第七章　直线和圆的方程阶段质量检测

1 第七章第七章 直线和圆的方程直线和圆的方程 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 2009 安徽高考 直线 l 过点 1 2 且与直线 2x 3y 4 0 垂直 则 l 的方程是 A 3x 2y 1 0 B 3x 2y 7 0 C 2x 3y 5 0 D 2x 3y 8 0 解析 由直线 l 与直线 2x 3y 4 0 垂直 可知直线 l 的斜率是 由点斜式可得 3 2 直线 l 的方程为 y 2 x 1 即 3x 2y 1 0 3 2 答案 A 2 点 P 1 3 到直线 l y k x 2 的距离的最大值等于 A 2 B 3 C 3 D 2 23 解析 直线 l y k x 2 的方程化为 kx y 2k 0 所以点 P 1 3 到该直线的距离为 d 3 3 3 k 1 k2 1 k2 2k 1 k2 1 1 2k k2 1 由于 1 所以 d 3 即距离的最大值等于 3 2k k2 122 答案 C 3 已知直线 l x y 1 0 l1 2x y 2 0 若直线 l2与 l1关于 l 对称 则 l2的方程 是 A x 2y 1 0 B x 2y 1 0 C x y 1 0 D x 2y 1 0 解析 法一 由Error 得交点 1 0 由 得 k k 2 舍去 1 2 1 2 1 k 1 k 1 2 2 故直线 l2的方程为 y x 1 即 x 2y 1 0 1 2 法二 由对称轴方程 x y 1 0 得 x y 1 y x 1 代入 l1的方程 2x y 2 0 即得 l2的方程 2 y 1 x 1 2 0 即 x 2y 1 0 答案 B 4 直线 x y 0 绕原点按顺时针方向旋转 30 所得直线与圆 x2 y2 4x 1 0 的位 3 置关系是 A 直线与圆相切 B 直线与圆相交但不过圆心 C 直线与圆相离 D 直线过圆心 解析 直线 x y 0 的倾斜角为 150 顺时针旋转 30 后为 120 方程为 y x 33 圆的标准方程为 x 2 2 y2 3 又圆心 2 0 到直线 y x 的距离 d r 3 2 3 23 直线与圆相切 答案 A 5 如果直线 l 把圆 x2 y2 2x 4y 0 平分 且不通过第四象限 那么直线 l 的斜率的 取值范围是 A 0 1 B 0 1 2 C 0 D 0 2 1 2 解析 将圆的方程化为 x 1 2 y 2 2 5 圆心 C 1 2 则过原点 O 和点 C 的直线的斜率为 2 画出图形可得 直线 l 的斜率的取值范围是 0 2 答案 D 6 2009 海南 宁夏高考 已知圆 C1 x 1 2 y 1 2 1 圆 C2与圆 C1关于直线 x y 1 0 对称 则圆 C2的方程为 A x 2 2 y 2 2 1 B x 2 2 y 2 2 1 C x 2 2 y 2 2 1 D x 2 2 y 2 2 1 解析 设点 x y 与圆 C1的圆心 1 1 关于直线 x y 1 0 对称 则 Error 解得Error 从而可知圆 C2的圆心为 2 2 又知其半径为 1 3 故所求圆 C2的方程为 x 2 2 y 2 2 1 答案 B 7 2010 厦门模拟 若点 5 b 在两条平行直线 6x 8y 1 0 与 3x 4y 5 0 之间 则整数 b 的值为 A 5 B 5 C 4 D 4 解析 过点 5 b 且与两直线平行的直线的方程为 3x 4y 4b 15 0 由题意知 b 5 1 8 4b 15 4 5 4 31 8 又 b 是整数 b 4 答案 C 8 若直线 l ax by 1 与圆 C x2 y2 1 有两个不同交点 则点 P a b 与圆 C 的 位 置关系是 A 点的圆上 B 点在圆内 C 点在圆外 D 不能确定 解析 由题意知 d 1 1 a2 b2 从而点 P a b 在圆外 答案 C 9 若平面区域Error 是一个三角形 则 k 的取值范围是 A 0 