山东省枣庄市峄城区吴林街道中学九年级数学下册 6.1 勾股定理复习教案 北师大版

1 6 16 1 勾股定理复习教案勾股定理复习教案 考试要求 考试要求 1 掌握勾股定理及其逆定理 掌握直角三角形的性质 2 体验勾股定理的探究过程 会用勾股定理解决实际问题 重点 重点 掌握勾股定理及其逆定理 难点 难点 会用勾股定理解决实际问题 教法及学法指导 教法及学法指导 本节课是复习勾股定理 借助导学案 帮助学生回顾梳理本考点的知识要点 在小组 讨论的基础上 师生共同建构本章的知识体系 进一步通过考题研究 来巩固本章的主要 内容 达到巩固基础 提升能力的目的 在学习过程中要注意勾股定理的运用 同时 把 握知识点间的联系 在学习过程中 还应注意研究中考的命题方向 夯实学生的基础 消 灭易错点 确保基础不丢分 提高训练的针对性 教学准备 教学准备 教师准备 教师准备 多媒体课件 学生准备 学生准备 导学案 教学过程 教学过程 一 激趣导入 预习展示一 激趣导入 预习展示 师 同学们还记得这个美丽的图案吗 在我们学习什么知识的时候用过它 生 学习推导勾股定理的时候 异口同声 师 请同学们结合下列知识网络图对本考点进行简要回顾 多媒体展示 多媒体展示 直角三角形的知识结构图直角三角形的知识结构图 2 设计意图 设计意图 出示知识结构图让学生清晰 形象地了解各知识点间的联系 同时在此停 留时间不宜太长 让学生有个大概的认识就行 考点提要考点提要 导学案提前下发 学生在导学案中填空 一 勾股定理一 勾股定理 1 如果直角三角形两条直角边长分别为a b斜边长为c 那么a b c三边应满足 2 勾股数 满足a2 b2 c2的三个正整数 称为勾股数 几组常见勾股数 1 3 4 5 2 5 12 13 3 6 8 10 4 8 15 17 5 7 24 25 6 9 40 41 等 勾股定理的应用 勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系 是直角三角形的重要性质之一 其主要 应用有 1 已知直角三角形的两边求第三边问题 2 实际生活的运用 比如题组三 3 利用勾股定理解决折叠 对称 旋转问题等 二 勾股定理的逆定理二 勾股定理的逆定理 直直 角角 三三 角角 形形 勾股定理逆定理勾股定理逆定理 边角关系 三角函数边角关系 三角函数 勾股定理勾股定理 a2 b2 c2 c是直角 角的关系 两锐角之和是角的关系 两锐角之和是90 90 边与边的关系 勾股边与边的关系 勾股 定理定理 勾股定理逆定理勾股定理逆定理 的应用的应用 勾股定理的广泛勾股定理的广泛 应用应用 已知直角三角形的两已知直角三角形的两 边求第三边边求第三边 3 如果三角形的三边长a b c满足a2 b2 c2 那么这个三角形是 勾股定理的逆定理应用 勾股定理的逆定理应用 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法 它通过 数 转化为形 来确定三角形的可能形状 在运用这一定理时应注意 1 先确定最长的边 2 验证最长的边的平方是不是其它两边的平方和 3 若相等 那么这个三角形是直角三角形 最长的边对的角是直角 若不相等 那么 这个三角形就不是直角三角形 提示提示 定理中a b c及a2 b2 c2只是一种表现形式 不可认为是唯一的 如若三角形 三边长a b c满足a2 c2 b2 那么以a b c为三边的三角形是直角三角形 但是b为斜边 区别 区别 勾股定理是直角三角形的性质定理 而其逆定理是判定定理 联系 联系 勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反 都与直角三角形有关 设计意图 设计意图 让学生进一步巩固本节学习的内容 把握复习重点 如有遗忘 借用课本 或同学间交流进行补充 这样做既可以节省课上时间 也能加深学生对知识网络的理解 实际效果实际效果 通过课上展示 学生间相互补充 努力做到语言规范 准确 这样做既能够 暴露出学生存在的问题 比直接给出答案让学生对比纠正要好的多 又能使学生感悟到 知识的严密性 同时也节省了上课的时间 二 题组训练 夯实基础二 题组训练 夯实基础 导学案课前完成 课堂矫正 题组一 题组一 1 已知一个直角三角形的两边长分别为 3 