河北省唐山市2012届高三数学下学期第一次模拟试题 理

用心 爱心 专心1 唐山市唐山市 20112011 20122012 学年度高三年级第一次模拟考试学年度高三年级第一次模拟考试 理科数学 说明 一 本试卷共 4 页 包括三道大题 24 道小题 共 150 分 其中 1 21 小题为必做题 22 24 小题为选做题 二 答题前请仔细阅读答题卡上的 注意事项 按照 注意事项 的规定答题 三 做选择题时 每小题选出答案后 用 2B 铅第把答题卡上对应题目的标号涂黑 如需改 动 用橡皮将原选涂答案擦干净后 再选涂其他答案 四 考试结束后 将本试卷与原答题卡 并交回 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 有且 只有一项符合题目要求 1 复数 A 1 2i B 1 2i C 2 i D 2 i 2 在的展开式中 常数项为 A 36 B 36 C 84 D 84 3 已知命题则为 A B C D 4 函数的图象可以由函数的图象 A 向左平移个单位得到 B 向右平移 个单位得到 C 向左平移 个单位得到 D 向右平移个单位得到 5 已知 则 A 3 B 4 C 3 5 D 4 5 6 等比数列 an 的公比 则 A 64 B 31 C 32 D 63 7 己知某几何体的三视图如图所示 则其表面积为 A B C 2 D 8 用心 爱心 专心2 8 算法如图 若输入 m 210 n 119 则输出的 n 为 A 2 B 3 C 7 D 11 9 在中 则 A 10 B 10 C 4 D 4 10 点 A B C D 均在同一球面上 其中是正三角形 AD 平面 ABC AD 2AB 6 则 该球的体积为 A B C D 11 抛物线的焦点为 F 点 A B C 在此抛物线上 点 A 坐标为 1 2 若点 F 恰为 的重心 则直线 BC 的方程为 A x y 0 B 2x y 1 0 C x y 0 D 2x y 1 0 12 定义在 R 上的奇函数满足 当时 又 则集合 等于 A B C D 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 设变量 x y 满足约束条件则的最大值为 14 函数的值域是 15 在数列中 则数列的通项 16 的一个顶点 P 7 12 在双曲线上 另外两顶点 F1 F2 为该双曲线的左 右焦点 则的内心坐标为 三 解答题 本大 共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步驟 17 本小题满分 12 分 在 中 角 A B C 的对边分别为 a b c A 2B 用心 爱心 专心3 I 若 求的值 II 若 C 为钝角 求 的取值范围 18 本小题满分 12 分 某媒体对 男女同龄退佈 这一公众关注的问题进行 了民意调査 右表是在某单位得到的数据 人数 I 能否有 90 以上的把握认为对这一问题的看法与性 别有关 II 进一步调查 i 从赞同 男女同龄退休 16 人中选出 3 人进行陈述发言 求事件 男士和女士各至少 有 1 人发言 的概率 ii 从反对 男女同龄退休 的 9 人中选出 3 人进行座谈 设参加调査的女士人数为 X 求 X 的分布列和均值 附 19 本小题满分 12 分 如图 在三棱柱 ABC A1BlC1 中 CC1 丄底面 ABC 底面是边长为 2 的正 三角形 M N 分别是棱 CC1 AB 的中点 I 求证 CN 平面 AMB1 II 若二面角 A MB1 C 为 45 求 CC1 的长 20 本小题满分 12 分 中心在原点 O 焦点 F1 F2 在 x 轴上的椭圆 E 经过点 C 2 2 且 I 求椭圆 E 的方程 II 垂直于 OC 的直线 l 与椭圆 E 交于 A B 两点 当以 AB 为直径的圆 P 与 y 轴相切时 求 直线 l 的方程和圆 P 的方程 用心 爱心 专心4 21 本小题满分 12 分 设函数 I 讨论 f x 的单调性 II i 若证明 当 x 6 时 ii 若方程 f x a 有 3 个不同的实数解 求 a 