山东省枣庄市台儿庄区涧头集二中八年级数学《等腰三角形》练习 人教新课标版

用心 爱心 专心1 第第 2323 章章 等腰三角形等腰三角形 一 选择题 1 2011 浙江省舟山 7 3 分 如图 边长为 4 的等边 ABC中 DE为中位线 则四边形BCED的面积为 A 32 B 33 C 34 D 36 答案 B 2 2011 四川南充市 10 3 分 如图 ABC 和 CDE 均为等腰直角三角形 点 B C D 在一条直线上 点 M 是 AE 的中点 下列结论 tan AEC CD BC S ABC S CDE S ACE BM DM BM DM 正确结论的个数是 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 M E D C B A 答案 D 3 2011 浙江义乌 10 3 分 如图 ABC和 ADE都是等腰直角三角形 BAC DAE 90 四边形ACDE是平行四边形 连结CE交AD于点F 连结BD交 CE于点G 连结BE 下列结论中 CE BD ADC是等腰直角三角形 ADB AEB CD AE EF CG 一定正确的结论有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 答案 D 4 2011 台湾全区 30 如图 十三 ABC中 以B为圆心 BC长为半径画弧 分别交AC AB 于D E两点 并连接BD DE 若 A 30 AB AC 则 BDE的度数为何 A B C D E F G 第 7 题 A BC D E 用心 爱心 专心2 A 45 B 52 5 C 67 5 D 75 答案 5 2011 台湾全区 34 如图 十六 有两全等的正三角形ABC DEF 且D A分别为 ABC DEF 的重心 固定D点 将 DEF逆时针旋转 使得A落在DE上 如图 十七 所示 求图 十六 与图 十 七 中 两个三角形重迭区域的面积比为何 A 2 1 B 3 2 C 4 3 D 5 4 答案 6 2011 山东济宁 3 3 分 如果一个等腰三角形的两边长分别是 5cm 和 6cm 那么此三角形的周长是 A 15cm B 16cm C 17cm D 16cm 或 17cm 答案 D 7 2011 四川凉山州 8 4 分 如图 在ABC 中 13ABAC 10BC 点D为BC的中点 DE DEAB 垂足为点E 则DE等于 A 10 13 B 15 13 C 60 13 D 75 13 答案 C 8 二 填空题 1 2011 山东滨州 15 4 分 边长为 6cm 的等边三角形中 其一边上高的长度为 答案 3 3cm 2 2011 山东烟台 14 4 分 等腰三角形的周长为 14 其一边长为 4 那么 它的底边为 答案 4 或 6 3 2011 浙江杭州 16 4 在等腰Rt ABC中 C 90 AC 1 过点C作直线l AB F是l上的一点 且 AB AF 则点F到直线BC的距离为 用心 爱心 专心3 答案 3131 22 或 4 2011 浙江台州 14 5 分 已知等边 ABC 中 点 D E 分别在边 AB BC 上 把 BDE 沿直线 DE 翻折 使点 B 落在 点 B 处 DB EB 分别交边 AC 于点 F G 若 ADF 80 则 EGC 的度数为 答案 80 5 2011 浙江省嘉兴 14 5 分 如图 在 ABC中 AB AC 40A 则 ABC的外角 BCD 答案 110 6 2011 湖南邵阳 11 3 分 如图 四 所示 在 ABC 中 AB AC B 50 则 A 答案 80 提示 A 180 2 50 80 7 2011 山东济宁 15 3 分 如图 等边三角形ABC中 D E分别为 AB BC 边上的两个动点 且总使 AD BE AE与CD交于点F AG CD于点 G 则 FG AF 答案 1 2 8 2011 湖南怀化 13 3 分 如图 6 在 ABC 中 AB AC BAC 的角平分线交 BC 边于点 D AB 5 BC 6 则 AD G F E C B A 第 15 题 D 第 14 题 A B C D 用心 爱心 专心4 答案 4 9 2011 四川乐山 16 3 分 如图 已知 AOB 在射线 OA OB 上分别取点 OA1 OB1 连结 A1B1 在 B1A1 B 1B 上分别取点 A2 B2 使 B1 B2 B1 A2 连结 A2 B2 按此规律上去 记 A2 B1 B2 1 3232 A B B n 11 A nnn B B 则 1 n 答案 2 180 n n 2 18012 10 2011 湖南邵阳 11 3 分 如图 四 所示 在 ABC 中 AB AC B 50 