2016年山东省潍坊市高考数学一模理科试卷含答案解析

第 1 页（共 26 页） 2016 年山东省潍坊市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本大题共 10小题，每小题 5分，共 50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设 i 是虚数单位，若复数 是纯虚数，则 a=（ ） A 1 B 1 C 2 D 2 2已知集合 P=2， 3， 4， 5， 6， Q=3， 5， 7，若 M=PQ，则 M 的子集个数为（ ） A 5 B 4 C 3 D 2 3在 ， 别是 三等分点，且 = ， = ，则=（ ） A + B + C D 4已知函数 f（ x） = ， g（ x） =x|，则函数 F（ x） =f（ x） g（ x）的大致图象为（ ） A B C D 5已知双曲线 的左、右焦点与虚轴的一个端点构成一个角为 120的三角形，则双曲线 C 的离心率为（ ） A B C D 6已知 p：函数 f（ x） =（ x a） 2 在（ ， 1）上是减函数， 恒成立，则 p 是 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7已知两条不同的直线 m， n 和两个不同的平面 ， ，以下四个命题： 若 m ， n ，且 ，则 m n； 若 m ， n ，且 ，则 m n； 若 m ， n ，且 ，则 m n； 第 2 页（共 26 页） 若 m ， n ，且 ，则 m n 其中正确命题的个数是（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 8设函数 y=f（ x）（ xR）为偶函数，且 xR，满足 f（ x ） =f（ x+ ），当 x2， 3时， f（ x）=x，则当 x 2， 0时， f（ x） =（ ） A |x+4| B |2 x| C 2+|x+1| D 3 |x+1| 9执行如图所示的程序框图，若输出的 n=7，则输入的整数 K 的最大值是（ ） A 18 B 50 C 78 D 306 10已知函数 f（ x） =ax+有三个不同的零点 中 则（ 1） 2（ 1 ）（ 1 ）的值为（ ） A 1 a B a 1 C 1 D 1 二、填空题：本大题共 5小题，每小题 5分，共 25分 . 11观察式子 ， ，则可归纳出 12已知 ， a， b， c 分别为内角 A， B， C 的对边，且 abc 13如图，在边长为 1 的正方形 任取一点，则该点落在阴影部分中的概率为 第 3 页（共 26 页） 14将编号为 1， 2， 3， 4 的四个小球放入 3 个不同的盒子中，每个盒子里至少放 1 个，则恰有 1 个盒子放有 2 个连号小球的所有不同放法有 种（用数字作答） 15已知抛物线 准线方程为 x= 1 焦点为 F， A， B， C 为该抛物线上不同的三点，成等差数列，且点 B 在 x 轴下方，若 ，则直线 方程为 三、解答题：本大题共 6小题，共 75分 明过程或演算步骤 . 16已知函数 f（ x） =4x ） x= 处取得最值，其中 （ 0， 2） （ 1）求函数 f（ x）的最小正周期： （ 2）将函数 f（ x）的图象向左平移 个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 3 倍，纵坐标不变，得到函数 y=g（ x）的图象若 为锐角 g（ ） = ，求 7如图所示的几何体中，四边形 四边形 全等的等腰梯形，且平面 平面C， 0， G 为线段 中点 （ 1）求证： （ 2）求二面角 D B（钝角）的余弦值 18已知正项数列 前 n 项和为 ， +Sn=a ，数列 足 =3 ，且 （ ）求数列 通项公式； （ ）记 Tn=1+ 第 4 页（共 26 页） 19某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在 50， 100内，发布成绩使用等级制各等级划分标准见表规定： A、 B、 C 三级为合格等级， D 为不合格等级 百分制 85 以及以上 70 分 到 84 分 60 分到 69 分 60 分以下 等级 A B C D 为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了 n 名学生的原始成绩作为样本进行统计按照50， 60）， 