第八章第五节直线、圆的位置关系

1 第八章第八章 第五节第五节 直线 圆的位置关系直线 圆的位置关系 题组一直线与圆的位置关系 1 直线 x y 0 绕原点按顺时针方向旋转 30 所得直线与圆 x2 y2 4x 1 0 的位置 3 关系是 A 直线与圆相切 B 直线与圆相交但不过圆心 C 直线与圆相离 D 直线过圆心 解析 直线 x y 0 的倾斜角为 150 顺时针旋转 30 后为 120 方程为 y x 33 圆的标准方程为 x 2 2 y2 3 又圆心 2 0 到直线 y x 的距离 d r 3 2 3 23 直线与圆相切 答案 A 2 2010 西安模拟 直线 x y 1 与圆 x2 y2 2ay 0 a 0 没有公共点 则 a 的取值范 围是 A 0 1 B 1 1 222 C 1 1 D 0 1 222 解析 圆心 0 a 半径 r a a 0 a 1 a 1 22 答案 A 题组二圆与圆的位置关系 3 已知半径为 1 的动圆与定圆 x 5 2 y 7 2 16 相切 则动圆圆心的轨迹方程是 A x 5 2 y 7 2 25 B x 5 2 y 7 2 3 或 x 5 2 y 7 2 15 C x 5 2 y 7 2 9 D x 5 2 y 7 2 25 或 x 5 2 y 7 2 9 解析 当动圆圆心在定圆外时 动圆圆心 x y 到 5 7 的距离为 5 x 5 2 y 7 2 25 当动圆圆心在定圆内时 动圆圆心 x y 到 5 7 的距离为 3 x 5 2 y 7 2 9 答案 D 4 已知 0 r 1 则圆 x2 y2 r2与 x 1 2 y 1 2 2 的位置关系是 2 2 A 外切 B 内含 C 相交 D 相离 解析 两圆连心线长 O1O2 2 r1 r2 r r1 r2 r 因为 0 r 1 222 所以 r 2 1 r 1 22222 所以 r O1O2 r 所以两圆相交 22 答案 C 题组三有关圆的切线问题 5 由直线 y x 1 上的一点向圆 x 3 2 y2 1 引切线 则切线长的最小值为 A 1 B 2 C D 3 27 解析 设 P x0 y0 为直线 y x 1 上一点 圆心 C 3 0 到 P 点的距离为 d 切线长为 l 则 l 当 d 最小时 l 最小 d2 1 当 PC 垂直直线 y x 1 时 d 最小 此时 d 2 2 lmin 2 r 2 2 17 答案 C 6 2010 枣庄质检 将圆 x2 y2 1 沿 x 轴正方向平移 1 个单位后得圆 C 若过点 3 0 的 直线 l 和圆 C 相切 则直线 l 的斜率为 A B C D 33 3 3 3 3 解析 圆 C 的方程为 x 1 2 y2 1 设直线 l 的斜率为 k 方程为 y k x 3 则 1 k 2k 1 k2 3 3 答案 D 题组四有关圆的弦长 中点弦问题 7 直线 2x y 0 与圆 C x 2 2 y 1 2 9 相交于 A B 两点 则 ABC C 为圆心 的 面积等于 A 2 B 2 C 4 D 4 5335 解析 由已知 C 2 1 点 C 到直线 2x y 0 的距离 d 5 55 由题意知 2 d2 9 AB 2 3 AB 4 S ABC 4 2 1 255 答案 A 8 2009 全国卷 已知 AC BD 为圆 O x2 y2 4 的两条相互垂直的弦 垂足为 M 1 则四边形 ABCD 的面积的最大值为 2 解析 设圆心 O 到 AC BD 的距离为 d1 d2 垂足分别为 E F 则四边形 OEMF 为 矩形 则有 2 1 d 2 2 d 3 由平面几何知识知 AC 2 2 1 4d BD 2 2 2 4d S四边形 ABCD AC BD 1 2 2 2 1 4d 2 2 4d 4 2 1 d 4 2 2 d 8 2 1 d 2 2 d 5 即四边形 ABCD 的面积的最大值为 5 答案 5 题组五直线 圆的位置关系综合问题 9 2008 宁夏 海南高考 已知 m R 直线 l mx m2 1 y 4m 和圆 C x2 y2 8x 4y 16 0 1 求直线 l 斜率的取值范围 2 直线 l 能否将圆 C 分割成弧长的比值为 的两段圆弧 为什么 1 2 解 1 直线 l 的方程可化为 y x m m2 1 4m m2 1 直线 l 的斜率 k m m2 1 因为 m m2 1 1 2 所以 k 当且仅当 m 1 时等号成立 m m2 1 1 2 所以斜率 k 的取值范围是 1 2 1 2 2 不能 4 由 1 知 l 的方程为 y k x 4 其中 k 1 2 圆 C 的圆心为 C 4 2 半径 r 2 圆心 C 到直线 l 的距离 d 2 1 k2 由 k 得 d 1 即 d 1 2 4 5 r 2 从而 若 l 与圆 C 相交 则圆 C 截直线 l 所得的弦所对的圆心角小于 2 3 所以 l 不能将圆 C 分割成弧长的比值为 的两段弧 1 2 10 圆 O1的方程为 x2 y 1 2 4 圆 O2的圆心 O2 2 1 1 若圆 O2与圆 O1外切 求圆 O2的方程 并求内公切线方程 2 若圆 O2与圆 O1交于 A B 两点 且 AB 2 求圆 O2的方程 2 解 1 由两圆外切 O1O2 r1 r2 r2 O1O2 r1 2 1 2 故圆 O2的方程是 x 2 2 y 1 2 4 1 2 2 两圆的方程相减 即得两圆内公切线的方程 x y 1 2 0 2 2 设圆 O2的方程为 x 2 2 y 1 2 2 2 r 圆 O1的方程为 x2 y 1 2 4 此两圆的方程相减 即得两圆公共弦 AB 所在直 线的方程 4x 4y 2 2 r 8 0 作 O1H AB 则 AH AB O1H 1 222 由圆心 0 1 到直线 的距离得 2 2 12 4 2 r 2 得 2 2 r 4 或 2 2 r 20 故圆 O2的方程为 x 2 2 y 1 2 4 或 x 2 2 y 1 2 20 11 2010 苏北三市联考 已知平面区域Error Error 恰好被面积最小的圆 C x a 2 y b 2 r2及其内部所覆盖 1 试求圆 C 的方程 5 2 若斜率为 1 的直线 l 与圆 C 交于不同两点 A B 满足 CA CB 求直线 l 的方 程 解 1 由题意知此平面区域表示的是以 O 0 0 P 4 0 Q 0 2 构成的三角形及其内 部 且 OPQ 是直角三角形 所以覆盖它的且面积最小的圆是