和 4 则第三边长的平方是 A 25 B 14 C 7 D 7 或 25 2 直角三角形的斜边比一直角边长 2cm 另一直角边长为 6 cm 则它的斜边长 A 4 cm B 8 cm C 10 cm D 12 cm 4 3 等腰三角形的腰长为 10 底长为 12 则其底边上的高为 A 13 B 8 C 25 D 64 设计意图 设计意图 本题组的设计以基础题目为主 训练运用勾股定理以及逆定理的基本技能 实际效果 实际效果 从学生的做题反馈来看 准确率高 很好 题组二 题组二 1 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数 得到的三角形是 A 钝角三角形 B 锐角三角形 C 直角三角形 D 等腰三角形 点拨 点拨 根据勾股定理的公式a a2 2 b b2 2 c c2 2可以看出同时扩大相同的倍数k时 运用勾股定理 是边同时变成倍数平方倍k k2 2a a2 2 k k2 2b b2 2 k k2 2c c2 2 左右同时除以k2时 利用等式的基本性质得到仍 是直角三角形 2 如图小方格都是边长为 1 的正方形 则四边形ABCD的面积是 A 25 B 12 5 C 9 D 8 5 3 如图 四边形ABCD是正方形 AE垂直于BE 且AE 3 BE 4 阴影部分的面积是 4 如图 ABC中 C 90 AB垂直平分线交BC于D 若BC 8 AD 5 则AC等于 设计意图 设计意图 本题组是在三角形和四边形中运用勾股定理 垂直平分线的性质 并且较 第一组练习增加了题目的灵活性 网格问题 同时锻炼了学生的做题的技巧 实际效果 实际效果 较第一组练习来看 2 3 4 5题做的很好 第1题有几个同学出现错误 题组三 题组三 1 如图 某楼梯 测得楼梯的长为5米 高3米 计划在楼梯表面铺地毯 地毯的长度至少 需要 米 53 5 点拨 点拨 首先明确楼梯铺设地毯的展开图是矩形 其矩形长是楼梯台阶向上的面与竖着 的面的长度总和 楼梯台阶向上的面是楼梯底面的长可用勾股定理求出 从而求出地毯的 长度 2 如图 校园内有两棵树 相距 12 米 一棵树高 13 米 另一棵树高 8 米 一只小鸟 从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端 小鸟至少要飞 米 点拨 点拨 过矮树的顶端向高树那边作垂线段 得到矩形 和直角三角形 这时直角三角形的两条边分别是 8 和 5 再用勾股定理求出即可 3 如图 所有的四边形都是正方形 所有的三角形都 是直角三角形 其中最大的正方形的边和长为 7cm 则正方形A B C D的面积之和为 cm2 点拨 点拨 连续运用正方形的面积公式与勾股定理来完成 设计意图 设计意图 本题考查矩形 正方形 勾股定理相结合的综合性的题目 关键是根据每 个图形中隐含的等量关系来找到数量之间的关系 从而利用勾股定理来完成 实际效果实际效果 尽管是综合性比较强的题目 学生做题正确率较好 三 典例剖析 深化知识三 典例剖析 深化知识 考点一考点一 勾股定理的逆定理与三角形勾股定理的逆定理与三角形 例 1 2012 四川巴中 已知a b c是 ABC的三边长 且满足关系 222 cab a b 0 则 ABC的形状为 解析解析 由关系由关系 222 cab a b 0 得c2 a2 b2 0 即a2 b2 c2 且a b 0即 a b ABC是等腰直角三角形 应填等腰直角三角形 答案答案 等腰直角三角形 点评点评 本题考查非负数的一个性质 两个非负数之和为零时 这两个非负数同时为 零 6 设计意图 设计意图 判断一个三角形的形状可分为三种情况 当两个非负数或三个非负数之和 为零时 那么这两个非负数或三个非负数同时为零 比如 开算术平方根 绝对值 平方 同时对因式分解进行综合训练 跟踪练习跟踪练习 1 1 1 三角形的三边长为 a b 2 c2 2ab 则这个三角形是 A 等边三角形 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 锐角三角形 2 已知三角形的三边长分别为a b c 并且满足a2c2 b2c2 a4 b4则这个三角形是 A 直角三角形 B 等腰三角形 C 等腰直角三角形 D 以上答案都有可能 点拨点拨 a2c2 