60， 70）， 70， 80）， 80， 90）， 90， 100的分组作出频率分布直方图如图 1 所示，样本中分数在 80 分及以上的所有数据的茎叶图如图 2 所示 （ I）求 n 和频率分布直方图中的 x， y 的值； （ ）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选 3 人，求至少有 1 人成绩是合格等级的概率； （ ）在选取 的样本中，从 A、 C 两个等级的学生中随机抽取了 3 名学生进行调研，记 表示所抽取的 3 名学生中为 C 等级的学生人数，求随机变量 的分布列及数学期望 20已知椭圆 的离心率 ，过椭圆的左焦点 F 且倾斜角为 30的直线与圆 x2+y2=交所得弦的长度为 1 （ I）求椭圆 E 的方程； （ ）若动直线 l 交椭圆 E 于不同两点 M（ N（ 设 =（ =（ O 为坐标原点当以线段 直径的圆恰好过点 O 时，求证： 面积为定值，并求出该定值 21函数 f（ x） =（ x a） 2（ x+b） a， bR） （ 1）当 a=0， b= 3 时求函数 f（ x）的单调区间； （ 2）若 x=a 是 f（ x）的极大值点 （ i）当 a=0 时，求 b 的取值范围； 第 5 页（共 26 页） （ a 为定值时设 中 ）是 f（ x）的 3 个极值点，问：是否存在实数 b，可找到实数 得 存在求出 b 的值及相应的 不存在说明理由 第 6 页（共 26 页） 2016 年山东省潍坊市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10小题，每小题 5分，共 50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设 i 是虚数单位，若复数 是纯虚数，则 a=（ ） A 1 B 1 C 2 D 2 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【专题】 计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数 【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部等于 0 求得 a 值 【解答】 解： = 是纯虚数， a=2 故选： D 【点评】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题 2已知集合 P=2， 3， 4， 5， 6， Q=3， 5， 7，若 M=PQ，则 M 的子集个数为（ ） A 5 B 4 C 3 D 2 【考点 】 交集及其运算 【专题】 计算题；集合思想；定义法；集合 【分析】 求出 P 与 Q 的交集确定出 M，即可求出 M 子集的个数 【解答】 解： P=2， 3， 4， 5， 6， Q=3， 5， 7， M=PQ=3， 5， 则 M 的子集个数为 22=4 故选： B 【点评】 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键 第 7 页（共 26 页） 3在 ， 别是 三等分点，且 = ， = ，则=（ ） A + B + C D 【考点】 向量的线性运算性质及几何意义 【专题】 对应思想；综合法；平面向量及应用 【分析】 利用平面向量的线性运算的几何意义，使用 表示出 【解答】 解： = = = ， = = = 故选： A 【点评】 本题考查了平面向量线性运算的几何意义，属于基础题 4已知函数 f（ x） = ， g（ x） =x|，则函数 F（ x） =f（ x） g（ x）的大致图象为（ ） A B C D 【考点】 函数的图象 【专题】 应用题；数形结合；函数思想；定义法；函数的性质及应用 【分析】 根据函数的奇偶性和函数值的变化趋势，即可判断 【解答】 解： f（ x） = =f（ x）， g（ x） =x|=g（ x）， F（ x） =f（ x） g（ x） =f（ x） g（ x） =F（ x）， 函数 F（ x）为偶函数，其图象关于 y 轴对称， 当 x+时， f（ x） ， g（ x） +， 当 x+时， F（ x） ， 故选： B 【点评】 本题考查了函数图象的识别，关键是判断函数的奇偶性和函数值的变化趋势，属于基础题 第 8 页（共 26 页） 5已知双曲线 的左、右焦点与虚轴的一个端点构成一个角为 