则 A 答案 80 11 2011 贵州贵阳 15 4 分 如图 已知等腰 Rt ABC的直角边长为 1 以 Rt ABC的斜边AC为直角边 画第二 个等腰 Rt ACD 再以 Rt ACD的斜边AD为直角边 画第三个等腰 Rt ADE 依此类推直到第五个等腰 Rt AFG 则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为 第 15 题图 答案 31 2 12 2011 广东茂名 14 3 分 如图 已知 ABC是等边三角形 点B C D E在同一直线上 且 CG CD DF DE 则 E 度 用心 爱心 专心5 答案 15 三 解答题 1 2011 广东东莞 21 9 分 如图 1 ABC与 EFD为等腰直角三角形 AC与DE重合 AB EF 9 BAC DEF 90 固定 ABC 将 EFD绕点A 顺时针旋转 当DF边与AB边重合时 旋转中止 不考 虑旋转开始和结束时重合的情况 设DE DF 或它们的延长线 分别交BC 或它的延长线 于G H点 如图 2 1 问 始终与 AGC相似的三角形有 及 2 设CG x BH y 求y关于x的函数关系式 只要求根据 2 的情况说明理由 3 问 当x为何值时 AGH是等腰三角形 解 1 HGA 及 HAB 2 由 1 可知 AGC HAB CGAC ABBH 即 9 9 x y 所以 81 y x 3 当 CG 1 2 BC时 GAC H HAC AC CH AG AC AG GH 又 AH AG AH GH 此时 AGH 不可能是等腰三角形 当 CG 1 2 BC时 G 为 BC 的中点 H 与 C 重合 AGH 是等腰三角形 此时 GC 9 2 2 即 x 9 2 2 当 CG 1 2 BC时 由 1 可知 AGC HGA 所以 若 AGH 必是等腰三角形 只可能存在 AG AH 若 AG AH 则 AC CG 此时 x 9 综上 当 x 9 或 9 2 2 时 AGH 是等腰三角形 2 2011 山东德州 19 8 分 如图 AB AC CD AB于D BE AC于E BE与CD相交于点O 1 求证AD AE 2 连接OA BC 试判断直线OA BC的关系并说明理由 用心 爱心 专心6 答案 1 证明 在 ACD与 ABE中 A A ADC AEB 90 AB AC ACD ABE 3 分 AD AE 4 分 2 互相垂直 5 分 在 Rt ADO与 AEO中 OA OA AD AE ADO AEO 6 分 DAO EAO 即OA是 BAC的平分线 7 分 又 AB AC OA BC 8 分 3 2011 山东日照 23 10 分 如图 已知点D为等腰直角 ABC内一点 CAD CBD 15 E为AD延长线上 的一点 且CE CA 1 求证 DE平分 BDC 2 若点M在DE上 且DC DM 求证 ME BD 答案 1 在等腰直角 ABC中 CAD CBD 15o BAD ABD 45o 15o 30o BD AD BDC ADC DCA DCB 45o 由 BDM ABD BAD 30o 30o 60o EDC DAC DCA 15o 45o 60o A BC E D O A B E C D O 用心 爱心 专心7 BDM EDC DE平分 BDC 2 如图 连接MC DC DM 且 MDC 60 MDC是等边三角形 即CM CD 又 EMC 180 DMC 180 60 120 ADC 180 MDC 180 60 120 EMC ADC 又 CE CA DAC CEM 15 ADC EMC ME AD DB 4 2011 湖北鄂州 18 7 分 如图 在等腰三角形 ABC 中 ABC 90 D 为 AC 边上中点 过 D 点作 DE DF 交 AB 于 E 交 BC 于 F 若 AE 4 FC 3 求 EF 长 答案 连结 BD 证 BED CFD 和 AED BFD 求得 EF 5 5 2011 浙江衢州 23 10 分 ABC 是一张等腰直角三角形纸板 Rt2CACBC 要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形 有甲 乙两种剪法 如图 1 比较甲 乙两种剪法 哪种剪法所得的正 方形面积更大 请说明理由 图 1 中甲种剪法称为第 1 次剪取 记所得的正方形面积为 1 S 按照甲种剪法 在余下的ADEBDF 和中 分别剪 取正方形 得到两个相同的正方形 称为第 2 次剪取 并记这两个正方形面积和为 2 S 如图 2 则 2 S 再 在余下的四个三角形中 用同样的方法分别剪取正方形 得到四个相同的正方形 称为第 3 次剪取 并记这四个正方 