湖北省稳派教育2011-2012学年高二数学下学期5月摸底考试试题 理

1 稳派教育名校联盟稳派教育名校联盟 20122012 年年 5 5 月高二年级摸底考试月高二年级摸底考试 数数 学 理科 学 理科 本试卷共本试卷共 4 4 页 共页 共 2222 题 满分题 满分 150150 分 考试时间分 考试时间 120120 分钟 分钟 祝考试顺利祝考试顺利 注意事项 注意事项 1 答题前 考生务必将自己的姓名 准考证号填在试题卷和答题卡上 并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上指定位置 2 选择题每小题选出答案后 用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 答在试题卷上无效 3 填空题和解答题用 0 5 毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内 答在 试题卷上无效 4 考试结束 请将本试题卷和答题卡一并上交 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1010 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 5050 分 在每小题给出的四个选项中 只分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是满足题目要求的有一项是满足题目要求的 1 已知i为虚数单位 复数 12 1 i z i 则复数z的虚部是 A i 2 3 B 2 3 C i 2 1 D 2 1 考点分析 本题主要考查复数的概念以及基本的运算能力 参考答案 B 解题思路 根据 12 1 i z i 可得 所以选 B 2 31i z 2 如图是2012赛季NBA纽约尼克斯队两名球星安东尼和林书豪每场比赛得分的茎叶图 则 两人比赛得分的中位数之和是 A 28 B 38 C 48 D 58 考点分析 本题主要考查茎叶图的基础知识 参考答案 D 解题思路 根据茎叶图的基本概念计算即可 3 下列有关选项正确的是 A 若为真命题 则为真命题 qp pq B 是 的充分不必要条件 5x 2 450 xx C 命题 若 则 的否命题为 若 则1x 2 230 xx 1x 2 320 xx D 已知命题 使得 则 使得 pRx 2 10 xx p Rx 2 10 xx 考点分析 本题主要考查复合命题 充要条件和特称命题的否定等基础知识 参考答案 B 解题思路 根据相关基本概念判断即可 4 一个正三棱柱的主 正 视图是长为 宽为 2 的3 矩形 则它的外接球的表面积等于 A B 16 12 C D 8 4 3 2 甲 乙 2 1 2 3 2 3 2 3 1 4 2 2 3 4 5 3 1 1 4 6 3 4 0 4 0 9 2 考点分析 本题主要考查几何体的三视图 球的表面积等基础知识以及空间想象能力 参考答案 C 解题思路 易得外接球的半径 所以外接球的表面积等于2 r 8 5 以双曲线 1 的右焦点为圆心 且与其渐近线相切的圆的方程是 x2 9 y2 16 A x2 y2 10 x 9 0 B x2 y2 10 x 16 0 C x2 y2 10 x 16 0 D x2 y2 10 x 9 0 考点分析 本题主要考查了双曲线与圆的几何性质和运用 考察了运算能力和推理能 力 参考答案 A 解题思路 右焦点 5 0 渐近线y r 4 4x 3 6 阅读如图所示的程序框图 输出的结果S的值为 A 0B 3 2 C 3D 3 2 考点分析 本题主要考查算法框图 三角函数的诱导公式 周期性 参考答案 B 解题思路 该程序的功能是计算 22009 sinsinsin 333 的值 根据周期性 这个算式中每连续个 3 2011 sin 3 2010 sin 6 的值等于 故这个值等于第一个值的和 即 0 2 3 3 sin 7 已知函数 若实数是函数 1 tan 22 x f xxx e 0 x yf x 的零点 且 则的值 0 0tx f t A 大于 1 B 大于 0 C 小于 0 D 不大于 0 考点分析 本题考查函数的单调性和函数的零点以及计算和逻辑推理的能力 参考答案 B B 解题思路 因为函数是减函数 又因为 所以 xf 01 0 xx 0 01 xfxf 8 从 5 种不同的水果和 4 种不同的糖果中各选出 3 种 放入如图 所示的 6 个不同区域 用数字表示 中拼盘 每个区域只放一种 且 水果不能放在有公共边的相邻区域内 则不同的放法有 A 2 880 种 B 2 160 种 C 1 440 种 D 720 种 考点分析 本题考查排列组合知识的基本运用 参考答案 A 解题思路 28802 3 4 3 5 AA 123 456 开开始始 结结束束 0 1sn 2011 n 是是 