b2c2 a4 b4得到 a2 b2 c2 a2 b2 a2 b2 当a2 b2 0 时 此三角形为 等腰三角形 a2 b2 0 时 a2 b2 c2此三角形为直角三角形 所以都有可能 实际效果 学生会用分解因式的方法找到关系式 第 2 题学生出现错误较多 考点二考点二 勾股定理与逆定理勾股定理与逆定理 例 2 如图 在四边形ABCD中 AB 12cm BC 3cm CD 4cm C 90 1 求BD的长 2 当AD为多长时 ABD 90 解析解析 1 在 Rt BCD中 BC 3 CD 4 BD2 BC2 CD2 42 32 25 BD 5 cm 2 当AD 13 时 ABD 90 AB 12 BD 5 AD 13 AB2 BD2 AD2 ABD 90 点评点评 本题考查勾股定理和逆定理的相互结合的应用 设计意图 设计意图 本题是勾股定理和逆定理的相互结合的应用 特别是跟踪练习需要作辅助 线构成三角形 跟踪练习跟踪练习 2 2 3 如图所示的一块地 ADC 90 AD 12m CD 9m AB 39m BC 36m 求这块地的面积 4 如图 是一个四边形的边角料 东东通过测量 获得了如下数 据 AB 3cm BC 12cm CD 13cm AD 4cm 东东由此认为这个四边形中 A恰好是直角 你认为东东的判断正确吗 如果你认为他正确 请说明其 A B C D C A B D 7 中的理由 如果你认为他不正确 那你认为需要什么条件 才可以判断 A是直角 实际效果 实际效果 学生在做这两道练习时 做法能够掌握 效果很好 考点三考点三 勾股定理与折叠勾股定理与折叠 例例 3 3 20122012 荷泽 荷泽 如图 OABC是一张放在平面直角坐标系中的 矩形纸片 O为原点 点A在x轴的正半轴上 点C在y轴的正半轴上 OA 10 OC 8 在OC边上取一点D 将纸片沿AD翻折 使点O落在BC边 上的点E处 求D E两点的坐标 解析解析 1 依题意可知 折痕AD是四边形OAED的对称轴 在 Rt ABE中 AE AO 10 AB 8 2222 1086BEAEAB CE 4 E 4 8 在 Rt DCE DC2 CE2 DE2 又DE OD 8 OD 2 42 OD2 OD 5 D 0 5 点评点评 根据折叠问题及矩形的性质 可以利用勾股定理求出线段的长来确定点的坐标 设计意图 设计意图 根据矩形的性质 结合折叠中出现的直角三角形的性质来完成 跟踪练习跟踪练习 3 3 5 2012 武汉 如图 矩形ABCD中 点E在边AB上 将矩形 ABCD沿直线DE折叠 点A恰好落在边BC的点F处 若AE 5 BF 3 则 CD的长是 A 7 B 8 C 9D 10 6 如图 将一张长方形纸片ABCD沿直线BD折叠 使点C落在C 处 BC 交AD于 点E 若AD 8 AB 4 求 BED的面积 点拨 点拨 由折叠和矩形的性质可得 BED是等腰三角形即BE DE 有AD AE DE 可换成 AE BE 8 因此在 Rt BED用勾股定理来完成BE的长度 从而求出面积 C D B 8 实际效果 实际效果 第 5 题 效果很好 但是第 6 题求 BED的面积有一部分同学有疑惑 考点四考点四 勾股定理与对称勾股定理与对称 例例 4 4 2012 陕西 如图 从点A 0 2 发出的一束光 经x轴反射 过点B 4 3 则这束光从点A到点B所经过路径的长为 解析解析 设这一束光与x轴交与点C 作点B关于x轴的对称点B 过B 作 B D y轴于点D 由反射的性质 知A C B 这三点在同一条直线上 再由轴对称的性质 知B C BC 则AC CB AC CB AB 由题意得AD 5 B D 4 由勾股定理 得AB 41 所以AC CB 41 答案答案 41 点评点评 本题从物理学角度综合考查了平面直角坐标系中点的坐标应用 轴对称性质 以及勾股定理等 设计意图 设计意图 在立体图形中求线段的长度 往往采用展开图来完成 跟踪练习跟踪练习 4 4 7 如图 A B两个小集镇在河流CD的同侧 分别到河的距离为AC 10 千米 BD 30 千米 且CD 30 千米 现在要在河边建一自来水厂 向A B两镇供水 铺设水管的费用为 每千米 3 万 请你在河流CD上水厂的位置M 使铺设水管的费用最节省 并求出总费用是 多少 8 在杯内离杯底 4cm 的点C处有一滴蜂蜜 