江苏省金湖县实验中学八年级数学上册 第十六章《16.1 平行四边形》复习教案 华东师大版

1 第十六章第十六章 16 1 16 1 平行四边形平行四边形 复习 复习 同步教育信息同步教育信息 一 本周教学内容 平行四边形 复习 学习要求 1 理清本章的知识脉落 落实各个知识点 2 学会逻辑推理的方法 二 重点 难点 学习重点 平行四边形及特殊平行四边形的性质及识别方法 学习难点 在做题过程中学会使用逻辑推理的方法 学习内容学习内容 一 知识结构 四边形 平行 两组对边分别 平行四边形 有一直角 矩形 邻边相等 邻边相等 菱形 有一直角 正方形 对边平行 只有一组 梯形 两腰相等 等腰梯形 一腰垂直于底 直角梯形 四边形 平行四边形 菱形 正方形 矩形 梯形 等腰 梯形 直角 梯形 二 具体知识点的梳理 1 平行四边形 1 定义 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 2 2 性质 平行四边形的对边相等 平行四边形的对角相等 平行四边形的对角线互相平分 3 识别方法 用定义识别 从边看 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 从边看 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 从边看 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 从角看 对角线互相平分的四边形是平行四边形 从对角线看 4 平行四边形的知识运用包括三个方面 直接用平行四边形的性质去解决问题 求角 线段 证明角相等 互补 证明线段 相等或倍分 判定一个四边形是平行四边形 从而判定两直线平行 先判定一个四边形是平行四边形 再用平行四边形的性质去解决某问题 2 矩形 1 定义 有一个角是直角的平行四边形是矩形 2 性质 矩形的四个内角都是直角 矩形的对角线相等且互相平分 除上面两条以外 它还有平行四边形的一切性质 3 矩形的识别方法 有一个角是直角的平行四边形 对角线相等的平行四边形 有三个角是直角的四边形 3 菱形 1 定义 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 2 性质 菱形的四条边都相等 菱形的对角线互相垂直平分且每一条对角线平分一组对角 菱形的面积 底 高 对角线乘积的一半 它还拥有平行四边形的一切性质 3 判定方法 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 四边都相等的四边形是菱形 4 正方形 1 定义 有一个角是直角的菱形是正方形 3 有一组邻边相等的矩形是正方形 2 性质 它拥有四边形 平行四边形 菱形 矩形的一切性质 正方形的一条对角线将其分成两个全等的等腰直角三角形 两条对角线将其分成四个全等的等腰直角三角形 3 判定方法 一组邻边相等 一个角是直角的平行四边形是正方形 一组邻边相等的矩形是正方形 一个角是直角的菱形是正方形 既是菱形又是矩形的四边形是正方形 4 梯形 1 定义 只有一组对边平行的四边形是梯形 两腰相等的梯形是等腰梯形 有一个 角是直角的梯形是直角梯形 2 等腰梯形的性质 等腰梯形同一底边上的两个内角相等 等腰梯形的两条对角线相等 典型例题典型例题 例 1 如图 1 在平行四边形 ABCD 中 对角线 AC 21cm BE AC 垂足为 E 且 BE 5cm AD 7cm 试求 AD 与 BC 之间的距离 DC BA E 图1 分析 分析 此题看似无法求解 但注意观察告知 AD 之长 又求 AD 与 BC 之间距离 而 AD AD 与 BC 间的距离 S平行四边形 ABCD 因而我们可以想到用面积法求解 只需找到平行四 边形的另外一种面积表示方法即可 解 解 在中 ACBBE AC 故SAC BE ABC 1 2 1 2 215 而 平行四边形 SS ABCDABC 2215 又与之间的距离 平行四边形 SADADBC ABCD 故与之间的距离 平行四边形 ADBC S AD cm ABCD 215 7 15 例 2 如图 2 在平行四边形 ABCD 中 AE BD 于 E CF BD 于 F 四边形 AECF 是平行四 边形吗 4 D CB A F 图2 E 分析 分析 这里 AE BD CF BD 可知 AE CF 但要说明四边形 AECF 是平行四边形 还 需 AE CF 由于SBD AE ABD 1 2 SBD CF BCD 1 2 而SS ABDBCD 可知AECF 解 解 四边形 AECF 是平行四边形 因为 AE BDCF BD 故AECF 而在和中 A BDCD SBD AE ABD 1 2 SBD CF BCD 1 2 而四边形是平行四边形 故ABCDSS ABDBCD 故有 1 2 1 2 BD AEBD CF AE CF 刚才已证明 AE CF 故四边形 AECF 是平行四边形 例 3 如图 3 在平行四边形 ABCD 中对角线 AC BD 相交于点 O M N P Q 分别是 OA OB OC OD 的中点 试说明四边形 MNPQ 是平行四边形 DC QP O MN AB 图3 分析 分析 此题中中点较多 而且还与角平分线有关 故可以思考从角平分线互相平分的 角度入手进行说明 解 解 在平行四边形 ABCD 中 DB AC 是对角线 而 M N P Q 分别是 OA OB OC OD 的中点 5 故有OMAMOA 1 2 OPPCOC 1 2 而在平行四边形中 ABCDAOOC 故 1 2 1 2 OAOC 即有OMOP 同理 OQ ON 即在四边形 MNPQ 中 其对角线互相平分 因此四边形 PQMN 是平行四边形 例 4 如图 4 