的取值范围 请考生在第 22 23 24 三题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题记分 作 答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 AB 是圆 O 的直径 以 B 为圆心的圆 B 与圆 O 的一个交点为 P 过点 A 作直线交圆 O 于点 Q 交圆 B 于点 M N I 求证 QM QN II 设圆 O 的半径为 2 圆 B 的半径为 1 当 AM 时 求 MN 的长 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点 O 为极点 x 轴正半轴为极轴 并在两种坐标系中取相同的长度单位 已知直线 l 的参数方程为 t 为参数 曲线 C 的极坐标方程为 I 求曲线 C 的直角坐标方程 II 设直线 l 与曲线 C 相交于 A B 两点 当 a 变化时 求 AB 的最小值 24 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 设 I 求不等式的解集 S II 若关于 x 不等式有解 求参数 t 的取值范围 唐山市 2011 2012 学年度高三年级第一次模拟考试 理科数学参考答案 选择题 用心 爱心 专心5 A 卷 ADCDCDACBABB B 卷 BCDABDDCABCA 二 填空题 13 5 14 1 1 15 n2 16 1 3 2 三 解答题 17 解 B 0 cosB 1 分 A 2 21 sin2B 2 5 5 A 2B sinA 2sinBcosB cosA cos2B 1 2sin2B 3 分 4 5 3 5 cosC cos A B cos A B sinAsinB cosAcosB 5 分 2 5 25 A 2B C 3B 又 C 3B 0 B 7 分 2 2 6 由正弦定理 得 c b sinC sinB sin 3B sinB sin3B sinB sin 2B B sinB sin2BcosB cos2BsinB sinB 2cos2B cos2B 4cos2B 1 10 分 2sinBcos2B cos2BsinB sinB cosB 1 2 3 3 2 c b 故 的取值范围是 2 3 12 分 c b 18 解 K2 2 932 2 706 25 5 3 6 11 2 16 9 11 14 由此可知 有 90 的把握认为对这一问题的看法与性别有关 3 分 记题设事件为 A 则 所求概率为 P A 7 分 C1 5C 2 11 C2 5C 1 11 C 3 16 11 16 根据题意 X 服从超几何分布 P X k k 0 1 2 3 Ck 3C3 k6 C3 9 X 的分布列为 X0123 P 5 21 15 28 3 14 1 84 10 分 X 的均值 E X 0 1 2 3 1 12 分 5 21 15 28 3 14 1 84 用心 爱心 专心6 19 解 设 AB1 的中点为 P 连结 NP MP CMAA1 NPAA1 CMNP 1 2 1 2 CNPM 是平行四边形 CN MP CN 平面 AMB1 MP 平面 AMB1 CN 平面 AMB1 4 分 如图 以 C 为原点 建立空间直角坐标系 C xyz 使 x 轴 y 轴 z 轴分别与 同向 NA CN CC1 则 C 0 0 0 A 1 0 B 1 0 33 设 M 0 0 a a 0 则 B1 1 2a 3 1 a 1 a MA 3 MB1 3 0 0 a 6 分 CM 设平面 AMB1 的法向量 n x y z 则 n 0 n 0 MA MB1 即 x 3y az 0 x 3y az 0 则 y 0 令 x a 则 z 1 即 n a 0 1 8 分 设平面 MB1C 的一个法向量是 m u v w 则 m 0 m 0 MB1 CM 即 u 3v aw 0 aw 0 则 w 0 令 v 1 则 u 即 m 1 0 10 分 33 所以 cos m n 3a 2 a2 1 依题意 m n 45 则 解得 a 3a 