第十章　排列、组合与概率阶段质量检测

1 第十章第十章 排列 组合与概率排列 组合与概率 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 A B C D E 五人排一个 5 天的值日表 每天由一人值日 每人可以值多天或不 值 但相邻的两天不能由同一人值 那么值日表的排法种数为 A 120 B 324 C 720 D 1 280 解析 第一天有 5 种排法 以后各天都有 4 种排法 故总排法为 N 5 4 4 4 4 1 280 种 答案 D 2 在 1 x x2 1 x 10的展开式中 含 x4项的系数是 A 135 B 135 C 375 D 117 解析 1 x x2 1 x 10 1 x3 1 x 9 且 1 x 9的展开式的通项是 Tr 1 C r 9 x r C 1 r xr 因此 1 x x2 1 x 10的展开式中 含 x4项的系数等于 1 C r 94 9 1 4 C 1 1 135 1 9 答案 A 3 2009 湖南高考 从 10 名大学毕业生中选 3 个担任村长助理 则甲 乙至少有 1 人入 选 而丙没有入选的不同选法的种数为 A 85 B 56 C 49 D 28 解析 所有选法分两类 甲 乙恰有一人入选的选法有 C C 42 种 甲 乙都入选 1 2 2 7 的选法有 C 7 种 故不同的选法有 42 7 49 种 故选 C 1 7 答案 C 4 若 C x C x2 C xn能被 7 整除 则 x n 的值可能为 1 n2 nn n A x 4 n 3 B x 4 n 4 C x 5 n 4 D x 6 n 5 解析 注意到 C x C x2 C xn 1 x n 1 能被 7 整除 结合各选项逐一检验 1 n2 nn n 即可 当 x 5 n 4 时 1 x n 1 能被 7 整除 答案 C 2 5 某班级要从 5 名男生 3 名女生中选派 4 人参加某次社区服务 如果要求至少有一 名 女生 那么选派的 4 人中恰好有 2 名女生的概率为 A B 2 7 4 9 C D 5 11 6 13 解析 由已知易知至少有一名女生的情况共有 C C 种 而恰有 2 名女生的情况共 4 84 5 有 C C 种可能 2 32 5 故其概率为 C2 3C2 5 C4 8 C4 5 6 13 答案 D 6 2009 陕西高考 若 1 2x 2009 a0 a1x a2009 x2009 x R 则 a1 2 a2 22 a2009 22009 的值为 A 2 B 0 C 1 D 2 解析 令 x 可得 a0 0 1 2 a1 2 a2 22 a2009 22009 所以 a0 a1 2 a2 22 a2009 22009 再令 x 0 可得 a0 1 因而 1 a1 2 a2 22 a2009 22009 答案 C 7 从 1 2 3 4 5 6 7 这七个数字中任取两个奇数和两个偶数 组成没有重复数字的四位数 其中奇数的个数为 A 432 B 288 C 216 D 108 解析 第一步先从 4 个奇数中取 2 个再从 3 个偶数中取 2 个共 C C 18 种 第二步 2 4 2 3 再把 4 个数排列 其中是奇数的共 A A 12 种 故所求奇数的个数共有 1 2 3 3 18 12 216 3 种 答案 C 8 将一枚硬币连掷 5 次 如果出现 k 次正面的概率等于出现 k 1 次正面的概率 那么 k 的值为 A 0 B 1 C 2 D 3 解析 由 C k5 k Ck 15 k 1k 5 1 2 1 2 k 15 1 2 1 2 即 C C k k 1 5 k 2 k 5k 15 答案 C 9 已知函数 y x 1 令 x 4 3 2 1 0 1 2 3 4 可得函数图象上的九个 点 在这九个点中随机取出两个点 P1 x1 y1 P2 x2 y2 则 P1 P2两点在同一反比 例函数图象上的概率是 A B 1 