北京市西城区2012届高三数学第一次模拟考试试题 文

用心 爱心 专心1 北京市西城区北京市西城区 20122012 年高三一模试卷年高三一模试卷 数数 学 文科 学 文科 2012 4 第第 卷卷 选择题 共 40 分 一 选择题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题列出的四个选项中 选出符合题目 要求的一项 1 已知集合 那么 1 Ax x 2 4 Bx x AB A 2 2 B 1 2 C 1 2 D 1 4 2 执行如图所示的程序框图 若输入 则输出的3x y 值为 A 5 B 7 C 15 D 31 3 若 则下列结论正确的是 2 log 3a 3 log 2b 4 1 log 3 c A acb B cab C bca D cba 4 如图 在复平面内 复数 对应的向量分别是 1 z 2 z 则复数对应的点位于 OA OB 1 2 z z A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 用心 爱心 专心2 5 已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为 其三视图2cm 中的俯视图如图所示 则其左视图的面积是 A 2 4 3cm B 2 2 3cm C 2 8cm D 2 4cm 6 若实数 满足条件 则的最大值为 xy 0 10 01 xy xy x 3 xy A 6 B 5 C 4 D 3 7 设等比数列的前项和为 则 是 的 n an n S 1 0a 32 SS A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件 8 已知集合 其中 23 0123 222 Ax xaaaa 0 1 k a 0 1 2 3 k 且 则中所有元素之和是 3 0a A A 120 B 112 C 92 D 84 用心 爱心 专心3 第第 卷卷 非选择题 共 110 分 二 填空题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 9 已知向量 若 则实数 1 2 a 2 b 90 ab a 10 某年级名学生在一次百米测试中 成绩全部介于秒12013 与秒之间 将测试结果分成组 185 13 14 14 15 得到如图所示的频率分 15 16 16 17 17 18 布直方图 如果从左到右的个小矩形的面积之比为5 那么成绩在的学生人数是 1 3 7 6 3 16 18 11 函数的最小正周期为 22 sin3cosyxx 12 圆的圆心到直线的距离是 22 430 xyx 30 xy 13 已知函数 则的零点是 的值域是 1 2 2 09 20 xx f x xxx f x f x 14 如图 已知抛物线及两点和 其中 过 2 yx 11 0 Ay 22 0 Ay 12 0yy 1 A 分别作 2 A 轴的垂线 交抛物线于 两点 直线与轴交于点 此时就称y 1 B 2 B 12 B By 33 0 Ay 1 A 确定了 依此类推 可由 确定 记 2 A 3 A 2 A 3 A 4 A 0 nn Ay1 2 3 n 给出下列三个结论 数列是递减数列 n y 对 n N0 n y 用心 爱心 专心4 若 则 1 4y 2 3y 5 2 3 y 其中 所有正确结论的序号是 三 解答题共 6 小题 共 80 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 15 本小题满分 13 分 在 中 已知 ABC2sincossin BAAC 求角 A 若 的面积是 求 2BC ABC3AB 16 本小题满分 13 分 某校高一年级开设研究性学习课程 班和 班报名参加的人数分别是和1218 现用分层抽样的方法 从中抽取若干名学生组成研究性学习小组 已知从 班272 抽取了名同学 3 求研究性学习小组的人数 规划在研究性学习的中 后期各安排 次交流活动 每次随机抽取小组中 名同11 学发言 求次发言的学生恰好来自不同班级的概率 2 17 本小题满分 14 分 如图 矩形中 分别在线段和上 ABCD3AB 4 BCEFBCAD 将矩形沿折起 记折起后的矩形为 且平面平EFABABEFEFMNEF MNEF 面 ECDF 求证 平面 NCMFD 若 求证 