江苏省新坝中学2012-2013学年高三数学上学期第一次学情调研试卷 文（解析版）苏教版

1 2012 20132012 2013 学年江苏省新坝中学高三 上 第一次学情调研数学试学年江苏省新坝中学高三 上 第一次学情调研数学试 卷 文科 卷 文科 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 1414 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 7070 分 答案写在答卷纸上 分 答案写在答卷纸上 1 5 分 若全集 U R 集合 M x x2 x 0 则集合 UM 0 1 考点 补集及其运算 专题 计算题 分析 把集合 M 化简 由实数集中不在集合 M 中的元素构成的集合就是 M 的补集 解答 解 M x x2 x 0 x x 0 或 x 1 又全集 U R 所以 UM x 0 x 1 故答案为 0 1 点评 本题考查了补集及其运算 注意借助于数轴解答 是基础题 2 5 分 2012 虹口区三模 若复数 a R i 为虚数单位 是纯虚数 则实数 a 的值为 6 考点 复数代数形式的混合运算 专题 计算题 分析 因复数是分式且分母含有复数 需要分子分母同乘以 1 2i 再进行化简整理 由纯 虚数的定义令实部为零求出 a 的值 解答 解 由题意知 是纯虚数 a 6 0a 即 a 6 故答案为 6 点评 本题考查了复数代数形式的运算 含有分式时需要分子和分母同乘以分母的共轭复 数 对分母进行实数化再化简 并且利用纯复数的定义进行求值 3 5 分 在平面直接坐标系 xOy 中 角 的始边与 x 轴的正半轴重合 终边在直线 上 且 x 0 则 sin 考点 同角三角函数间的基本关系 象限角 轴线角 专题 计算题 2 分析 因为知道了角 的终边 可以在角的终边上任取一点 求出该点到原点的距离 直 接运用三角函数的定义求解 解答 解 在角 的终边上取一点 P 1 则 P 到原点的距离 OP 根据任意角的正弦函数定义有 sin 故答案为 点评 本题考查了任意角的三角函数定义 解答此题的关键是熟记定义 是基础题 4 5 分 已知 sin 则 cos 考点 两角和与差的正弦函数 两角和与差的余弦函数 专题 三角函数的求值 分析 根据诱导公式 cos sin 直接得出结果即可 解答 解 cos cos sin 故答案为 点评 本题考查了三角函数的诱导公式 熟练掌握公式是解题的关键 属于基础题 5 5 分 2005 金山区一模 ABC 中 若 B 30 AB 2 AC 则 BC 3 考点 解三角形 专题 综合题 分析 由余弦定理知 AC2 BC2 AB2 2 BC AB cos B 即 3 BC2 12 6BC 由此能求出 BC 解答 解 ABC 中 B 30 AB 2 AC AC2 BC2 AB2 2 BC AB cos B 即 3 BC2 12 6BC 解得 BC 3 故答案为 3 点评 本题考查三角形的解法 解题时要认真审题 注意余弦定理的灵活运用 3 6 5 分 2013 辽宁二模 已知函数 f x 则不等式 f x x2的 解集为 1 1 考点 其他不等式的解法 专题 计算题 分类讨论 分析 分 x 小于等于 0 和 x 大于 0 两种情况根据分段函数分别得到 f x 的解析式 把得 到的 f x 的解析式分别代入不等式得到两个一元二次不等式 分别求出各自的解 集 求出两解集的并集即可得到原不等式的解集 解答 解 当 x 0 时 f x x 2 代入不等式得 x 2 x2 即 x 2 x 1 0 解得 1 x 2 所以原不等式的解集为 1 0 当 x 0 时 f x x 2 代入不等式得 x 2 x2 即 x 2 x 1 0 解得 2 x 1 所以原不等式的解集为 0 1 综上 原不等式的解集为 1 1 故答案为 1 1 点评 此题考查了不等式的解法 考查了转化思想和分类讨论的思想 是一道基础题 7 5 分 若 sin2 则 cos sin 的值是 考点 三角函数的恒等变换及化简求值 专题 计算题 分析 求出表达式的平方的值 根据角的范围确定表达式的符号 求出值即可 解答 解 cos sin 2 1 sin2 又 cos sin 所以 cos sin 故答案为 点评 本题是基础题 考查三角函数的化简求值 注意角的范围三角函数的符号的确定 是本题的关键 8 5 分 2011 南京一模 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 若 1 则角 A 的大小为 考点 正弦定理 同角三角函数基本关系的运用 4 专题 计算题 分析 把已知条件利用切化弦及正弦定理化简可得 利用 两角和的正弦公式化简整理可求得 结合 A 的范围可求 