9 1 18 C D 5 36 1 12 解析 任取两个点有 C 36 种取法 点 P1 P2两点在同一反比例函数图象上有 3 种 2 9 情况 故所求的概率为 1 12 答案 D 10 2010 湖南师大附中模拟 师大附中在高二年级开展农村生活体验活动 现需将其 中的 7 个学生分配到甲 乙 丙三个农户家居住 每家至多住 3 人 则不同的分配 方法共有 A 350 种 B 525 种 C 1050 种 D 2100 种 解析 根据题意有两种分配方案 按 3 3 1 的人数分配到三个农户家 有 A C3 7C3 4 A2 23 3 420 种方法 按 2 2 3 的人数分配到三个农户家 有 A 630 种方法 所以共有 C2 7C2 5 A2 23 3 1050 种不同的分配方法 答案 C 11 在某地的奥运火炬传递活动中 有编号为 1 2 3 18 的 18 名火炬手 若从中任 选 3 人 则选出的火炬手的编号能组成以 3 为公差的等差数列的概率为 4 A B 1 51 1 68 C D 1 306 1 408 解析 基本事件总数 n C 以 1 为首项 3 为公差的等差数列 共有 6 项 符合题 3 18 意 的火炬手有 4 种选法 同理以 2 为首项 3 为公差的等差数列 以 3 为首项 3 为公差的 等差数列 符合题意的选法分别有 4 种 故所求概率 P 4 4 4 C 3 18 1 68 答案 B 12 2010 长冶模拟 考察正方体 6 个面的中心 甲从这 6 个点中任意选两个点连成直 线 乙也从这 6 个点中任意选两个点连成直线 则所得的两条直线相互平行但不重合 的概率等于 A B 1 75 2 75 C D 3 75 4 75 解析 甲从 6 个点中任意选两个点连成直线总共有 C 种不同的选法 同样 乙也有 2 6 C 种不同的选法 所以总共有 C C 225 种选法 其中相互平行但不重合的直线共 2 62 6 2 6 有 6 对 甲 乙两人选一对 各选一条有 C C 12 种选法 所以所求概率就是 1 61 2 4 75 答案 D 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 把答案填在题中的横线上 13 若 ax2 9的展开式中常数项为 84 则 a 其展开式中二项式系数之和 1 x 为 用数字作答 解析 二项式 ax2 9的通项公式为 C a9 r x18 2r 1 r x r 1 rC a9 r x18 3r 1 xr 9r 9 令 18 3r 0 可得 r 6 即得常数项为 1 6C a9 6 84a3 84 解之得 a 1 其展开式 6 9 二项式系数和为 29 512 答案 1 512 14 有 4 个标号为 1 2 3 4 的红球和 4 个标号为 1 2 3 4 的白球 从这 8 个球中任取 4 个 球排成一排 若取出的 4 个球的数字之和为 10 则不同的排法种数是 解析 若取出的球的标号为 1 2 3 4 则共有 C C C C A 384 种不同的排法 若取 1 2 1 2 1 2 1 2 4 4 5 出 的球的标号为 1 1 4 4 则共有 A 24 种不同的排法 若取出的球的标号为 2 2 3 3 则 4 4 共有 A 24 种不同的排法 由此可得取出的 4 个球数字之和为 10 的不同排法种数 4 4 是 384 24 24 432 答案 432 15 电子钟一天显示的时间是从 00 00 到 23 59 每一时刻都由四个数字组成 则一 天中任一时刻显示的四个数字之和为 23 的概率为 解析 当 时 的两位数字的和小于 9 时 则 分 的那两位数字的和要求超过 14 这是不可能的 所以只有 时 的和为 9 即 09 或 18 分 的和为 14 59 或者 时 的和为 10 即 19 分 的和为 13 49 或 58 共计有 4 种情况 因一天 24 小时共有 24 60 分钟 所以概率 P 