3EC FCND 求四面体体积的最大值 NFEC 用心 爱心 专心5 18 本小题满分 14 分 已知椭圆的离心率为 一个焦点为 C 22 22 1 0 xy ab ab 6 3 2 2 0 F 求椭圆的方程 C 设直线交椭圆于 两点 若点 都在以点为 5 2 l ykx CABAB 0 3 M 圆心 的圆上 求的值 k 19 本小题满分 13 分 如图 抛物线与轴交于两点 点在抛物线上 点在第一象 2 9yx x A B C DC 限 记 梯形面积为 CDAB 2CDx ABCDS 求面积以为自变量的函数式 Sx 若 其中为常数 且 求的最大值 CD k AB k01k S 20 本小题满分 13 分 对于数列 定义 变换 将数列变换成 123 1 2 3 i A a a aai NTTA 数列 其中 且 这种 变换 记 123 B b b b 1 1 2 iii baai 331 baa T 作 继续对数列进行 变换 得到数列 依此类推 当得到 BT A BT 123 C c c c 的数列各项均为时变换结束 0 A B C D E F 用心 爱心 专心6 试问经过不断的 变换 能否结束 若能 请依次写出经过 变 2 6 4ATT 换 得到的各数列 若不能 说明理由 设 若 且的各项之和为 123 A a a a BT A 2 B ba ab B2012 求 ab 若数列再经过次 变换 得到的数列各项之和最小 求的最小BkTk 值 并 说明理由 北京市西城区 2012 年高三一模试卷 数学 文科 文科 参考答案及评分标准 2012 4 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 8 8 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 4040 分分 1 C 2 D 3 D 4 B 5 A 6 B 7 C 8 C 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 6 6 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 3030 分分 9 10 11 954 12 13 和 14 11 0 1 3 4 注 注 1313 题第一问题第一问 2 2 分 第二问分 第二问 3 3 分分 1414 题少选题少选 1 1 个序号给个序号给 2 2 分分 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 8080 分分 若考生的解法与本解答不同 正确者可参照评分若考生的解法与本解答不同 正确者可参照评分 标准给分标准给分 15 本小题满分 13 分 解 由 得 ABC sin sin sinACBB 3 分 所以原式化为 BABsincossin2 4 分 因为 所以 所以 0 B 0sin B 2 1 cos A 6 分 因为 所以 0 A 3 A 7 分 解 由余弦定理 得 22222 2cosBCABACAB ACAABACAB AC 用心 爱心 专心7 9 分 因为 2BC 1 sin3 23 AB AC 所以 22 8ABAC 11 分 因为 所以 4AB AC 2AB 13 分 16 本小题满分 13 分 解 设从 班抽取的人数为 1m 依题意得 所以 27 3 18 m 2m 研究性学习小组的人数为 35m 5 分 设研究性学习小组中 班的人为 班的人为 12 12 a a23 123 b b b 次交流活动中 每次随机抽取 名同学发言的基本事件为 21 11 a a 21 aa 11 ba 21 ba 31 ba 12 aa 22 a a 12 ba 22 ba 32 ba 11 ab 21 ab 11 b b 21 bb 31 bb 12 ab 22 ab 21 b b 22 b b 32 bb 共种 13 ab 23 ab 31 b b 23 bb 33 b b25 9 分 次发言的学生恰好来自不同班级的基本事件为 2 11 ba 21 ba 31 ba 12 ba 22 ba 32 ba 11 ab 21 ab 12 ab 共种 22 ab 13 ab 23 ab12 12 分 所以次发言的学生恰好来自不同班级的概率为 2 12 25 P 13 分 用心 爱心 专心8 17 本小题满分 14 分 证明 