120的三角形，则双曲线 C 的离心率为（ ） A B C D 【考点】 双曲线的简单性质 【专题】 计算题；方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程 【分析】 根据题意，设虚轴的一个端点 M（ 0， b），结合焦点 坐标和 20，得到c= b，再用平方关系化简得 c= a，根据离心率计算公式即可得到该双曲线的离心率 【解答】 解：双曲线 ， 可得虚轴的一 个端点 M（ 0， b）， c， 0）， c， 0）， 设 20，得 c= b， 平方得 （ 可得 3 即 c= a， 得离心率 e= = 故选： B 【点评】 本题给出双曲线两个焦点对虚轴一端的张角为 120 度，求双曲线的离心率着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题 6已知 p：函数 f（ x） =（ x a） 2 在（ ， 1）上是减函数， 恒成立，则 p 是 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【专题】 转化思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；简易逻辑 第 9 页（共 26 页） 【分析】 对于命题 p：利用二次函数的单调性可得： 1a， p： a 1对于命题 q：由于 x 0，利用基本不等式的 性质可得： =x+ 2，即可得出结论 【解答】 解： p：函数 f（ x） =（ x a） 2在（ ， 1）上是减函数， 1a， p： a 1 q： x 0， =x+ =2，当且仅当 x=1 时取等号， a2 则 p 是 q 的充分不必要 条件 故选： A 【点评】 本题考查了不等式的解法、函数的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 7已知两条不同的直线 m， n 和两个不同的平面 ， ，以下四个命题： 若 m ， n ，且 ，则 m n； 若 m ， n ，且 ，则 m n； 若 m ， n ，且 ，则 m n； 若 m ， n ，且 ，则 m n 其中正确命题的个数是（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 【考点】 空间中直线与平面之间的位置关系 【专题】 计算题；转化思想；综合法；空间位置关 系与距离 【分析】 在 中， m 与 n 平行或异面；在 中，由直线与平面垂直的性质得 m n；在 中， m 与n 相交、平行或异面；在 中，由面面垂直和线面垂直的性质得 m n 【解答】 解：由两条不同的直线 m， n 和两个不同的平面 ， ，知： 在 中，若 m ， n ，且 ，则 m 与 n 平行或异面，故 错误； 在 中，若 m ， n ，且 ，则由直线与平面垂直的性质得 m n，故 正确； 在 中，若 m ， n ，且 ，则 m 与 n 相交、平行或异面，故 错误； 在 中，若 m ， n ，且 ，则由面面垂直和线面垂直的 性质得 m n，故 正确 故选： C 【点评】 本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用 第 10 页（共 26 页） 8设函数 y=f（ x）（ xR）为偶函数，且 xR，满足 f（ x ） =f（ x+ ），当 x2， 3时， f（ x）=x，则当 x 2， 0时， f（ x） =（ ） A |x+4| B |2 x| C 2+|x+1| D 3 |x+1| 【考点】 函数奇 偶性的性质 【专题】 转化思想；转化法；函数的性质及应用 【分析】 根据函数奇偶性条件推出函数是周期为 2 的周期函数根据函数周期性和对称性进行转化求解即可 【解答】 解： xR，满足 f（ x ） =f（ x+ ）， xR，满足 f（ x+ ） =f（ x+ + ）， 即 f（ x） =f（ x+2）， 若 x0， 1时，则 x+22， 3， f（ x） =f（ x+2） =x+2， x0， 1， 若 x 1， 0，则 x0， 1， 函数 y=f（ x）（ xR）为偶函数， f（ x） = x+2=f（ x）， 即 f（ x） = x+2， x 1， 0， 若 x 2， 1，则 x+20， 1， 则 f（ x） =f（ x+2） =x+2+2=x+4， x 2， 1， 即 f（ x） = ， 故选： D 【点评】 