否否 输输出出s sin 3 n ss 1nn 3 9 已知 直线和曲线有两个不同 2 0 4 y x y yx 2ymxm 2 4yx 的交点 它们围成的平面区域为 向区域上随机投一点 A 点 A 落在区域内的概M M 率为 若 则实数的取值范围为 P M 2 1 2 P M m A B C D 1 1 2 3 0 3 3 1 3 0 1 考点分析 本题考查几何概型的运算和线性规划的知识以及数形结合的解题思想 参考答案 D 解题思路 由题意得所表示的平面区域为X轴上方的一个半 2 0 4 y x y yx 圆 其面积为 由直线和曲线有两个不同的交点 可得直线2 2ymxm 2 4yx 必过一个特殊点 2 0 当过点 0 2 时它们围成的平面区域的面积为 由M2 点A落在区域内的概率最小值为得 0 由点A落在区域内的概率M P M 2 2 mM 最大值为1时 可得 1 所以实数的取值范围为 故选D P Mmm 0 1 10 已知函数的定义域为的导函数为 且对任意正数 X 均有 则下列结论中正确的是 A 在 0 上为增函数B 在 0 上为减函数 C 若 则 D 若 则 考点分析 本题考查函数 导数与不等式的知识 考查了对这些知识的灵活运用能力 以及对知识的转化能力 参考答案 D 解题思路 由 又 0 x xfxxf x xf xf0 0 2 x xfxxf x 即 在上单调递增 又 x xf x xf 0 0 0 21 xx 即 同理 21 21 1 1 xx xxf x xf 211121 xxfxxfxx 即 21 21 2 2 xx xxf x xf 212221 xxfxxfxx 2121 xxfxfxf 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 5 5 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2525 分分 请将答案填在答题卡对应题号的位请将答案填在答题卡对应题号的位 置上置上 一题两空的题一题两空的题 其答案按先后次序填写其答案按先后次序填写 答错位置 书写不清 模棱两可均不得答错位置 书写不清 模棱两可均不得 分 分 11 某中学共有学生 3 000 名 各年级男 女生人数如下表 高一年级高二年级高三年级 4 女生 523xy 男生 487490z 已知在全校学生中随机抽取 1 名 抽到高二年级女生的概率是 0 17 现对各年级用分层抽 样的方法在全校抽取 300 名学生 则应在高三年级抽取 名学生 考点分析 本题考查抽样方法中的分层抽样 参考答案 99 解题思路 由题设可知 0 17 所以x 510 x 3 000 高三年级人数为y z 3 000 523 487 490 510 990 现用分层抽样的方法在全校抽取 300 名学生 应在高三年级抽取的人数为 990 99 300 3 000 12 设k是一个正整数 1 k的展开式中x3的系数为 则函数y x2与 x k 1 16 y kx 3 的图象所围成的阴影部分 如图 的面积为 考点分析 本题考查二项式定理和定积分的相关知识以及运算的能力 参考答案 4 3 解题思路 Tr 1 C r 令r 3 得x3的系数为 C 解得k 4 由 r k x k3k 1 k3 1 16 得函数y x2与y 4x 3 的图象的交点的横坐标分别为 1 3 34 2 xy xy 所以阴影部分的面积为S 4x 3 x2 dx 2x2 3x 1 3 1 3 3 1 3 x 4 3 13 设若是与的等比中项 则的最小值为 0 0 ab 33a3b 11 ab 考点分析 本题考查指对数式 基本不等式和等比中项的知识 考查了知识的熟练运用 能力 以及对知识的转化能力 参考答案 4 解题思路 因为 所以 333 ba 1 ba 11 ab 11 ab ab 2 ba ab 当且仅当即时 成立 224 b a a b b a a b 2 1 ba 14 设向量 满足 且 则 则a b c 0abc 0a b A 3 4ac b 考点分析 本题主要考查向量的线性运算和数量积的基本运算 参考答案 7 解题思路 由得 0abc cab 又 0a b A 2222 22 2cabababaa bbab A 即 22223 437bca 7b 5 15 如图所示的数表 对任意正整数 1 2 3 i i 满足以下两个条件 第一行只有一个数 1 第i行共有i个数 这行从左至右第一个数等于前一行所有数的平均数 这些数构成一个公差为 2 的等差数列 则 1 第 7 行第一个数为 2 第 n 行所有数的和为 考点分析 本题主要考查了数列的应用 观察分析数据 总结 归纳推理数据规律的能 力 以及运算转化能力 参考答案 1 16 2 2 2 23 nnn 解题思路 令为第 n 行所有数的和 由已知得 n a 1 1 1 242 1 11 nn n a nn n a na nn