高考数学 二次函数、分段函数自编练习题

用心 爱心 专心1 高考数学高考数学 二次函数 分段函数自编二次函数 分段函数自编 2009 湖北 在 R 上定义运算 b c 为常数 记bcbqcpqp4 3 1 或 令 cxxf2 2 1 bxxf2 2 Rx 21 xfxfxf 如果函数在 x 1 处有极值 试确定 b c 的值 xf 3 4 求曲线上斜率为c的切线与该曲线的公共点 xfy 记的最大值为 M 若 M k 对任意的 b c 恒成立 试求 k 的最 11 xxfxg 大值 解 根据定义 bcbxcxbxcxxfxfxf4 3 3 3 1 2 2 22 21 化简得到 bccxbxxxf 23 3 1 对 f x 求导得到 cbxxxf 2 2 依题意 021 1 cbf 3 4 3 1 1 bccbf 解得 b 1 c 1 或 b 1 c 3 当b 1 c 1时 x 1 不是极值1 3 1 23 xxxxf0112 22 或或 xxxxf 点 当b 1 c 3时 33 3 1 23 xxxxf32 2 xxxf22 xxf x 1 是极大值点 因此2 xf b 1 c 3 当时 IIcxf bxxbxx2002 2 或 当 x 0 时得切线方程为 y c x b 与曲线联立得 0 3 1 23 bxx 得公共点 0 bc 与 3b 4bc 同理当 x 2b 时切线与曲线的公共点为 b 与 2b 3 4 3 b 3 4 3 3 b bc 因此曲线 y f x 上斜率为 c 的切线与该曲线的公共点为 0 bc 3b 4bc b 2b 3 4 3 b 3 4 3 3 b bc 依题设 III 用心 爱心 专心2 cbbxcbxxxfxg 222 2 当 b 1 时 g x 的图像大致如右图 因此 M max g 1 g 1 max c 2b 1 c 2b 1 2b 2 2 1212 bcbc 2 12 12 bcbc 同理 当 1 b 1 时 M max g 1 g b g 1 max c 2b 1 b2 c c 2b 1 4 21212 2 cbbcbc 4 21212 2 或或或或cbbcbc 2 1 2 b 2 1 当 b 1 时 M max g 1 g 1 max c 2b 1 c 2b 1 2b 2 则要使 M k 对任意的 b c 都恒成立则 k 2 1 当 b 0 c 时在区间上的最大值 M 2 1 2 1 2 xxfxg 11或 2 1 所以 k 的最大值为 2 1 2009 江苏 设a为实数 函数 2 2 f xxxaxa 1 若 0 1f 求a的取值范围 2 求 f x的最小值 3 设函数 h xf x xa 直接写出 不需给出演算步骤 不等式 1h x 的解集 解析 本小题主要考查函数的概念 性质 图象及解一元二次不等式等基础知识 考查灵 活运用数形结合 分类讨论的思想方法进行探索 分析与解决问题的综合能力 满分 16 分 1 若 则 0 1f 2 0 11 1 a a aa a 2 当时 xa 22 32 f xxaxa 2 2 min 02 0 2 0 0 3 3 f a aaa f x a a fa a 当时 xa 22 2 f xxaxa 2 min 2 02 0 0 2 0 fa aaa f x f a a aa 综上 2 2 min 2 0 2 0 3 aa f x a a 3 时 得 xa 1h x 22 3210 xaxa 222 412 1 128aaa 当时 66 22 aa 或0 xa 用心 爱心 专心3 当时 0 得 66 22 a 22 3232 0 33 aaaa xx xa 讨论得 当时 解集为 26 22 a a 当时 解集为 62 22 a 22 3232 33 aaaa a 当时 解集为 22 22 a 2 32 3 aa 2008 江苏 若 为常数 且 12 12 3 2 3 xpxp f xfx xR 12 p p 212 211 xfxfxf xfxfxf xf 1 求对所有实数成立的充要条件 用表示 1 xfxf x 21 p p 2 设为两实数 且若ba ba 21 bapp bfaf 求证 在区间上的单调增区间的长度和为 闭区间的长度定义为 xf ba 2 ab nm mn 解析 本小题考查充要条件 指数函数与绝对值函数 不等式的综合运用 恒成立 1 f xfx 12 fxfx 12 32 3 xpxp A 123 log 2 33 xpxp 1232 xpxplog 因为 121212 xpxpxpxppp 所以 故只需 恒成立 12 pp 32 log 综上所述 对所有实数成立的充要条件是 1 f xfx 12 pp 32 log 1 如果 则的图象关于直线对称 因为 所以区间 12 pp 32 log 1 xp f afb 关于直线 对称 a b 1 xp 因为减区间为 增区间为 所以单调增区间的长度和为 1 a p 1 p b 2 ba 2 如果 12 pp 32 log 1 当时 12 pp 32 log 1 1 1 1 1 3 3 xp px xp b fx xa p 23 23 log 2 2 2 log 2 2 3 3 xp px xp b fx xa p 当 因为 所以 1 xp b 213 log 210 2 331 pp fx fx 12 0 0fxfx 12 fxfx 故 1 f xfx 1 3x p 当 因为 所以 2 xa p 123 log 210 2 331 pp fx fx 12 0 0fxfx 12 fxfx 故 2 f xfx 23 log 2 3p x 用心 爱心 专心4 因为 所以 所以即 f afb 231 log 2 33p ab p 123 log 2 bppa 123 log 2abpp 当时 令 则 所以 21 xpp 12 fxfx 231 log 2 33x ppx 123 log 2 2 pp x 当时 所以 123 2 log 2 2 pp xp 12 fxfx 2 f xfx 23 log 2 3x p 时 所以 123 1 log 2 2 pp xp 12 fxfx 1 f xfx 1 3p x 在区间上的单调增区间的长度和 f x a b 123 12 log 2 2 pp bpp 123 log 2 222 ppabba bb 2 当时 21 pp 32 log 1 1 1 1 1 3 3 xp px xp b fx xa p 23 23 log 2 2 2 log 2 2 3 3 xp px xp b fx xa p 当 因为 所以 2 xp b 213 log 210 2 331 pp fx fx 12 0 0fxfx 12 fxfx 故 2 f xfx 23 log 2 3x p 当 因为 所以 1 xa p 123 log 210 2 331 pp fx fx 12 0 0fxfx 12 fxfx 故 1 f xfx 1 3p x 因为 所以 所以 f afb 231 log 2 33b p pa 123 log 2abpp 当时 令 则 所以 12 xp p 12 fxfx 231 log 2 33p xxp 123 log 2 2 pp x 当时 所以 123 1 log 2 2 pp xp 12 fxfx 1 f xfx 1 3x p 时 所以 123 1 log 2 2 pp xp 12 fxfx 2 f xfx 23 log 2 3p x 在区间上的单调增区间的长度和 f x a b 123 21 log 2 2 pp bpp 123 log