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文档简介

用心 爱心 专心 活跃在高考中的长方体问题活跃在高考中的长方体问题 长方体是立体几何中最常见的几何体 正方体是长方体的特例 立体几何中许多概念 定理都可以用长方体中的点 线 面的关系说明 故也成为高考中考查立体几何知识的主 要载体 下面将其在立体几何题中的几种应用加以分类说明 一 利用正方体验证命题的正确性 例 1 设 上为两个不同的平面 lm上为两条不同的直线 且lm 上 有如下 的两个命题 若 则lm 若l m 则 那么 A 是真命题 是假命题 B 是假命题 是真命题 C 都是真命题 D 都是假命题 解析 运用正方体模型 上 下底面分别为 上 分别取上 下底面的边为lm上 易知 则lm 或l与m异面 若lm 可以是异面垂直 则 与 可能平行 故 都是假命题 选 D 点评 运用正方体 或长方体 构造反例否定命题 显得十分方便 二 构造正方体模型解题 例 2 如图 PA 平面ABC ACB 90 且PA AC BC a 则异面直线PB与AC所成角 的正切值等于 解析 如图 2 将此多面体补成正方体 111 DBCAD BC P PB与AC所成的角的大小即 此正方体主对角线PB与棱BD所成角的大小 在RtPDB 中 tan2 PD DBP DB 故填2 点评 依据本题中棱锥的特点 将其补成如图 2 所示的正方体 从而把线面关系问题转化 到正方体中解决 将抽象的问题具体化 三 求解长方体中有关元素间的夹角 用心 爱心 专心 例 3 如图 3 长方体 1111 ABCDABC D 中 1 21AAABAD 上 点EFG上上分别是 11 DDABCC上上的中点 则异面直线 1 AE与GF 所成的角是 A 15 arccos 5 B C 10 arccos 5 D 解析 连结 11 BGB F上 则 11 AEBG 知 1 BGF 就是异面直线 1 AE与GF所成的角 在 1 BCF 中 由余弦定理 得 222 11 1 1 cos 2 BGGFB F BGF BG GF A 222 2 3 5 0 223 故 1 BGF 应选 D 点评 本题是以长方体为载体 求异面直线所成的角 此类题是运用平移法加以解决 四 计算与正方体有关的体积及表面积 例 4 有一塔形几何体由若干 个正方体构成 构成方式如图 4 所示 上层正方体下底面的四个 顶点是下层正方体上底面的各个中点 已知最底层正方体的棱长为 2 且该塔形的表面积 含最底层正方体的底面面积 超过 39 则 该塔形中正方体的个数至少是 A 4B 5C 6D 7 分析 本题初看觉得较难 其实只要做出形式转换 将文字语言转换成符号语言 即 SSSS 下侧表上 这可是使问题顺利解决 解 由题意 得SSSS 下侧表上 显然SS 上上 即 22223 1 4 1 2 2 24 2 2 12 8439 1 1 2 n n S 上 从而解得n的最小值为
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