4 24 60 1 360 答案 1 360 16 将某城市分为四个区 右图所示 现有 5 种不同颜色 图 每区只涂一色 且相邻两区必须涂不同 的颜色 不相邻两区所涂颜色不限 则 区被涂成红 色的概率是 解析 区域 有 C 种涂色方法 区域 的涂色方法依次有 C C C 1 51 41 31 4 种 由分步计数原理知不同涂色方法有 C C C C 240 种 区域 被涂成红色 1 5 1 4 1 3 1 4 则 区域 有 C 种 区域 有 C 种 区域 有 C 种 故 P 1 41 41 3 4 4 3 240 1 5 答案 1 5 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步 骤 17 本小题满分 10 分 设 a 0 若 1 ax 1 2 n的展开式中含 x2项的系数等于含 x 项的 系 数的 9 倍 且展开式中第 3 项等于 135x 求 a 的值 6 解 由通项公式 Tr 1 C ax 1 2 r C ar x 2 r r nr n 若含 x2项 则 r 4 此时的系数为 C a4 4 n 若含 x 项 则 r 2 此时的系数为 C a2 2 n 根据题意 有 C a4 9C a2 即 C a2 9C 4 n2 n4 n2 n 又因 T3 135x 即有 C a2 135 2 n 由 两式相除 得 C4 n C2 n 9C2 n 135 结合组合数公式 整理可得 3n2 23n 30 0 解得 n 6 或 n 舍去 5 3 将 n 6 代入 中 得 15a2 135 a2 9 a 0 a 3 18 本小题满分 12 分 一个口袋里有 2 个红球和 4 个黄球 从中随机地连取 3 个球 每 次取一个 记事件 A 为 恰有一个红球 事件 B 为 第 3 个是红球 求 1 不放回时 事件 A B 的概率 2 每次抽后放回时 A B 的概率 解 1 由不放回抽样可知 第一次从 6 个球中抽一个 第二次只能从 5 个球中取 一 个 第三次从 4 个球中取一个 基本事件共 6 5 4 120 个 又事件 A 中含有基 本事件 3 2 4 3 72 个 第一个是红球 则第 2 3 个是黄球 取法有 2 4 3 种 第 2 个是红球和第 3 个是红球取法一样多 P A 72 120 3 5 因为红球数占总球数的 在每一次抽到都是随机地等可能事件 1 3 P B 1 3 2 由放回抽样知 每次都是从 6 个球中取一个 有取法 63 216 种 事件 A 含基 本 事件 3 2 4 4 96 种 P A 96 216 4 9 第三次抽到红球包括 B1 红 黄 红 B2 黄 黄 红 B3 黄 红 红 7 B4 红 红 红 四种两两互斥的情形 P B1 2 4 2 216 2 27 P B2 4 4 2 216 4 27 P B3 4 2 2 216 2 27 P B4 2 2 2 216 1 27 P B P B1 P B2 P B3 P B4 2 27 4 27 2 27 1 27 1 3 19 本小题满分 12 分 按下列要求分配 6 本不同的书 各有多少种不同的分配方式 1 分成三份 1 份 1 本 1 份 2 本 1 份 3 本 2 甲 乙 丙三人中 一人得 1 本 一人得 2 本 一人得 3 本 3 平均分成三份 每份 2 本 4 平均分配给甲 乙 丙三人 每人 2 本 5 分成三份 1 份 4 本 另外两份每份 1 本 6 甲 乙 丙三人中 一人得 4 本 另外两人每人得 1 本 7 甲得 1 本 乙得 1 本 丙得 4 本 解 1 无序不均匀分组问题 先选 1 本有 C 种选法 再从余下的 5 本中选 2 本有 1 6 C 种选法 最后余下 3 本全选有 C 种方法 故共有 C C C 60 种 2 53 31 6 2 5 3 3 2 有序不均匀分组问题 由于甲 乙 丙是不同的三人 在第 1 题基础上 还应 考虑再分配 共有 C C