本题主要考查函数解析式的求解，根据函数奇偶性和周期性的关系进行转化是解决本题的关键 9执行如图所示的程序框图，若输出的 n=7，则输入的整数 K 的最大值是（ ） 第 11 页（共 26 页） A 18 B 50 C 78 D 306 【考点】 程序框图 【专题】 计算题；图表型；算法和程序框图 【分析】 模拟程序框图的运行过程，即可得出输入的整数 K 的最大值 【解答】 解：模拟执行程序，可得 n=1， S=0 S=2， n=2 不满足条件 SK， S=6， n=3 不满足条件 SK， S=2， n=4 不满足条件 SK， S=18， n=5 不满足条件 SK， S=14， n=6 不满足条件 SK， S=78， n=7 由题意，此时满足条件 78K，退出循环，输出 n 的值为 7 则输入的整数 K 的最大值是 78 故选： C 【点评】 本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题目 10已知函数 f（ x） =ax+有三个不同的零点 中 则（ 1） 2（ 1 ）（ 1 ）的值为（ ） 第 12 页（共 26 页） A 1 a B a 1 C 1 D 1 【考点】 函数零点的判定定理 【专题】 计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 先分离参数得到 a= ，令 h（ x） = 求导后得其极值点， h（ x）在（ 0， 1），（ e， +）上为减函数，在（ 1， e）上为增函数再令 a= ，转化为关于 的方程后由根与系数关系得到 1+2=1 a 0， 12=1 a 0，再结合 = 的图象可得到（ 1） 2（ 1 ）（ 1 ）的值 【解答】 解：令 f（ x） =0，分离参数得 a= ， 令 h（ x） = ， 由 h（ x） = =0，得 x=1 或 x=e 当 x（ 0， 1）时， h（ x） 0；当 x（ 1， e）时， h（ x） 0；当 x（ e， +）时， h（ x） 0 即 h（ x）在（ 0， 1），（ e， +）上为减函数，在（ 1， e）上为增函数 0 1 e a= = ，令 = ， 则 a= ，即 2+（ a 1） +1 a=0， 1+2=1 a 0， 12=1 a 0， 对于 = ， = 则当 0 x e 时， 0；当 x e 时， 0而当 x e 时， 恒大于 0 第 13 页（共 26 页） 画其简图， 不妨设 1 2，则 1= ， 2= = =3， （ 1 ） 2（ 1 ）（ 1 ） =（ 1 1） 2（ 1 2）（ 1 3） =（ 1 1）（ 1 2） 2=1（ 1 a） +（ 1 a） 2=1 故选： D 【点评】 本题考察了利用函数研究函数单调性 ，极值等性质，训练了函数零点的判断方法，运用了分离变量法，换元法，函数构造法等数学转化思想方法，综合性强属于压轴题范畴 二、填空题：本大题共 5小题，每小题 5分，共 25分 . 11观察式子 ， ，则可归纳出（ n1） 【考点】 归纳推理 【专题】 阅读型 【分析】 根据已知中，分析 左边式子中的数与右边式了中的数之间的关系，由此可写出结果 【解答】 解：根据题意，每个不等式的右边的分母是 n+1 不等号右边的分子是 2n+1， 1+ + （ n1） 第 14 页（共 26 页） 故答案为： （ n1） 【点评】 本题考查归纳推理归纳推理的一般步骤是：（ 1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（ 2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想） 12已知 ， a， b， c 分别为内角 A， B， C 的对边，且 abc 【考点】 正弦定理；余弦定理 【专题】 计算题；转化思想；分析法；解三角形 【分析】 利用余弦定理化简已知可得 a2+，由余弦定理即可求得 值 【解答】 解： abc 利用余弦定理可得： a +b =3c ，整理可得： a2+b2， 由余弦定理可得： = = 故答案为： 【点评】 本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 13如图，在边长为 1 的正方形 任取一点，则该点落在阴影部分中的概率为 【考点】 几何概型 【专题】 计算题；方程思想；综合法；概率与统计 【分析】 根据题意，易得正方形 面积，观察图形，由定积分公式计算阴影部分的 面积，进而由几何概型公式计算可得答案 