2 B 2 2 C 2 0 0 2 D 2 2 解析 如图 只有直线 y kx 2 与线段 AB 相交 不包括点 A 或与线段 CD 相交 不 包括点 D 可行域才能构成三角形 故 k 2 0 0 2 答案 C 10 由直线 y x 1 上的一点向圆 x 3 2 y2 1 引切线 则切线长的最小值为 A 1 B 2 2 C D 3 7 4 解析 设 P x0 y0 为直线 y x 1 上一点 圆心 C 3 0 到 P 点的距离为 d 切线长为 l 则 l 当 d 最小时 l 最小 d2 1 当 PC 垂直直线 y x 1 时 d 最小 此时 d 2 2 lmin 2 r 2 2 17 答案 C 11 从原点 O 引圆 x m 2 y 3 2 m2 4 的切线 y kx 当 m 变化时 切点 P 的轨 迹方程是 A x2 y2 4 x 0 B x 3 2 y2 4 x 0 C x 1 2 y 3 2 5 x 0 D x2 y2 5 x 0 解析 圆心为 C m 3 设点 P x y x 0 则 OP 2 PC 2 OC 2 x2 y2 m2 4 m2 32 故所求方程为 x2 y2 5 x 0 答案 D 12 2010 广东五校联考 当点 M x y 在如图所示的三角形 ABC 区域内 含边界 运动 时 目标函数 z kx y 取得最大值的一个最优解为 1 2 则实数 k 的取值范围是 A 1 1 B 1 1 C 1 1 D 1 1 解析 由目标函数 z kx y 得 y kx z 结合图形 要使直线的截距 z 最大的一 个最优解为 1 2 则 0 k kAC 1 或 0 k kBC 1 即 k 1 1 答案 B 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 将答案填在题中横线上 13 已知直线 l1 x 3y 5 0 l2 3kx y 1 0 若 l1 l2与两坐标轴围成的四边形 有 一个外接圆 则 k 解析 由题意知 l1 l2 3k 3 0 k 1 答案 1 14 若过点 A 4 0 的直线 l 与曲线 x 2 2 y2 1 有公共点 则直线 l 的斜率的取值范 5 围 为 解析 法一 由题意可知当斜率不存在时 直线与圆无交点 所以设直线方程为 y k x 4 即 kx y 4k 0 直线 l 与曲线 x 2 2 y2 1 有公共点 圆心到直线的 距离小于等于半径 即 d 1 2k 4k k2 1 得 4k2 k2 1 k2 所以 k 1 3 3 3 3 3 法二 数形结合 画出图形也可以求出 k 的范围 答案 3 3 3 3 15 2009 上海高考改编 点 P 4 2 与圆 x2 y2 4 上任一点连线的中点轨迹方程是 解析 设圆上任一点坐标为 x0 y0 则 x y 4 连线中点坐标为 x y 2 02 0 则Error Error 代入 x y 4 中得 x 2 2 y 1 2 1 2 02 0 答案 x 2 2 y 1 2 1 16 若实数 x y 满足Error 且 z 2x y 的最小值为 3 则实数 b 的值为 解析 由约束条件作出可行域 如图 当平行直线系 y 2x z 经过可行域内的点 A 时 z 取得最小值 b 3 2b 3 6 即 2 3 解之得 b b 3 2b 3 9 4 答案 9 4 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步 骤 17 本小题满分 10 分 求经过两直线 l1 x 2y 4 0 和 l2 x y 2 0 的交点 P 且 与直线 l3 3x 4y 5 0 垂直的直线 l 的方程 解 法一 由方程组Error 得Error 即 P 0 2 l l3 kl 4 3 直线 l 的方程为 y 2 x 4 3 即 4x 3y 6 0 法二 直线 l 过直线 l1和 l2的交点 可设直线 l 的方程为 x 2y 4 x y 2 0 即 1 x 2 y 4 2 0 l 