C A 360 种 1 6 2 5 3 3 3 3 3 无序均匀分组问题 先分三步 则应是 C C C 种方法 但是这里出现了重 2 6 2 42 2 复 不妨记 6 本书为 A B C D E F 若第一步取了 AB 第二步取了 CD 第三步取了 EF 记该种分法为 AB CD EF 则 C C C 种分法中还有 2 6 2 42 2 AB EF CD CD AB EF CD EF AB EF CD AB EF AB CD 共 A 种 3 3 情况 而这 A 种情况仅是 AB CD EF 的顺序不同 因此只能作为一种分法 3 3 故 分配方式有 15 种 C2 6C2 4C2 2 A3 3 4 有序均匀分组问题 在第 3 题基础上再分配给 3 个人 共有分配方式 A C2 6C2 4C2 2 A3 3 3 3 8 C C C 90 种 2 6 2 4 2 2 5 无序部分均匀分组问题 共有 15 种 C4 6C1 2C1 1 A2 2 6 有序部分均匀分组问题 在第 5 题基础上再分配给 3 个人 共有分配方式 A 90 种 C4 6C1 2C1 1 A2 23 3 7 直接分配问题 甲选 1 本有 C 种方法 乙从余下 5 本中选 1 本有 C 种方法 1 61 5 余 下 4 本留给丙有 C 种方法 共有分配方式 C C C 30 种 4 41 6 1 5 4 4 20 本小题满分 12 分 某项选拔共有四轮考核 每轮设有一个问题 能正确回答问题 者 进入下一轮考核 否则即被淘汰 已知某选手能正确回答第一 二 三 四轮的 问题的概率分别为 且各轮问题能否正确回答互不影响 4 5 3 5 2 5 1 5 1 求该选手进入第四轮才被淘汰的概率 2 求该选手至多进入第三轮考核的概率 注 结果可用分数表示 解 1 记 该选手能正确回答第 i 轮的问题 的事件为 Ai i 1 2 3 4 则 P A1 4 5 P A2 P A3 P A4 故该选手进入第四轮才被淘汰的概率 P 3 5 2 5 1 5 P A1 A2 A3 P A1 P A2 P A3 P A4A4 4 5 3 5 2 5 4 5 96 625 2 该选手至多进入第三轮考核的概率 P P A1 A1 A2 A1A2A3 P P A1 P P A1 P A2 P A1A2A3 1 5 4 5 2 5 4 5 3 5 3 5 101 125 21 本小题满分 12 分 2010 重庆模拟 甲 乙两人各射击一次 击中目标的概率分别 是 和 假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响 每人各次射击是否击中目 2 3 3 4 标 相互之间也没有影响 1 求甲射击 4 次 至少有 1 次未击中目标的概率 2 求两人各射击 4 次 甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 3 次的概率 9 3 假设某人连续 2 次未击中目标 则中止其射击 问 乙恰好射击 5 次后 被中 止 射击的概率是多少 解 1 记 甲连续射击 4 次至少有 1 次未击中目标 为事件 A1 由题意 射击 4 次 相当于作 4 次独立重复试验 故 P A1 1 P 1 4 A1 2 3 65 81 所以甲连续射击 4 次至少有一次未击中目标的概率为 65 81 2 记 甲射击 4 次 恰有 2 次击中目标 为事件 A2 乙射击 4 次 恰有 3 次击 中目标 为事件 B2 则 P A2 C 2 1 4 2 2 4 2 3 2 3 8 27 P B2 C 3 1 4 3 3 4 3 4 3 4 27 64 由于甲 乙射击相互独立 故 P A2B2 P A2 P B2 8 27 27 64 1 8 所以两人各射击 4 次 甲恰有 2 次击中目标且乙恰有 3 次击中目标的概率为 1 8 3 记 乙恰好射击 5 次后被中止射击 为事件 A3 乙第 i 次