第 15 页（共 26 页） 【解答】 解：根据题意，正方形 面积为 11=1， 由函数 y=x 与 y= 围成阴影部分的面积为 01（ x） ） |01= ， 由于 y=y= 互为反函数，所以阴影部分的面积为 ， 则正方形 任取一点 P，点 P 取自阴影部分的概率为 故答案为： 【点评】 本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积 14将编号为 1， 2， 3， 4 的四个小球放入 3 个不同的盒子中，每个盒子里至少放 1 个，则恰有 1 个盒子放有 2 个连号小球的所有不同 放法有 18 种（用数字作答） 【考点】 计数原理的应用 【专题】 计算题；转化思想；数学模型法；排列组合 【分析】 先把 4 个小球分为（ 2， 1， 1）一组，其中 2 个连号小球的种类有（ 1， 2），（ 2， 3），（ 3，4）为一组，再全排列即可， 【解答】 解：先把 4 个小球分为（ 2， 1， 1）一组，其中 2 个连号小球的种类有（ 1， 2），（ 2， 3），（ 3， 4）为一组，分组后分配到三个不同的盒子里，共有 8 种， 故答案为： 18 【点评】 本题考查了分步计数原理，关键是分组分配，属于基础题 15已知抛物线 准线方程为 x= 1 焦点为 F， A， B， C 为该抛物线上不同的三点，成等差数列，且点 B 在 x 轴下方，若 ，则直线 方程为 2x y 1=0 【考点】 抛物线的简单性质 【专题】 方程思想；转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程 【分析】 根据抛物线的准线方程求出 p，设 A， B， C 的坐标，根据 成等差数列，且点 B 在 x 轴下方，若 ，求出 x1+， ，然后求出直线 斜率和 A，C 的中点坐标，进行求解即可 第 16 页（共 26 页） 【解答】 解：抛物线的准线方程是 x= = 1， p=2， 即抛物线方程为 x， F（ 1， 0） 设 A（ B（ C（ | |， | |， | |成等差数列， | |+| |=2| |， 即 +2（ ）， 即 x1+ ， （ 1+1+1， y1+y2+=0， x1+x2+， y1+y2+， 则 x1+， ， 由 ，则 2 或 2（舍）， 则 y1+， 则 中点坐标为（ ， ），即（ 1， 1）， 斜率 k= = = = =2， 则直线 方程为 y 1=2（ x 1）， 即 2x y 1=0， 故答案为： 2x y 1=0 【点评】 本题主要考查直线和抛物线的位置关系，根据条件求出直线 斜率和 中点坐标是解决本题的关键综合性较强，难度较大 三、解答题：本大题共 6小题，共 75分 明过程或演算步骤 . 16已知函数 f（ x） =4x ） x= 处取得最值，其中 （ 0， 2） （ 1）求函数 f（ x）的最小正周期： 第 17 页（共 26 页） （ 2）将函数 f（ x）的图象向 左平移 个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 3 倍，纵坐标不变，得到函数 y=g（ x）的图象若 为锐角 g（ ） = ，求 考点】 由 y=x+）的部分图象确定其解析式；函数 y=x+）的图象变换 【专题】 函数思想；数形结合法；三角函数的图像与性质 【分析】 （ 1）化简可得 f（ x） =22x ） ，由函数的最值可得 ，再由周期公式可得； （ 2）由函数图象变换可得 g（ x） =2x ） ，可得 ） = ，进而可得 ） = ，整体代入 ） + = ） ）计算可得 【解答】 解：（ 1）化简可得 f（ x） =4x ） 4（ 2 2 =22x ） ， 函数 f（ x）在 x= 处取得最值， 2 =，解得 =2k+ ， kZ， 又 （ 0， 2）， = ， f（ x） =23x ） ， 最小正周期 T= ； （ 2）将函数 f（ x）的图象向左平移 个单位得到 y=2（ x+ ） =23x ）的图象， 再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 3 倍，纵坐标不变，得到函数 y=g（ x） =2x ） 的图象 为锐角， g（ ） =2 ） = ， ） = ， ） = = ， 第 18 页（共 26 页） ） + = ） ） = = 【点评】 本题考查三角函数图象和解析式，涉及三角函数图象变换，属中档题 17如图所示的几何体中，四边形 