福建省福鼎一中高一数学 培优教材（5）素材 新人教版

用心 爱心 专心1 福鼎一中高一年段数学培优教材第五讲福鼎一中高一年段数学培优教材第五讲 平面向量 平面向量 1 1 一 基础知识 1 向量的运算 加法 ABBCAC 设 1122 axybxy 则 1212 abxxyy 减法 ABACCB 设 1122 axybxy 则 1212 abxxyy 实数与向量的积 向量a 与a 的关系 设 axy 则 axyR 22 axyaa 2 2 aa aa 向量的数量积 cos a bab 是a 与b 的夹角 设 1122 axybxy 则 1212 a bx xy y 2 向量的关系 不等关系 ababab a bab 注意等号的条件 设 1122 0axybxyb 则ab A ab 1221 0abx yx y A 1212 0 0aba babx xy y 3 平面向量的基本定理 如果 12 ee 是同一平面内的不共线向量 那么对于这个平面内的任一向量a 有且只 有一对实数 使 12 aee 相关结论 如果 12 ee 是同一平面内的不共线向量 且 12 0ee 则0 点 O A B C 在同一平面内 A B C 共线的充要条件是 1 OAxOByOCxy 4 常用公式 2222 2 2 abaa bbababab ABC 中 M 为 BC 边的中点 G 为重心 则 1 0 0 2 ABBCCAAMABACGAGBGC 二 综合应用 例 1 求证 三角形的三条中线交于一点 例 2 设ABC 外心为 O 取点 M 使OAOBOCOM 求证 M 是ABC 的垂心 且此三角形的外心 垂 心 重心在一条直线上 例 3 在三角形 ABC 中 点 M 分AB 所成的比为 2 点 N 分AC 所成的比为 3 2 设线段 CM 和 BN 交于点 P 直线 AP 和 BC 的交点为 Q 且 ABaACb 用 a b 表示 AP AQ 用心 爱心 专心2 F H M D C B A 60 y x o 例 4 已知 O 为ABC 内一点 150 90AOBBOC 设 OAa OBb OCc 且 2 1 3abc 试用 a b 表示c 例 5 1 已知ABC 三个顶点 A B C 及平面内一点 P 若PAPBPCAB 则点 P 在 A ABC 内部 B ABC 外部 C 在直线 AB 上 D 在直线 AC 上 2 O 是平面上一 定点 A B C 是平面上不共线的三个点 动点 P 满足 0 ABAC OPOA ABAC 则 P 的轨迹一定通过 ABC 的 A 外心B 内心C 重心D 垂心 3 在四边形 ABCD 中 设ABa BCb CDc DAd 若a bb cc dd a 则该四边 形一定是 A 矩形 B 正方形 C 菱形 D 等腰梯形 三 强化训练 1 已知 A B C 三点在同一直线上 O 在直线外 OAa OBb OCc 且存在实数k 使 250akbc 成立 求点 C 分BA 所成的比 及k的值 2 若 P 分有向线段AB 所成的比为 1 则有 1 OAOB OP 3 已知 1 2 3 2 ab 当k为何值时 1 kab 与3ab 平行 平行时是否同向 2 kab 与3ab 垂直 4 如图 在平行四边形 ABCD 中 1 4 AHHD BFMCBC 设 ABaADb 以 a b 为基底表示 AMMHAFMD 5 设 O 为ABC 内一点 且满足230OAOBOC 求 ABCAOC SS 6 ABC 中 M 是 AB 的中点 E 是 CM 的中点 延长 AE 交 BC 于 F 作 MH AF 求证 BH HF FC 7 如图 在平面斜坐标系 60 xOyxOy 中 平面上任一点 P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的 若 12 opxeye 其中 12 e e 分别为与x轴y轴同方向的单位向量 则 p 点斜坐标为 x y 若 p 点斜坐标为 2 2 求 p 到 O 的距离 PO 8 已知向量 2 ux yvyyx 的对应关系用 vf u 表示 1 证明 对任意向量 a b 及常数 m n 恒有 f manbmf anf b 成立 2 设 1 1 1 0 ab 求向量 f af b 的 坐标 3 求使 f cp qp q 为常数 的向量c 的坐标 用心 爱心 专心3 A B C O 参考答案 例 1 略 例 2 22 0AM BCOMOA OCOBOCOB OCOBOCOB 0 0 GAGBGBOAOGOBOGOCOG 3 3 OAOBOCOGOMOGOMG 三点共线 说明 ABC 外心为 O 取点 M 使OAOBOCOM 成立的充要条件是 M 为ABC 的垂心 例 3 45 45APabAQab 例 4 如图建立直角坐标系 3133 3 2 0 2222 ABC 3133 3 2 0 2222 abc 设3 3 3cab 例 5 1 D 2 B 3 A 强化练习 1 1