A 解答 解 由 1 可得 由正弦定理可得 整理可得 sin A B 2sinCcosA 0 A 故答案为 点评 本题主要考查了利用 切 化 弦 正弦定理 两角和的正弦公式等知识进行求解 角的运算 属于属于对基础知识的简单综合 要求考生熟练掌握基础知识并能综合 运用 9 5 分 f n cos 则 f 1 f 2 f 3 f 2012 0 考点 三角函数的周期性及其求法 函数的值 专题 计算题 三角函数的图像与性质 分析 由 f n cos cos n 可求得 f 1 f 2 f 3 f 4 f 2011 f 2012 0 从而可求得答案 解答 解 f n cos cos n f 1 f 2 cos cos 2 0 同理可得 f 3 f 4 f 2011 f 2012 0 f 1 f 2 f 3 f 2012 0 故答案为 0 点评 本题考查三角函数的周期性及其求法 求得 f 1 f 2 f 3 f 4 f 2011 f 2012 0 是关键 属于基础题 5 10 5 分 a 1 是 函数在其定义域上为奇函数 的 充分不必要 条件 填 充分不必要 必要不充分 充要 或 既不充分也不必要 考点 必要条件 充分条件与充要条件的判断 专题 计算题 分析 当 a 1 时 函数 其定义域为 R f x f x 可得 f x 为奇函数 但反之不成立 因为 当 a 1 时也能使函数为奇函数 解答 解 当 a 1 时 函数 其定义域为 R f x f x 可得 f x 为奇函数 函数在其定义域上为奇函数 不能推出 a 1 因为当 a 1 时 其定义域为 x x 0 f x f x 也可得 f x 为奇函 数 故 a 1 是 函数在其定义域上为奇函数 的充分不必要条件 故答案为 充分不必要 点评 本题为充要条件的判断 熟练掌握证明函数的奇偶性的方法是解决问题的关键 属 基础题 11 5 分 直线 y kx 1 与曲线 y x3 ax b 相切于点 A 1 3 则 b 的值为 3 考点 利用导数研究曲线上某点切线方程 6 专题 计算题 分析 由于切点在直线与曲线上 将切点的坐标代入两个方程 得到关于 a b k 的方程 再求出在点 1 3 处的切线的斜率的值 即利用导数求出在 x 1 处的导函数值 结合导数的几何意义求出切线的斜率 再列出一个等式 最后解方程组即可得 从 而问题解决 解答 解 直线 y kx 1 与曲线 y x3 ax b 相切于点 A 1 3 又 y x3 ax b y 3x2 ax 当 x 1 时 y 3 a 得切线的斜率为 3 a 所以 k 3 a 由 得 b 3 故答案为 3 点评 本小题主要考查直线的斜率 导数的几何意义 利用导数研究曲线上某点切线方程 等基础知识 考查运算求解能力 属于基础题 12 5 分 2013 黄埔区一模 已知 则 tan 2 等于 1 考点 两角和与差的正切函数 专题 计算题 分析 把已知条件利用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关 系化简后 即可求出 tan 的值 然后把所求式子中的角 2 变为 利用两角差的正切函数公式化简后 将各自的值代入即可求出值 解答 解 由 2tan 1 得到 tan 又 则 tan 2 tan 1 故答案为 1 点评 此题考查学生灵活运用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求 值 灵活运用两角和与差的正切函数公式化简求值 是一道基础题 7 13 5 分 已知函数 f x mx2 lnx 2x 在定义域内是增函数 则实数 m 范围为 考点 函数单调性的性质 专题 计算题 分析 求出 f x 2mx 2 因为函数在定义域内是增函数 即要说明 f x 大于 等于 0 利用基本不等式求出 f x 的最小值 让最小值大于等于 0 即可得到 m 的范围 解答 解 因为 f x 2mx 2 x 0 所以 f x 2mx 2 2 2 2 1 当且仅当 2mx 取等 号 得到 f x 的最小值为 2 1 所以 2 1 0 即 m 时 函数 f x 在定义域内不是单调函数 故答案为 点评 考查学生利用导数研究函数单调性的能力 会找函数单调时自变量的取值范围 以 及会用基本不等式求最小值的能力 14 5 分 在 ABC 中 B 60 AC 则 AB 2BC 的最大值为 2 考点 正弦定理的应用 专题 计算题 压轴题 分析 设 AB c AC b BC a 利用余弦定理和已知条件求得 a 和 c 的关系 设 c 2a m 代入 利用判别大于等于 0 求得 m 的范围 则 m 的最大值可得 解答 解 设 AB c AC b BC a 由余弦定理 cosB 所以 a2 c2 ac b2 3 设 c 2a m 代入上式得 