形的面积和为 3 S 如图 3 继续操作下去 则第 10 次剪取时 10 S 求第 10 次剪取后 余下的所有小三角形的面积和 答案 1 解法 1 如图甲 由题意得 1 1 CFDE AEDEECECS 正方形 即 如图乙 设MNx 则由题意 得 AMMQPNNBMNx 第 18 题 图 B A E D FC 第 23 题 第 23 题图 1 P N D F E B A C C A B Q M 用心 爱心 专心8 2 2 2 32 2 3 2 28 39 PNMQ xx S 正方形 解得 又 8 1 9 甲种剪法所得的正方形的面积更大 说明 图甲可另解为 由题意得点 D E F 分别为ABACBC 的中点 1 1 2 ABCCFDE SS A正方形 解法 2 如图甲 由题意得AEDEEC 即EC 1 如图乙 设 MNxAMMQQPPNNBMNx 则由题意得 2 2 32 2 3 2 2 1 3 xx ECMN 解得 又即 甲种剪法所得的正方形的面积更大 2 2 1 2 S 3 10 9 1 2 S 3 解法 1 探索规律可知 1 1 2 n n S 剩余三角形的面积和为 1210 99 1111 221 2422 SSS 解法 2 由题意可知 第一次剪取后剩余三角形面积和为 11 2 1 SS 第二次剪取后剩余三角形面积和为 122 11 1 22 SSS 第三次剪取后剩余三角形面积和为 233 111 244 SSS 第十次剪取后剩余三角形面积和为 91010 9 1 2 SSS 6 2011 浙江绍兴 23 12 分 数学课上 李老师出示了如下框中的题目 三 三 三 三 三 三 ABC三 三 三 E三 AB三 三 三 D三 CB三 三 三 三 三 三 三 ED EC 三 三 三 三 三 三 三 AE三 DB三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 E A B C D 小敏与同桌小聪讨论后 进行了如下解答 1 特殊情况 探索结论 当点E为AB的中点时 如图 1 确定线段AE与DB的大小关系 请你直接写出结论 AE DB 填 或 理由如下 如图 2 过点E作 EFBC 交AC于点F 请你完成以下解答过程 3 拓展结论 设计新题 在等边三角形ABC中 点E在直线AB上 点D在直线BC上 且EDEC 若ABC 的边长为 1 2AE 求 CD的长 请你直接写出结果 答案 1 2 方法一 如图 等边三角形ABC中 E A BC D 60 ABCACBBACABBCAC EFBC 60 AEFAFEBAC AEF 是等边三角形 AEAFEF ABAEACAFBECF 即 又60ABCEDBBED 60ACBECBFCE EDEC EDBECB BEDFCE DBEEFC DBEF AEBD 方法二 在等边三角形ABC中 第 25 题图 1 第 25 题图 2 用心 爱心 专心10 60120 60 180120 ABCACBABD ABCEDBBEDACBECBACE EDEC EDBECB BEDACE FEBC AEFAFEBAC AEFEFCACBABD EFCDBE DBEF 是正三角形 而由AEF 是正三角形可得 EFAE AEDB 3 1 或 3 7 2011 浙江台州 23 12 分 如图 1 过 ABC 的顶点 A 分别做对边 BC 上的高 AD 和中线 AE 点 D 是垂足 点 E 是 BC 中点 规定 BE DE A 特别的 当点 D 重合时 规定0 A 另外 对 B c 作类似的规定 1 如图 2 已知在 Rt ABC 中 A 30 求 A c 2 在每个小正方形边长为 1 的 4 4 方格纸上 画一个 ABC 使其顶点在格点 格点即每个小正方形的顶点 上 且2 A 面积也为 2 3 判断下列三个命题的真假 真命题打 假命题打 若 ABC 中 1 A 则 ABC 为锐角三角形 若 ABC 中 1 A 则 ABC 为直角三角形 若 ABC 中 1 A 则 ABC 为钝角三角形 答案 解 1 如图 作 CD AB 垂足为 D 作中线 CE AF BF CF A 1 Rt ABC 中 CAB 30 AE CE BE CEB 60 CEB 是正三角形 CD AB AE 2DE AE DE c 2 1 A 1 c 2 1 用心 爱心 专心11 2 如图所示 3 8 2011 浙江义乌 23 10 分 如图 1 在等边 ABC中 点D是边AC的中点 点P是线段DC上的动点 点P与点 C不重合 连结BP 将 ABP绕点P按顺时针方向旋转 角 0 180 得到 A1B1P 连结AA1 射线 AA1分别交射线PB 射线B1B于点E F 1 如图 1 当 0 60 时 在 