人口指数增长模型和Logistic模型

根据美国人口从 1790 年到 1990 年间的人口数据 如下表 确定人口指数增长 模型和 Logistic 模型中的待定参数 估计出美国 2010 年的人口 同时画出拟 合效果的图形 表 1 美国人口统计数据 年 份 1790180018101820183018401850 人口 106 3 95 37 29 612 917 123 2 年 份 1860187018801890190019101920 人口 106 31 438 650 262 976 092 0106 5 年 份 193019401950196019701980 人口 106 123 2 131 7 150 7 179 3 204 0 226 5 提示 提示 指数增长模型 rt extx 0 Logistic 模型 0 11 m rt m x x t x e x 解 模型一解 模型一 指数增长模型 Malthus 模型的基本假设下 人口的增长率为常数 记为 r 记时刻t的人口为 即为模型的状态变量 且初始时刻的 tx tx 人口为 因为由假设可知 经拟合得到 0 x 0 0 xx rx dt dx 0 rt x tx e 2 12 00 10 120 ln ln ln ln rt a yatax tx ex txrt ra xeyx t ar ax 程序 t 1790 10 1980 x t 3 9 5 3 7 2 9 6 12 9 17 1 23 2 31 4 38 6 50 2 62 9 76 0 92 0 106 5 123 2 131 7 150 7 179 3 204 0 226 5 y log x t a polyfit t y 1 r a 1 x0 exp a 2 x1 x0 exp r t plot t x t r t x1 b 结果 a 0 0214 36 6198 r 0 0214 x0 1 2480e 016 所以得到人口关于时间的函数为 其中 x0 1 2480e 016 0 0214 0 t x tx e 输入 t 2010 x0 1 2480e 016 x t x0 exp 0 0214 t 得到 x t 598 3529 即在此模型下到 2010 年人口大约为 598 3529 6 10 17801800182018401860188019001920194019601980 0 50 100 150 200 250 300 350 模型二 模型二 阻滞增长模型 或 Logistic 模型 由于资源 环境等因素对人口 增长的阻滞作用 人口增长到一定数量后 增长率会下降 假设人口的增长率 为 x 的减函数 如设 其中 r 为固有增长率 x 很小时 1 m xxrxr 为人口容量 资源 环境能容纳的最大数量 于是得到如下微分方程 m x 0 0 1 xx x x rx dt dx m 建立函数文件建立函数文件 curvefit fun2 m function f curvefit fun2 a t f a 1 1 a 1 3 9 1 exp a 2 t 1790 在命令文件在命令文件 main mmain m 中调用函数文件中调用函数文件 curvefit fun2 mcurvefit fun2 m 定义向量 数组 x 1790 10 1990 y 3 9 5 3 7 2 9 6 12 9 17 1 23 2 31 4 38 6 50 2 62 9 76 92 106 5 123 2 131 7 150 7 179 3 204 226 5 251 4 plot x y x y 画点 并且画一直线把各点连起来 hold on a0 0 001 1 初值 最重要的函数 第 1 个参数是函数名 一个同名的 m 文件定义 第 2 个参 数是初值 第 3 4 个参数是已知数据点 a lsqcurvefit curvefit fun2 a0 x y disp a num2str a 显示结果 画图检验结果 xi 1790 5 2020 yi curvefit fun2 a xi plot xi yi r 预测 2010 年的数据 x1 2010 y1 curvefit fun2 a x1 hold off 运行结果 运行结果 a 311 9531 0 02798178 y1 267 1947 其中 a 1 a 2 分别表示中的和 y1 则是对美国 0 11 m rt m x x t x e x m xr 美国 2010 年的人口的估计 1750180018501900195020002050 0 50 100 150 200 250 300 第二题 第二题 问题重述 问题重述 一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生 