n 将上式变形得 于是可求得10 12 2 1 12 1 11 ann n ann n a nn n a 2 2 23 nnn 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 7575 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 1616 本小题满分 本小题满分 1212 分 分 在中 分别是三内角 A B C 的对应的三边 已知ABC abc 222 bcabc 求角 A 的大小 若 判断的形状 22 2sin2sin1 22 BC ABC 考点分析 本小题主要考查正 余弦定理 三角形中的三角恒等变换等基础知识 本小 题主要考查推理论证 运算求解等能力 解 在中 又ABC 222 2cosbcabcA 222 bcabc 5 分 1 cos 23 AA 7 分 22 2sin2sin1 22 BC 1 cos1 cos1BC 2 coscos1 coscos 1 3 BCBB 22 coscoscossinsin1 33 BBB 1 1 3 2 4 6 4 6 8 10 6 图 4 0 0125 0 0375 31 sincos1 22 BB sin 1 6 B 11 分0B 33 BC 为等边三角形 12 分ABC 1717 本小题满分 本小题满分 1212 分 分 为了解 2012 年我省某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情况 将报考学生的体 重数据整理后 画出了频率分布直方图 如图 已知图中从左到右 的前 3 个小组的频率之比为 1 2 3 其中第 2 小组的频数为 12 1 求该校报考飞行员的总人数 2 以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据 若从全省报考 飞行员的同学中 人数很多 任选二人 设X X表示体重超过 60 公斤 的学生人数 求 X 的分布列和数学期望 考点分析 本题主要考察了频率分布直方图 离散型随机变量的期望与方差 以及离散型 随机变量的概率分布和数学期望 同时考查计算能力 解 设报考飞行员的人数为n 前三小组的频率分别为 1 p 2 p 3 p 则 15 0125 0 0375 0 3 2 321 13 12 ppp pp pp 3 分 解得 375 0 25 0 125 0 3 2 1 p p p 4 分 因为 n p 12 25 0 2 5 分 所以48 n 6 分 由 1 可得 一个报考学生体重超过 60 公斤的概率为 8 5 5 0125 0 0375 0 3 pp 7 分 所以 8 分 8 5 2X 所以 0 k 1 2 9 分 kk k CkXp 2 2 8 3 8 5 随机变量X的分布列为 11 分 X012 p 64 9 64 30 64 25 7 则 1 2 或 12 分 0EX 64 9 64 30 64 25 4 5 4 5 8 5 2 EX 18 18 本小题满分 本小题满分 1212 分 分 已知数列的前项和 n an 1 2 3 nn aSn N 1 求的通项公式 n a 2 若对于任意的 有成立 求实数的取值范围 n N14 nak n k 解 1 因为 所以 1 2 3 nn aSn N 1 2 3 11 nn aS 两式相减 得 即 2 3 11nnnn aaSS 2 3 11nnn aaa 3 分 nn aa3 1 n N 又 即 所以 1 2 3 11 aS 1 2 3 11 aa3 1 a 是首项为 3 公比为 3 的等比数列 5 分 n a 从而的通项公式是 6 分 n a n n a3 n N 2 由 1 知 对于任意的 有成立 n N14 nak n 等价于对任意的成立 等价于 8 分 n n k 3 14 n N max 3 14 n n k 而 10 分1 312 28 1 14 3 54 3 14 3 1 1 4 1 n n n n n n n n n N 注 也可以作差比较证明单调性 相应给分 是单调递减数列 11 分 n n 3 14 实数的取值范围是 12 分 3 5 3 114 3 14 1 max n n k 3 5 1919 本小题满分 本小题满分 1212 分 分 如图 正方形与梯形所在的平面互相垂直 ADEFABCDCDAD ABCD 点在线段上 2 2 1 CDADABMEC I 当点为中点时 求证 平MECBM 面 ADEF 8 O z y x F M E D C BA II 当平面与平面所成锐二面角BDMABF 的余弦值为时 求三棱锥的体积 6 6 BDEM 考点分析 本小题主要考查空间线面位置关系的基本定理 多面体体积计算 理 空间 向量的应用 本小题主要考查空间想象能力 推理论证能力 运算求解能力 解 1 以直线 分别为轴 轴 轴建立空间DADCDExyz 