7a2 5am m2 3 0 84 3m2 0 故 m 2 8 当 m 2时 此时 a c 符合题意 因此最大值为 2 故答案为 2 点评 本题主要考查了正弦定理的应用 涉及了解三角形和函数思想的运用 二 解答题 本大题共二 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 9090 分 解答时应写出必要的文字说明 证明过程或演算分 解答时应写出必要的文字说明 证明过程或演算 步骤 步骤 15 14 分 2010 广东模拟 已知全集 U R 集合 A x x2 x 6 0 B x x2 2x 8 0 C x x2 4ax 3a2 0 若 CU A B C 求实数 a 的取值范围 考点 交 并 补集的混合运算 专题 分类讨论 分析 利用因式分解法分别求出集合 A B C 因集合 C 中含有字母 A 所以要分类讨论 a 0 a 0 a 0 然后再根据交集 补集 子集的定义进行求解 解答 解 A x 2 x 3 B x x 4 或 x 2 A B x x 4 或 x 2 U A B x 4 x 2 而 C x x a x 3a 0 7 分 1 当 a 0 时 C x a x 3a 显然不成立 9 分 2 当 a 0 时 C 不成立 10 分 3 当 a 0 时 C x 3a x a 要使 CU A B C 只需 11 分 即 12 分 点评 此题主要考查子集的定义及其有意义的条件和集合的交集及补集运算 另外还考查 了分类讨论的思想 一元二次不等式的解法及集合间的交 并 补运算是高考中的 常考内容 要引起注意 16 14 分 2011 南通模拟 如图所示 图 1 是定义在 R 上的二次函数 f x 的部分图 象 图 2 是函数 g x loga x b 的部分图象 1 分别求出函数 f x 和 g x 的解析式 2 如果函数 y g f x 在区间 1 m 上单调递减 求 m 的取值范围 9 考点 二次函数的性质 二次函数的图象 专题 计算题 分析 1 由题图 1 得 二次函数 f x 的顶点坐标可设函数的顶点式 f x a x 1 2 2 又函数 f x 的图象过点 0 0 求出 a 得 f x 的解析 式 由题图 2 得 函数 g x loga x b 的图象过点 0 0 和 1 1 将点的 坐标代入列出关于 a b 的方程组 解得 a b 最后写出 g x 的解析式即可 2 由 1 得 y g f x log2 2x2 4x 1 是由 y log2t 和 t 2x2 4x 1 复 合而成的函数 利用复合函数的单调性研究此函数的单调性 从而得出满足条件的 m 的取值范围 解答 解 1 由题图 1 得 二次函数 f x 的顶点坐标为 1 2 故可设函数 f x a x 1 2 2 又函数 f x 的图象过点 0 0 故 a 2 整理得 f x 2x2 4x 由题图 2 得 函数 g x loga x b 的图象过点 0 0 和 1 1 故有 g x log2 x 1 x 1 2 由 1 得 y g f x log2 2x2 4x 1 是由 y log2t 和 t 2x2 4x 1 复 合而成的函数 而 y log2t 在定义域上单调递增 要使函数 y g f x 在区间 1 m 上单调递减 10 必须 t 2x2 4x 1 在区间 1 m 上单调递减 且有 t 0 恒成立 由 t 0 得 x 又 t 的图象的对称轴为 x 1 所以满足条件的 m 的取值范围为 1 m 点评 本小题主要考查函数单调性的应用 二次函数的图象和性质 对数函数的图象和性 质等基础知识 考查运算求解能力 考查数形结合思想 化归与转化思想 属于基 础题 17 14 分 2011 朝阳区一模 在锐角 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 已知 求 sinC 当 c 2a 且时 求 a 考点 解三角形 三角函数的恒等变换及化简求值 专题 计算题 综合题 分析 利用二倍角公式 cos2C 1 2sin2C 求解即可 注意隐含条件 sinC 0 利用 1 中的结论 结合正弦定理和同角三角函数的关系易得 sinA cosA cosC 的值 又由 sinB sin A C sinAcosC cosAsinC 求出 sinB 的值 最后由正弦定理求出 a 的值 解答 解 由已知可得 所以 因为在 ABC 中 sinC 0 所以 6 分 因为 c 2a 所以 因为 ABC 是锐角三角形 所以 所以 sinB sin A C sinAcosC cosAsinC 由正弦定理可得 所以 13 分 点评 此类问题是高考的常考题型 主要考查了正弦定理 三角函数及三角恒等变换等知 识点 同时考查了学生的基本运算能力和利用三角公式进行恒等变形的技能 