打算按照放生的鱼的重量给与 鼓励 俱乐部只准备了一把软尺用于测量 请你设计按照测量的长度估计鱼的 重量的方法 假定鱼池中只有一种鲈鱼 并且得到 8 条鱼的如下数据 胸围指 鱼身的最大周长 身长 cm 36 831 843 836 832 145 135 932 1 重量 g 76548211627374821389652454 胸围 cm 24 821 327 924 821 631 822 921 6 问题分析 问题分析 鲈鱼的体重主要与鱼的身长 胸围有关系 一般来说 鲈鱼的胸围越大 鱼的体重会越重 身长越长 体重也越重 但鱼的胸围与身长之间又有些必然 的联系 共同影响鱼的体重 建模的目的是寻求鲈鱼体重与身长 胸围之间的 数量规律 模型假设 模型假设 1 鲈鱼的身长越长体重越重 体重与身长存在正相关关系 2 鲈鱼的胸围越大体重也越重 体重与胸围存在正相关的关系 3 鲈鱼的胸围 身长互相影响 共同作用鲈鱼的体重 4 鲈鱼的形态近似为与胸围等周长与身长等高的圆柱体 符号说明 符号说明 L鲈鱼的身长 C鲈鱼的胸围 W鲈鱼的体重 模型的建立及求解 模型的建立及求解 一 鲈鱼体重与身长模型的确立 为了研究鲈鱼身长与体重的关系 我们利用已测量的数据 取出身长及体 重的数据 利用 MATLAB 软件画出散点图 如下 303234363840424446 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 从图形上看 鲈鱼的体重与身长可能是二次函数关系 我们利用多项式拟 合的方法 得到 2 1 6247 L 59 3124 L 709 7392W 1 根据拟合的函数 我们画出拟合图 3032343638404244464850 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 与 与 与 与 与 与 与 与 从拟合图上看 大部分原始数据在拟合函数附近 说明用二次函数拟合的效果 较好 下面利用得出的函数对鱼的体重进行估计 用相对误差检验拟合度 得 到下表 表一 鲈鱼体重实际值与估计值对比及误差表 身长 cm 31 832 132 135 936 836 843 845 1 重量 g 48248245465273776511621389 拟合值 g 466 6479 9479 9674 4727 3727 31228 81339 4 相对误 差 3 20 445 73 444 935 753 570 86 从表中的数据 我们可以得出鲈鱼体重的实际值与估计值的相对误差不大 说明用二次函数拟合鲈鱼身长与体重的关系式可行的 二 鲈鱼体重与胸围的模型确立 仅仅考虑鲈鱼胸围对体重的影响 我们采用与模型一相同的方法 先画出 鲈鱼体重与胸围的散点图 20222426283032 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 从图形上看 鲈鱼体重与胸围可能成线性关系 利用多项式拟合的方法 我们 得到鲈鱼体重与胸围的函数表达式 2 92 C 1497 5W 根据拟合函数 2 画出胸围与体重关系的拟合图 2022242628303234363840 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 与 与 与 与 与 与 与 与 利用拟合函数及实际数据 求出实际值与拟合值得相对误差表 表二 鲈鱼体重实际值与估计值对比及误差表 胸围 cm 21 321 621 622 924 824 827 931 8 重量 g 48248245465273776511621389 拟合值 cm 462 1489 7489 7609 3784 1784 11069 31428 1 相对误 差 4 131 607 866 556 392 507 982 81 从鲈鱼胸围与体重的拟合图 及表二中的数据 我们可以得出用线性函数 拟合胸围与体重的关系拟合程度高 鲈鱼体重的实际值与估计值的相对误差不 大 说明用线性函数拟合鲈鱼身长与体重的关系式可行的 三 建立体重与身长 胸围相互影响的模型 实际情况下 鲈鱼的体重不可能只由身长 胸围单方面影响 因此考虑建 立身长 胸围共同作用体重的模型 此模型的建立是基于假设 4 即 鲈鱼的体态用与胸围等周长 与身 长等高的圆柱形来近似 因为圆柱体的体积等于底面积乘高 底面积可以用周 长表示 因此可以分析得出 又物体质量等于密度与体积的乘积 4 2 C 2 LCW 因此只需根据数据求出密度即可 于是身长 胸围与体重的关系可以表示为 问题转化为对系数的求解 根据已知数据 利用 MATLAB 软件求 2 LCW 解 得到 0 0327 3 因此 2 0327 0 LCW 4 利用得出