角变化过程中 BEF与 AEP始终存在 关系 填 相似 或 全等 并说明理由 2 如图 2 设 ABP 当 60 180 时 在 角变化过程中 是否存在 BEF与 AEP全等 若存在 求出 与 之间的数量关系 若不存在 请说明理由 3 如图 3 当 60 时 点E F与点B重合 已知AB 4 设DP x A1BB1的面 积为S 求S关于x的函数关系 答案 1 相似 由题意得 APA1 BPB1 AP A1P BP B1P 则 PAA1 PBB1 2 90 2 180 PBB1 EBF PAE EBF 又 BEF AEP BEF AEP 2 存在 理由如下 易得 BEF AEP 若要使得 BEF AEP 只需要满足BE AE即可 BAE ABE BAC 60 BAE 30 22 9060 ABE BAE ABE 30 2 即 2 60 3 连结BD 交A1B1于点G 过点A1作A1H AC于点H 图 1 图 2 图 3 P B1 FM A D O EC C B A1 P B1 FM A D O EC C B A1 P B1 AD O C B A1 用心 爱心 专心12 B1 A1P A1PA 60 A1B1 AC 由题意得 AP A1 P A 60 PAA1是等边三角形 A1H 2 2 3 x 在 Rt ABD中 BD 32 BG xx 2 3 3 2 2 3 32 xxS BBA 332 2 3 34 2 1 11 0 x 2 9 2011 广东株洲 20 6 分 如图 ABC 中 AB AC A 36 AC 的垂直平分线交 AB 于 E D 为垂足 连结 EC 1 求 ECD 的度数 2 若 CE 5 求 BC 长 答案 1 解法一 DE 垂直平分 AC CE AE ECD A 36 解法二 DE 垂直平分 AC AD CD ADE CDE 90 又 DE DE ADE CDE ECD A 36 2 解法一 AB AC A 36 B ACB 72 ECD 36 BCE ACB ECD 36 BEC 72 B BC EC 5 解法二 AB AC A 36 P B1 ADOC B A1 H G 用心 爱心 专心13 B ACB 72 BEC A ECD 72 BEC B BC EC 5 10 2011 重庆綦江 24 10 分 如图 等边 ABC中 AO是 BAC的角平分线 D为AO上一点 以CD为一边且在CD 下方作等边 CDE 连结BE 1 求证 ACD BCE 2 延长BE至Q P为BQ上一点 连结CP CQ使CP CQ 5 若BC 8 时 求PQ的长 答案 1 证明ABC和 CDE均为等边三角形 AC BC CD CE 且 ACB DCE 60 ACD DCB DCB BCE 60 ACD BCE ACD BCE 2 解 作CH BQ交BQ于H 则PQ 2HQ 在Rt BHC中 由已知和 1 得 CBH CAO 30 CH 4 用心 爱心 专心14 在Rt CHQ中 HQ 345 2222 CHCQ PQ 2HQ 6 11 2011 江苏扬州 23 10 分 已知 如图 锐角 ABC 的两条高 BD CE 相交于点 O 且 OB OC 1 求证 ABC 是等腰三角形 2 判断点 O 是否在 BAC 的角平分线上 并说明理由 答案 1 证明 OB OC OBC OCB BD CE 是两条高 BDC CEB 90 又 BC CB BDC CEB AAS DBC ECB AB AC ABC 是等腰三角形 2 点 O 是在 BAC 的角平分线上 连结 AO BDC CEB DC EB OB OC OD OE 又 BDC CEB 90 AO AO ADO AEO HL DAO EAO 点 O 是在 BAC 的角平分线上 12 2011 广东省 21 9 分 如图 1 ABC与 EFD为等腰直角三角形 AC与DE重合 AB EF 9 BAC DEF 90 固定 ABC 将 EFD绕点A 顺时针旋转 当DF边与AB边重合时 旋转中止 不考 虑旋转开始和结束时重合的情况 设DE DF 或它们的延长线 分别交BC 或它的延长线 于G H点 如图 2 1 问 始终与 AGC相似的三角形有 及 2 设CG x BH y 求y关于x的函数关系式 只要求根据 2 的情况说明理由 3 问 当x为何值时 AGH是等腰三角形 解 1 HGA 及 HAB 2 由 1 可知 AGC HAB 用心 爱心 专心15 CGAC ABBH 即 9 9 x y 所以 81 y x 3 当 CG 1 2 BC时 GAC H HAC AC CH AG AC AG GH 又 AH AG AH GH 此时 AGH 不可能是等腰三角形 当 CG 1 2 BC时 G 为 BC 的