2 a2 1 2 22 所以 CC1 的长为 2 12 分 2 20 解 设椭圆 E 的方程为 1 a b 0 则 x2 a2 y2 b2 1 1 分 4 a2 4 b2 记 c 不妨设 F1 c 0 F2 c 0 则 a2 b2 c 2 2 c 2 2 则 8 c2 2 c2 6 即 CF1 CF2 CF1 CF2 a2 b2 6 由 得 a2 12 b2 6 B A C A1 B1C1 M N P x z y 用心 爱心 专心7 所以椭圆 E 的方程为 1 4 分 x2 12 y2 6 也可通过 2a 求出 a CF1 CF2 依题意 直线 OC 斜率为 1 由此设直线 l 的方程为 y x m 代入椭圆 E 方程 得 3x2 4mx 2m2 12 0 由 16m2 12 2m2 12 8 18 m2 得 m2 18 记 A x1 y1 B x2 y2 则 x1 x2 x1x2 6 分 4m 3 2m2 12 3 圆 P 的圆心为 半径 r x1 x2 x1 x2 2 y1 y2 2 2 2 2 2 x1 x2 2 4x1x2 当圆 P 与 y 轴相切时 r 则 2x1x2 x1 x2 2 x1 x2 2 4 即 m2 9 18 9 分 2 2m2 12 3 4m2 9 当 m 3 时 直线 l 方程为 y x 3 此时 x1 x2 4 圆心为 2 1 半径为 2 圆 P 的方程为 x 2 2 y 1 2 4 同理 当 m 3 时 直线 l 方程为 y x 3 圆 P 的方程为 x 2 2 y 1 2 4 12 分 21 解 f x e x x2 a 2 x 2a e x x 2 x a 1 分 1 若 a 2 则 f x 0 f x 在 单调递减 2 分 2 若 0 a 2 当 x 变化时 f x f x 的变化如下表 x a a a 2 2 2 f x 0 0 f x 极小值 ae a 极大值 4 a e 2 此时 f x 在 a 和 2 单调递减 在 a 2 单调递增 3 分 3 若 a 2 当 x 变化时 f x f x 的变化如下表 x 2 2 2 a a a f x 0 0 f x 极小值 4 a e 2 极大值 ae a 此时 f x 在 2 和 a 单调递减 在 2 a 单调递增 4 分 若 a 0 则 f x x2e x f x 即 x3 ex 1 x 当 x 6 时 所证不等式等价于 x 3lnx 设 g x x 3lnx 当 x 6 时 g x 1 0 g x 单调递增 3 x 有 g x g 6 3 2 ln6 0 即 x 3lnx 故当 x 6 时 f x 6 分 1 x 根据 用心 爱心 专心8 1 若 a 2 方程 f x a 不可能有 3 个不同的实数解 7 分 2 若 0 a 2 令解得 0 a 8 分 0 a 2 ae a a 4 a e 2 a 4 e2 1 当 x 6 时 f x e x x2 ax a e x x2 a x 1 x2e x 1 x 则当 x 6 且 x 时 f x a 1 a 又 f 0 a 所以当 0 a 时 方程 f x a 有 3 个不同的实数解 10 分 4 e2 1 3 若 a 2 时 由于 f a ae a a 方程 f x a 不可能有 3 个不同的实数解 11 分 综上 a 的取值范围是 0 12 分 4 e2 1 22 解 连结 BM BN BQ BP B 为小圆的圆心 BM BN 又 AB 为大圆的直径 BQ MN QM QN 4 分 AB 为大圆的直径 APB 90 AP 为圆 B 的切线 AP2 AM AN 6 分 由已知 AB 4 PB 1 AP2 AB2 PB2 15 又 AM 15 MN 10 3 10 3 10 3 MN 10 分 7 6 23 解 由 得 sin 2 2 cos 2cos sin2 所以曲线 C 的直角坐标方程为 y2 2x 4 分 将直线 l 的参数方程代入 y2 2x 得 t2sin2 2tcos 1 0 设 A B 两点对应的参数分别为 t1 t2 则 t1 t2 t1t2 7 分 2cos sin2 1 sin2 AB t1 t2 t1 t2 2