四边形 全等的等腰梯形，且平面 平面C， 0， G 为线段 中点 （ 1）求证： （ 2）求二面角 D B（钝角）的余弦值 【考点】 二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系 【专题】 转化思想；向量法；空间位置关系与距离；空间角 【分析】 （ 1）根据线面垂直的性质定理证明 平面 可 （ 2）建立空间直角坐标系，求出对应平面的法向量，利用向量法进行求解即可 【解答】 解：（ 1）连接 四边形 四边形 全等的等腰梯形， D= 0， G 为线段 中点， 理 平面 平面 平面 面 （ 2）由（ 1）知 平面 建立以 C 为坐标原点，以 别为 x， y， z 轴的空间直角坐标系如图： C， 0， 设 ，则 ， F= ， 则 A（ ， 0， 0）， B（ 0， 1， 0）， F（ 0， 0， ）， G（ ， ， 0）， 第 19 页（共 26 页） 则 =（ ， ， ）， = =（ 0， 1， 0）， =（ ， ， 0）， 设平面 一个法向量为 =（ x， y， z）， 则 ， 则 y=0，令 x=2，则 z=1，即为 =（ 2， 0， 1）， 设平面 一个法向量为 =（ x， y， z）， 则 ， 即 ， 令 x=1，则 y= ， z=1，即为 =（ 1， ， 1）， 则 ， = = = = ， 二面角 D B 是钝二面角， 二面角（钝角）的余弦值为 【点评】 本题主要 考查空间直线垂直的判断以及二面角的求解，根据线面垂直的性质定理以及建立坐标系，利用向量法求二面角是解决本题的关键 第 20 页（共 26 页） 18已知正项数列 前 n 项和为 ， +Sn=a ，数列 足 =3 ，且 （ ）求数列 通项公式； （ ）记 Tn=1+ 【考点】 数列的求和；数列递推式 【专题】 方程思 想；转化思想；等差数列与等比数列 【分析】 （ I）正项数列 前 n 项和为 ， +Sn=a ，利用递推关系及其等差数列的通项公式即可得出数列 足 =3 ，且 可得 =3n， 利用递推关系可得： =3得数列 奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为 3即可得出 （ 用 “错位相减法 ”与等比数列的前 n 项和公式即可 得出 【解答】 解：（ I）正项数列 前 n 项和为 ， +Sn=a ， 当 n2 时， n 1= ，相减可得： +an=a ， ， 数列 等差数列，首项为 1，公差为 1 +（ n 1） =n 数列 足 =3 ，且 =3n， = =3， =3 数列 奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为 3 1=3k 1， k （ kN*） （ Tn=1+n+（ n 1） 32+（ n 2） 33+3n 32n+（ n 1） 33+23n+3n+1， 第 21 页（共 26 页） 2n 32 33 3n 3n+1=3n =3n ， 【点评】 本题考查了递推关系、等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、 “错位相减法 ”，考查了推理能力与计算能力，属于中档 题 19某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在 50， 100内，发布成绩使用等级制各等级划分标准见表规定： A、 B、 C 三级为合格等级， D 为不合格等级 百分制 85 以及以上 70 分到 84 分 60 分到 69 分 60 分以下 等级 A B C D 为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了 n 名学生的原始成绩作为样本进行统计按照50， 60）， 60， 70）， 70， 80）， 80， 90）， 90， 100的分组作出频率分布直方图如图 1 所示 ，样本中分数在 80 分及以上的所有数据的茎叶图如图 2 所示 （ I）求 n 和频率分布直方图中的 x， y 的值； （ ）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选 3 人，求至少有 1 人成绩是合格等级的概率； （ ）在选取的样本中，从 A、 C 两个等级的学生中随机抽取了 3 名学生进行调研，记 表示所抽取的 3 名学生中为 C 等级的学生人数，求随机变量 