此时一只蚂蚁正好在杯外壁 离杯上沿 4cm 与蜂蜜相对的点A处 则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm 解析解析 将圆柱展开 2 182 1244 15AB 答案答案 15 点评点评 本题考查圆柱的侧面展开为矩形 关键是在矩形上找出A和B两点的位 置 据 两点之间线段最短 得出结果 化曲面为平面 利用勾股定理解决 要注 意展开后有一直角边长是 9cm 而不是 18 cm 实际效果 实际效果 第 8 题有难度 学生完成情况不好 9 考点五考点五 勾股定理与旋转勾股定理与旋转 例例 5 5 2012 四川省充 如图 四边形ABCD中 BAD BCD 90 AB AD 若 四边形ABCD的面积是 24cm2 则AC长是 cm 解析解析 过点A作AE BC于点E AF CD交CD的延长线于点F 则 ABE ADF 得 AE AF 进一步证明四边形AECF是正方形 且正方形AECF与四边形ABCD的面积相等 则 242 6 AE 所以222 64 3ACAE 答案答案 4 3cm 设计意图 设计意图 本题考查了三角形的全等变换 正方形的性质以及勾股定理 解 题的关键是正确的做出旋转的全等变换 将四边形的问题转化成正方形的问题来解决 跟踪练习跟踪练习 5 5 9 如图 等腰直角三角形ABC的直角边AB的长为 6cm 将 ABC绕点A逆时针旋转 15 后得到 AB C 则图中阴影部分面积 等于 cm2 实际效果 通过在图形中找旋转图形的不变性 掌握很好 考点六考点六 勾股定理中的易错问题勾股定理中的易错问题 例例 6 6 2012 安徽 在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点 分别沿斜边中 点与这两点的连线剪去两个三角形 剩下的部分是如图所示的直角梯形 其中三边长分别 为 2 4 3 则原直角三角形纸片的斜边长是 A 10 B 4 5 C 10 或4 5 D 10 或2 17 解析解析 考虑两种情况 要分清从斜边中点向哪个边沿着垂线段过去裁剪的 解答 如下图 2222 22 44 4 5 23 44 10 故选C 设计意图 设计意图 在几何题没有给出图形时 有的同学会忽略掉其中一种情况 错选A或 B 故解决本题最好先画出图形 运用数形结合和分类讨论的数学思想进行解答 避免出现 漏解 10 跟踪练习跟踪练习 6 6 10 下列各组数据中的三个数 可作为三边长构成直角三角形的是 A 1 2 3 B 32 42 52 C 1 2 3 D 3 4 5 错解 错解 选 B 正解 正解 因为 222 1 2 3 故选 C 点拨 关键找清较小两条边的平方是不是最大的边的平方 11 在 ABC中 A B C的对边分别为 a b c 且 2 ab abc 则 A A为直角 B C为直角 C B为直角 D 不是直角三角形 错解 错解 选 B 正解 正解 选 C 分析 分析 该题中的条件应转化为 222 abc 即 222 abc 因根据这一公式进行判 断 实际效果 实际效果 第 1 题未能彻底区分勾股定理及其及逆定理 对概念的理解流于表面形式 判 断直角三角形时 应将所给数据进行平方看是否满足 222 abc 的形式 第 2 题有的同学 就习惯性的认为 C就一定表示直角 导致错误 四 四 课堂小结 反思提高课堂小结 反思提高 本节课复习了勾股定理和逆定理 这节课你的收获有哪些 还有哪些困惑的地方 印象 最深的是什么 生交流 设计意图 设计意图 通过本节课的交流谈一谈自己的不足 以增加做题的熟练程度和技巧 实际效果 实际效果 从同学们的相互交流可以看出 勾股定理的运用学生印象比较深 学习的 方法灵活多变 总结比较全面 五 当堂达标 反馈矫正五 当堂达标 反馈矫正 1 下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长 不能构成直角三 角形的是 A 3 4 5B 6 8 10C 3 2 5D 5 12 13 2 如图 每个小正方形的边长为 1 ABC的三边a b c的大小关系是 A a c b B a b c C c a b D c by 下列四个说法 22 49xy 2xy 2449xy 49xy 其中说法正确的是 A B