D E F 分别在三角形 ABC 的边 BC AB AC 上 且 DE AF DE AF G 在 FD 的延长线上 DG DF 试说明 AG 和 ED 互相平分 A E F B DC G 图4 分析 分析 要说明两条线段互相平分 最好的方法之一是说明这两条线段为一个平行四边 形的对角线 从而将问题转化为平行四边形的识别问题了 解 解 在中 ABCDEAFDEAF 故四边形 DEAF 是平行四边形 所以 AE DF A E DF 又 DG DF 故 AE DG 而 AE DF 故 AE DG 所以四边形 AEDG 是平行四边形 故其对角线 ED AG 互相平分 例 5 如图 5 在平行四边形 ABCD 中 AB 2BC M 为 AB 的中点 说明 CM DM D NC AM B 图5 分析 分析 DM CM 直接证明较有困难 但观察题目中有 AB 2BC M 是中点 可使我们想 6 到过 M作 MN AD 从而得到菱形 从菱形的对角线垂直入手 解 解 过 M 作 MN AD 交 DC 于 N 连结 AN 因为 且MN ADDN AMAD 1 2 ABAM 故四边形 AMND 是菱形 于是 AN 与 DM 是互相垂直的 又由于 NC AM NC AM 故四边形 NCAM 是平行四边形 于是 MC AN 而 故AN DMDM MC 例 6 已知 如图 6 MN PQ 同旁内角的平分线 AB CB 和 AD CD 分别相交于点 B D 猜想 AC 和 BD 之间的关系 为什么 M AN B D PCQ 图6 分析 分析 初从图形看 AC 可能与 BD 相等 而题目中有很多的角平分线 故可以得到很 多的垂直关系 故可以想象从证明四边形是矩形 从矩形入手 解 解 因为 平分 平分 MNPQABMAC BCACP 故 BACBCAMACPCA 1 2 1 2 1 2 18090 于是 ABC90 同理 ADC90 又 BACCAMDACCAN 1 2 1 2 故 BACDACCAMCAN 1 2 90 即 BAD90 同理 BCD90 于是四边形 ABCD 是矩形 AC 和 BD 相等 例 7 如图 7 在 ABC 中 ACB 90 BAC ABC 的平分线相交于点 O OD AC OE BC 垂足分别为 D E 试说明四边形 CDOE 为正方形 7 C D E O AF B 图7 分析 分析 先说明四边形是矩形 由于角平分线较多 且有距离 故可知用角平分线的性 质即可求解 解 解 OD ACOE BC 故可知 CDOCEO9090 而 ACB90 故四边形 ODEC 是矩形 又平分 平分 且 OACABOBCBAOD ACOE BC 如果作OF AB 于是 OD OF OF OE 角平分线上的点到角两边距离相等 OD OE 于是四边形 ODEC 是正方形 例 8 如图 8 梯形 ABC D E 为一腰 AB 的中点 AD BC DE CE 试说明 CD BC AD AD E FB C 分析 分析 梯形 ABCD E 为一腰 AB 的中点 将 AED 绕点 E 旋转到 BEF 的位置 拼成 DFC 把问题转化于三角形中解决 解 解 将绕点 逆时针旋转后 得 A EDEFB180 故 EF ED AD BF 又因为CE ED 故是和的对称轴 CECDECFE 故 CD CF 而 CF FB CB AD BC 故 CD AD BC 本课小结 本课小结 1 本课详细整理了几个特殊图形及平行四边形的性质 并且还将其识别方法罗列出来 8 请同学们在做题时针对不同的题目作恰当的选择 2 在图形的性质和图形的识别中 要注意清楚逻辑关系 不要在进行识别时用了图形的 性质 3 本课有的例题中引了辅助线 辅助线的作法有多种 只要能帮助解决问题 而且能迅 速解决问题 都是最好的方法 模拟试题模拟试题 1 如图 平行四边形 ABCD 中 E 在 AC 上 AE 2EC F 在 AB 上 BF 2AF 如果 S BEF 2 则S ABCD平行四边形 的面积是 AD F BC E 2 如图 在平行四边形 ABCD 中 G 是 CD 上一点 BG 交 AD 的延长线于点 E AF CG DGE100 1 试说明 DF BG 2 求 AFD的度数 E G C D AF B 3 如图 平行四边形 ABCD 中 AE BF 分别平分 DABABC 试确定四边形 ABEF 是菱形 AFD O BEC 4 如图 将平行四边形 ABCD 沿 AC 折叠 点 B 落在B 处 AB 交 DC 于点 M 求证 折 叠后重合的部分是等腰三角形 9 A B M B C D 5 如图 矩形 ABCD 中 CM BD 垂足为 M AN 平分 BAD 交 MC 的延长线于点 E 请问 AC CE 吗 为什么 A D M O N H B C E 10 试题答案试题答案 1 解 解 在中 故 A BEAFBFSS AEFBEF 1 2 1 2 1 2 21 故S AEB 213 又在中 知 A BCECAESS BECABE 1 2 1 2 1 2 3 3 2 故SSS BCABEBEC A 3 3 2 9 2 故 平行四边形 SS ABCDABC 22 9 2 9 2 解 解 1 在平行四边形 ABCD 中 DC AB DC AB 又 GC AF 故 而 DGDCGCABAFFB DGBF 故四边形 DGBF 是平行四边形 DF BG 2 又 DGE100 故 DFB100 AFD80 3 解 解 在平行四边形 ABCD 中 BF 平分 ABE 有 ABFFBE 而AFBE 有 AFBFBE ABFAFB 故 AB AF 同理 EB EF 又 AF BE 知 BAFFAB180 AE 平分 BAF FB 平分 ABE 故 BAEABF90 得AE BFAOBEOB 90 故而在 AOB和 BDE中 BAOABCAOB