18 16 分 已知函数 1 求函数 f x 的单调递增区间 11 2 ABC 内角 A B C 的对边分别为 a b c 若 b 1 且 a b 试求角 B 和角 C 考点 正弦定理的应用 两角和与差的正弦函数 专题 解三角形 分析 1 将 f x 解析式第一项利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值 化简 整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数 由正弦函数 的递增区间为 2k 2k x Z 列出关于 x 的不等式 求出不等式的解 集即可得到 f x 的递增区间 2 由 1 确定的 f x 解析式 及 f 求出 sin B 的值 由 B 为三角形的内角 利用特殊角的三角函数值求出 B 的度数 再由 b 与 c 的值 利用正弦定理求出 sinC 的值 由 C 为三角形的内角 利用特殊角的三角函数值求出 C 的度数 由 a 大于 b 得到 A 大于 B 检验后即可得到满足题意 B 和 C 的度数 解答 解 1 f x cos 2x cos2x sin2x cos2x sin 2x 令 2k 2x 2k x Z 解得 k x k x Z 则函数 f x 的递增区间为 k k x Z 2 f B sin B sin B 0 B B B 即 B 又 b 1 c 由正弦定理 得 sinC C 为三角形的内角 C 或 当 C 时 A 当 C 时 A 不合题意 舍去 则 B C 点评 此题考查了两角和与差的正弦 余弦函数公式 正弦定理 正弦函数的单调性 以 及特殊角的三角函数值 熟练掌握定理及公式是解本题的关键 12 19 16 分 如图 直角三角形 ABC 中 B 90 AB 1 BC 点 M N 分别在边 AB 和 AC 上 M 点和 B 点不重合 将 AMN 沿 MN 翻折 AMN 变为 A MN 使顶点 A 落在 边 BC 上 A 点和 B 点不重合 设 AMN 1 用 表示 BA M 和线段 AM 的长度 并写出 的取值范围 2 求线段 AN 长度的最小值 考点 正弦定理 两角和与差的正弦函数 二倍角的正弦 二倍角的余弦 专题 计算题 分析 1 由折叠可知 AMN A MN 可得对应角相等 AMN 可得出 A MA 2 在直角三角形 A MB 根据直角三角形的两锐角互余 即可表示 BA M 设 MA MA x 由 AB 1 利用 AB AM 表示出 MB 为 1 x Rt MBA 中 根据锐角三角函数定义用 x 表示出 sin 2 90 求出 x 利用诱导公式及二倍 角的正弦函数公式化简 即可表示出 MA 同时由点 M 在线段 AB 上 M 点和 B 点不重 合 A 点和 B 点不重合 可得出 的取值范围 2 在直角三角形 ABC 中 由 AB 及 BC 的长 利用勾股定理求出 AC 的长 可得出 AC 2AB 即 ACB 为 30 得出 BAC 为 60 在三角形 AMN 中 AMN 利用 三角形内角和定理表示出 ANM 再由 AM 的长 利用正弦定理列出关系式 化简可 得出 AN 设 t 2sin sin 120 利用两角和 与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简 去括号后再利用二倍角的正弦 余弦函数公式变形 再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数 由 的范围求出这个角的范围 根据正弦函数的图象与性质得到此时正弦函数的值域 可得出 t 的最大值 进而确定出 AN 的最小值 解答 解 1 易知 AMN A MN A MA 2 则 A MB 180 2 BA M 90 180 2 2 90 2 分 设 MA MA x 则 MB 1 x 在 Rt MBA 中 sin 2 90 cos2 MA x 5 分 点 M 在线段 AB 上 M 点和 B 点不重合 A 点和 B 点不重合 45 90 6 分 2 B 90 AB 1 BC 根据勾股定理得 AC 2 BAC 60 13 在 AMN 中 由 AMN 可得 ANM 180 60 120 又 MA 根据正弦定理得 可得 AN 8 分 令 t 2sin sin 120 2sin sin cos sin2 sin cos sin2 cos2 sin 2 30 11 分 45 90 60 2 30 150 当且仅当 2 30 90 60 时 t 有最大值 则 60 时 AN 有最小值 13 分 点评 此题考查了正弦定理 两角和与差的正弦函数公式 二倍角的正弦 余弦函数公式 正弦函数的定义域与值域 以及特殊角的三角函数值 熟练掌握定理及公式是解本 题的关键 20 16