因为四边形 都是矩形 MNEFEFDC 所以 MNEFCDMNEFCD 所以 四边形是平行四边形 2MNCD 分 所以 3NCMD 分 因为 平面 NC MFD 所以 平面 4 分NCMFD 证明 连接 设 EDEDFCO 因为平面平面 且 MNEFECDFEFNE 所以 平面 NEECDF 5 分 所以 FCNE 6 分 又 所以四边形为正方形 所以 ECCD ECDFFCED 7 分 所以 平面 FCNED 8 分 所以 FCND 9 分 解 设 则 其中 xNE xEC 404x 由 得平面 NEFEC 所以四面体的体积为 NFEC 11 4 32 NFECEFC VSNExx 11 分 所以 2 1 4 2 22 NFEC xx V 13 分 当且仅当 即时 四面体的体积最大 xx 42 xNFEC 用心 爱心 专心9 14 分 18 本小题满分 14 分 解 设椭圆的半焦距为 则 c2 2c 1 分 由 得 从而 6 3 c e a 2 3a 222 4bac 4 分 所以 椭圆的方程为 C1 412 22 yx 5 分 解 设 2211 yxByxA 将直线 的方程代入椭圆的方程 lC 消去得 y 22 4 1 3 60270kxkx 7 分 由 得 且 22 360016 1 3 270kk 2 3 16 k 12 2 15 1 3 k xx k 9 分 设线段的中点为 则 ABD 2 15 26 D k x k 2 55 226 DD ykx k 10 分由点 都在以点为圆心的圆上 得 AB 0 3 1 MD kk 11 分 即 解得 符合题意 2 2 5 3 26 1 15 26 k k k k 2 2 9 k 13 分 所以 2 3 k 14 分 19 本小题满分 13 分 解 依题意 点的横坐标为 点的纵坐标为 CxC 2 9 C yx 用心 爱心 专心10 1 分 点的横坐标满足方程 解得 舍去 B B x 2 90 B x 3 B x 3 B x 2 分 所以 22 11 22 3 9 3 9 22 C SCDAByxxxx 4 分 由点在第一象限 得 C03x 所以关于的函数式为 Sx 2 3 9 Sxx 03x 5 分 解 由 及 得 03 3 x x k 01k 03xk 6 分 记 2 3 9 03f xxxxk 则 2 3693 1 3 fxxxxx 8 分 令 得 0fx 1x 9 分 若 即时 与的变化情况如下 13k 1 1 3 k fx f x x 0 1 1 1 3 k fx 0 f x 极大值 所以 当时 取得最大值 且最大值为 1x f x 1 32f 11 分 若 即时 恒成立 13k 1 0 3 k 0fx 所以 的最大值为 f x 2 3 27 1 1 fkkk 13 分 用心 爱心 专心11 综上 时 的最大值为 时 的最大值为 1 1 3 k S32 1 0 3 k S 2 27 1 1 kk 20 本小题满分 13 分 解 数列不能结束 各数列依次为 2 6 4A4 2 22 0 22 2 00 2 2 2 0 2 以下重复出现 所以不会出现所有项均为的情形 0 3 分 解 因为的各项之和为 且 所以为的最大项 B2012ab aB 所以最大 即 或 13 aa 123 aaa 321 aaa 5 分 当时 可得 123 aaa 12 23 13 2 baa aa aaa 由 得 即 22012ab 13 2 2012aa 1006a 故 7 分1004b 当时 同理可得 321 aaa 1006a 1004b 8 分 方法一 由 则经过次 变换 得到的数列分别为 B 2 2bb B6T 2 2bb 2 2 4bb 4 2 6bb 6 8 2bb 2 10 8bb 12 2 10bb 由此可见 经过次 变换 后得到的数列也是形如 的数列 与数6T 2 2bb 列B 结构 完全相同 但最大项减少 12 因为 100612 83 10 所以 数列经过次 变换 后得到的数列为 B6 83498 T8 2 10 用心 爱心 专心12 接下来经过 变换 后得到的数列分别为 T6 8 22 6 44 2 22 0 2 2 2 0 0 2 22 0 2 从以上分析可知 以后重复出现 所以数列各项和不会更小 所以经过次 变换 得到的数列各项和最小 的最小值为 4984502 Tk502 13 分 方法二 若一个数列有三项 且最小项为 较大两项相差 则称此