 A 是正规矩阵的充要条件是存在 k 个矩阵 Ai i 1 2 k 满足 k 1 A i Ai i 1k 3 Ai Eni 1 2 Ai Aj 0Aij i j i 4 AiH Ai i 1 2 k 定理6 设 A Crm n 则存在矩阵 B Crm r D Crr n 使得 A BD 定理 7 设 A Crm n 且 A B1D1 B2D2 均为 A 的最大秩分解 则 1 存在 r 阶可逆矩阵 Q 使 得 B1 B2QD
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