的分布列及数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变 量及其分布列 【专题】 计算题；转化思想；综合法；概率与统计 【分析】 （ ）由题意知，先求出样本容量，由此能求出 n 和频率分布直方图中的 x， y 的值 （ ）成绩是合格等级人数为 45 人，从而得到从该校学生中任选 1 人，成绩是合格等级的概率为 ，由此能求出至少有 1 人成绩是合格等级的概率 第 22 页（共 26 页） （ ）由题意知 C 等级的学生人数为 9 人， A 等级的人数为 3 人， 的可能取值为 0， 1， 2， 3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量 的分布列及数学期望 【解答】 解：（ ）由题意 知，样本容量 n= ， x= =y= = （ ）成绩是合格等级人数为：（ 1 50=45 人， 抽取的 50 人中成绩是合格等级的频率为 ， 故从该校学生中任选 1 人，成绩是合格等级的概率为 ， 设在该校高一学生中任选 3 人，至少有 1 人成绩是合格等级的事件为 A， 则 P（ A） =1 = （ ）由题意知 C 等级的学生人数为 0=9 人， A 等级的人数为 3 人，故 的可能取值为 0， 1， 2， 3， P（ =0） = = ， P（ =1） = = ， P（ =2） = = ， P（ =3） = = ， 的分布列为： 0 1 2 3 P = 【点评】 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用 20已知椭圆 的离心率 ，过椭圆的左焦点 F 且倾斜角为 30的直线与圆 x2+y2=交所得弦的长度为 1 （ I）求椭圆 E 的方程； 第 23 页（共 26 页） （ ）若动直线 l 交椭圆 E 于不同两点 M（ N（ 设 =（ =（ O 为坐标原点当以线段 直径的圆恰好过点 O 时，求证： 面积为定值，并求出该定值 【考点】 椭圆的简单性质 【专题】 转化思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程 【分析】 （ I）运用离心率公式和直线与圆相交 的弦长公式，结合 a， b， c 的关系，解方程可得 a， b，进而得到椭圆方程； （ ）讨论直线 斜率存在和不存在，以线段 直径的圆恰好过点 O，可得 ，运用向量的数量积为 0，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，化简整理，由三角形的面积公式，计算即可得到定值 【解答】 解：（ I）由题意可得 e= = ， 过椭圆的左焦点 F（ c， 0）且倾斜角为 30的直线方程为： y= （ x+c）， 由直线与圆 x2+y2=交所得弦的长度为 1， 可得 2 =2 =1， 又 b2= 解方程可得 a=2， b=1， c= ， 即有椭圆的方程为 +； （ ）证明：（ 1）当 斜率不存在时， x1= 以线段 直径的圆恰好过点 O，可得 ， 即有 =0，即有 ， 即有 ，即 4， 又（ 椭圆上， ， 可得 ， | ， S | =1； （ 2）当 斜率存在，设 方程为 y=kx+t， 代入椭圆方程（ 1+44=0， =644（ 1+4 44） =4 0， 第 24 页（共 26 页） x1+ ， ， 又 =0，即有 ， y1=t， y2=t， （ 1+x1+4， 代入整理，可得 2+4 即有 | = = ， 又 O 到直线的距离为 d= ， S d| |t| = |t| =1 故 面积为定值 1 【点评】 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和直线与圆相交的弦长公式，考查三角形的面积的求法，注意讨论直线的斜率是否存在，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和点到直线的距离公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题 21函数 f（ x） =（ x a） 2（ x+b） a， bR） （ 1）当 a=0， b= 3 时求函数 f（ x）的单调区间； （ 2）若 x=a 是 f（ x）的极大值点 （ i）当 a=0 时，求 b 的取值范围； （ a 为定值时设 中 是 f（ x）的 3 个极值点，问：是否存在实数 b，可找到实数 得 存在求出 b 的