直角坐标系 则 所以 0 0 2 A 0 2 2 B 0 4 0 C 2 0 0 E 1 2 0 M 2 分 1 0 2 BM 又 是平面的一个法向量 0 4 0 OCADEF 即0 OCBMOCBM 平面 4 分BMADEF 2 设 则 zyxM 2 zyxEM 又 2 4 0 EC 设 则 即 6 分10 ECEM 22 4 0 zyx 22 4 0 M 设是平面的一个法向量 则 111 zyxn BDM 022 11 yxnOB0 22 4 11 zynOM 取 得 即 1 1 x 1 2 1 11 zy 1 2 1 1 n 又由题设 是平面的一个法向量 8 分 0 0 2 OAABF 10 分 2 1 6 6 1 4 22 2 cos 2 2 nOA nOA nOA 即点为中点 此时 为三棱锥的高 MEC2 DEM S ADDEMB 12 分 BDEM V 3 4 22 3 1 DEMB V 2020 本题满分 本题满分 1313 分 分 已知椭圆C的中心在坐标原点 长轴在x轴上 F1 F2分别为其左 右焦点 P为椭圆 上任意一点 且 的最大值为 1 最小值为 2 F1P F2P 1 求椭圆C的方程 2 设A为椭圆C的右顶点 直线l是与椭圆交于M N两点的任意一条直线 若AM AN 证明直线l过定点 考点分析 本小题主要考查椭圆的几何性质 直线与椭圆的位置关系等基础知识 考查 解析几何的基本思想方法 考查分析问题 解决问题 解 1 设椭圆方程为 1 a b 0 P x0 y0 为椭圆上任意一点 x2 a2 y2 b2 所以 x0 c y0 x0 c y0 F1P F2P 所以 x y c2 F1P F2P 2 02 0 9 又因为 1 所以 x b2 x c2 x b2 c2 x2 0 a2 y2 0 b2 F1P F2P 2 0 b2 a2 2 0 c2 a2 2 0 因为 0 x a2 所以b2 c2 b2 2 0 F1P F2P 因此Error 所以Error 因此a2 4 所以椭圆方程为 y2 1 x2 4 2 若直线l不垂直于x轴 设该直线方程为y kx m M x1 y1 N x2 y2 由Error 得x2 4 k2x2 2kmx m2 4 化简得 1 4k2 x2 8kmx 4m2 4 0 所以x1 x2 x1x2 8km 1 4k2 4m2 4 1 4k2 y1y2 kx1 m kx2 m k2x1x2 km x1 x2 m2 m2 2 2 2 41 44 k m k 8k2m2 1 4k2 m2 4k2 1 4k2 因为AM AN 所以A A y1y2 x1 2 x2 2 0 M N 所以y1y2 x1x2 2 x1 x2 4 0 所以 4 0 m2 4k2 1 4k2 4m2 4 1 4k2 16km 1 4k2 去分母得m2 4k2 4m2 4 16km 4 16k2 0 整理得 即 12k2 16km 5m2 0 整理得 2k m 6k 5m 0 所以k 或k m m 2 5 6 当k 时 l y x m m过定点 2 0 显然不满足题意 m 2 m 2 x 2 1 当k m时 l y x m m过定点 5 6 5m 6 5 6x 1 6 5 0 若直线l垂直于x轴 设l与x轴交于点 x0 0 由椭圆的对称性可知 MNA为等腰直角 三角形 所以 2 x0 化简得 5x 16x0 12 0 1 x2 0 4 2 0 解得x0 或 2 舍 即此时直线l也过定点 6 5 6 5 0 2121 本题满分 本题满分 1414 分 分 已知函数 2 ln f xxxa aR 1 若有两个不同的极值点 求 a 的取值范围 f x 10 2 当时 表示函数上的最大值 求的表达式 2a g a 1 0 f x 在 g a 3 求证 31111 ln11 4 1 23 n nnN nn 考点分析 本小题主要考查导数的运算法则 利用导数研究函数的单调性 极值 不等 式的证明等基础知识 考查运算能力以及分类讨论的数学思想方法 解 1 法一 1221 2 2 ax ax axx ax xxf 设 当时122 2 axxxg84 2 a0 22 aa或 若 由 易知在时恒成立 无极值点 2 a 1 2 ax xxf 0 xf ax 若 设的两根为且 2 a122 2 axxxg 21 x x 21 xx 故有 2 1 0 21 21 xx axx 21 xxa x 1 xa 1 x 21 xx 2 x 2 x xf 0 0 当时 函数有两个极值点 4 分2 a xf 法二 1 分 1221 2 2 ax ax axx ax xxf 设 有两个极值点有两个大于的不等实根 122 2 axxxg xf 0 xga 1 x 2 x 21 xx 当时 函数有两个极值点 a a aaag a 2 0122 084 22 2 2 a2 a xf 4 分 2 当时 由 1 知 2 a 1 2 1 0 2 21