与 l3垂直 3 1 4 2 0 11 直线 l 的方程为 12x 9y 18 0 即 4x 3y 6 0 18 本小题满分 12 分 已知方程 x2 y2 2 m 3 x 2 1 4m2 y 16m4 9 0 表示一 个圆 1 求实数 m 的取值范围 2 求该圆半径 r 的取值范围 3 求圆心 C 的轨迹方程 解 1 由 4 m 3 2 4 1 4m2 2 4 16m4 9 0 得 m 1 1 7 2 r 1 2 D2 E2 4F 1 2 7m2 6m 1 1 2 7 m f 3 7 2 16 7 7 0 r 2 7 7 3 圆心 C 的坐标为 m 3 4m2 1 令Error 消去 m 得 y 4 x 3 2 1 又由 1 知 m 1 1 7 x 4 20 7 圆心 C 的轨迹方程是 y 4 x 3 2 1 x 4 20 7 19 本小题满分 12 分 已知以点 C t t R t 0 为圆心的圆与 x 轴交于点 O A 2 t 与 y 轴交于点 O B 其中 O 为原点 1 求证 OAB 的面积为定值 2 设直线 y 2x 4 与圆 C 交于点 M N 若 OM ON 求圆 C 的方程 解 1 证明 设圆的方程为 x2 y2 Dx Ey 0 由于圆心 C t D 2t E 2 t 4 t 令 y 0 得 x 0 或 x D 2t A 2t 0 令 x 0 得 y 0 或 y E B 0 4 t 4 t S OAB OA OB 1 2 2t 4 定值 1 2 4 t 2 OM ON O 在 MN 的垂直平分线上 而 MN 的垂直平分线过圆心 C kOC 1 2 2 t t 1 2 解得 t 2 或 t 2 而当 t 2 时 直线与圆 C 不相交 t 2 D 4 E 2 圆的方程为 x2 y2 4x 2y 0 20 本小题满分 12 分 已知圆 C x2 y2 2x 4y 3 0 8 1 若不过原点的直线 l 与圆 C 相切 且在 x 轴 y 轴上的截距相等 求直线 l 的方程 2 从圆 C 外一点 P x y 向圆引一条切线 切点为 M O 为坐标原点 且有 PM PO 求点 P 的轨迹方程 解 1 将圆 C 配方得 x 1 2 y 2 2 2 由题意知直线在两坐标轴上的截距不为零 设直线方程为 x y a 0 由 得 a 1 2 1 2 a 22 即 a 1 或 a 3 直线方程为 x y 1 0 或 x y 3 0 2 由于 PC 2 PM 2 CM 2 PM 2 r2 PM 2 PC 2 r2 又 PM PO PC 2 r2 PO 2 x 1 2 y 2 2 2 x2 y2 2x 4y 3 0 即为所求 21 本小题满分 12 分 某工厂生产甲 乙两种产品 计划每天每种产品的生产量不少 于 15 吨 已知生产甲产品 1 吨 需煤 9 吨 电力 4 千瓦时 劳力 3 个 生产乙产品 1 吨 需煤 4 吨 电力 5 千瓦时 劳力 10 个 甲产品每吨的利润为 7 万元 乙产品 每吨的利润为 12 万元 但每天用煤不超过 300 吨 电力不超过 200 千瓦时 劳力只 有 300 个 问每天生产甲 乙两种产品各多少吨 才能使利润总额达到最大 解 设每天生产甲 乙两种产品分别为 x 吨 y 吨 利润总额为 z 万元 则线性约束条件为Error 目标函数为 z 7x 12y 作出可行域如图 作出一组平行直线 7x 12y t 当直线经过直线 4x 5y 200 和直线 3x 10y 300 的交点 A 20 24 时 利润最大 即生产甲 乙两种产品分别为 20 吨 24 吨时 利润总额最大 zmax 7 20 12 24 9 428 万元 22 本小题满分 12 分 已知 m R 直线 l mx m2 1 y 4m 和圆 C x2 y2 8x 4y 16 0 1 求直线 l 斜率的取值范围 2 直线 l 能否将圆 C 分割成弧长的比值为 的两段圆弧 为什么 1 2 解 1 直线 l 的方程可化为 y x m m2 1 4m m2 1