高三数学二轮复习 专题辅导（4）函数与方程思想精品教学案

1 专题四专题四 函数与方程思想函数与方程思想 考情分析 观近几年的高考试题 函数的主干知识 知识的综合应用以及函数与方程思想等数学思想方法的考 查 一直是高考的重点内容之一 在高考试卷上 与函数相关的试题所占比例始终在 20 左右 且试题中 既有灵活多变的客观性试题 又有一定能力要求的主观性试题 函数与方程思想是最重要的一种数学思 想 高考中所占比重比较大 综合知识多 题型多 应用技巧多 在高中新课标数学中 还安排了函数 与方程这一节内容 可见其重要所在 在近几年的高考中 函数思想主要用于求变量的取值范围 解不等式等 方程观点的应用可分为逐 步提高的四个层次 1 解方程 2 含参数方程讨论 3 转化为对方程的研究 如直线与圆 圆 锥曲线的位置关系 函数的性质 集合关系 4 构造方程求解 预测 2013 年高考函数与方程思想的命题主要体现在三个方面 是建立函数关系式 构造函数模型 或通过方程 方程组解决实际问题 是运用函数 方程 不等式相互转化的观点处理函数 方程 不 等式问题 是利用函数与方程思想研究数列 解析几何 立体几何等问题 在构建函数模型时仍然十 分注重 三个二次 的考查 特别注意客观形题目 大题一般难度略大 知识归纳 函数与方程 不等式 的思想贯穿于高中学习的各个内容 求值的问题就要涉及到方程 求取值范 围的问题就离不开不等式 但方程 不等式更离不开函数 函数与方程 不等式 思想的运用使我们解 决问题的重要手段 函数与方程是两个不同的概念 但它们之间有着密切的联系 方程f x 0 的解就是函数 y f x 的 图像与 x 轴的交点的横坐标 函数 y f x 也可以看作二元方程f x y 0 通过方程进行研究 就中学 数学而言 函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面 一是借助有关初等函数的性质 解有关求值 解 证 不等式 解方程以及讨论参数的取值范围等问题 二是在问题的研究中 通过建立函数关系式或 构造中间函数 把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质 达到化难为易 化繁为简的目的 许多有 关方程的问题可以用函数的方法解决 反之 许多函数问题也可以用方程的方法来解决 函数与方程的 思想是中学数学的基本思想 也是历年高考的重点 1 函数的思想 是用运动和变化的观点 分析和研究数学中的数量关系 建立函数关系或构造函数 运用函数的图像和性质去分析问题 转化问题 从而使问题获得解决 函数思想是对函数概念的本质认 识 用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察 分析和解决问题 2 方程的思想 就是分析数学问题中变量间的等量关系 建立方程或方程组 或者构造方程 通过 解方程或方程组 或者运用方程的性质去分析 转化问题 使问题获得解决 方程的数学是对方程概念 的本质认识 用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题 方程思想是动中求静 研 究运动中的等量关系 3 函数的思想与方程的思想的关系 在中学数学中 很多函数的问题需要用方程的知识和方法来支持 很多方程的问题需要用函数的知 识和方法去解决 对于函数 y f x 当 y 0 时 就转化为方程 f x 0 也可以把函数 y f x 看作二 元方程 y f x 0 函数与方程可相互转化 4 函数方程思想的几种重要形式 1 函数和方程是密切相关的 对于函数 y f x 当 y 0 时 就转化为方程 f x 0 也可以把 函数式 y f x 看做二元方程 y f x 0 函数问题 例如求反函数 求函数的值域等 可以转化为方 程问题来求解 方程问题也可以转化为函数问题来求解 如解方程 f x 0 就是求函数 y f x 的零点 2 2 函数与不等式也可以相互转化 对于函数 y f x 当 y 0 时 就转化为不等式 f x 0 借助 于函数图像与性质解决有关问题 而研究函数的性质 也离不开解不等式 3 数列的通项或前 n 项和是自变量为正整数的函数 用函数的观点处理数列问题十分重要 4 函数 f x n N 与二项式定理是密切相关的 利用这个函数用赋值法和比较系 n bax 数法可以解决很多二项式定理的问题 5 解析几何中的许多问题 例如直线和二次曲线的位置关系问题 需要通过解二元方程组才能解 决 涉及到二次方程与二次函数的有关理论 6 立体几何中有关线段 角 面积 体积的计算 经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方 法加以解决 考点例析 题 型 1 函数思想在方程中应用 例 1 2012 高考山东 设函数 2 1 0 f xg xaxbx a bR a x 若 yf x 的图象与 yg x 图象有且仅有两个不同的公共点 1122 A x yB xy 则下列判断正确的是 A 当0a 时 1212 0 0 xxyy B 当 0a 时 1212 0 0 xxyy C 当0a 时 1212 0 0 xxyy D 当 0a 时 1212 0 0 xxyy 答案 B 解析 在同一坐标系中分别画出两个函数的图象 当0 a时 要 想满足条件 则有如图 做出点 A 关于原点的对称点 C 则 C 点坐标为 11 yx 由图象知 2121 yyxx 即0 0 2121 yyxx 同理 当0 a时 则有0 0 2121 yyxx 故答案选 B 另法 32 1F xxbx 则方程 0F x 与 f xg x 同解 故其有 且仅有两个不同零点 12 x x 由 0F x 得0 x 或 2 3 xb 这样 必须且只须 0 0F 或 2 0 3 Fb 因为 0 1F 故必有 2 0 3 Fb 由此得 3 3 2 2 b 不妨设 12 xx 则 3 2 2 2 3 xb 所以 23 1 2 F xxxx 比较系数得 3 1 41x 故 3 1 1 2 2 x 3 12 1 20 2 xx 由此知 12 12 1212 11 0 xx yy xxx x 故答案为 B 题型 2 函数思想在不等式中的应用 例 2 2012 高考浙江 设 a 大于 0 b 大于 0 A 若 2a 2a 2b 3b 则 a b B 若 2a 2a 2b 3b 则 a b C 若 2a 2a 2b 3b 则 a b D 若 2a 2a ab 3b 则 a b 答案 A 解析 若2223 ab ab 必有2222 ab ab 构造函数 22 x fxx 则 3 2ln220 x fx 恒成立 故有函数 22 x fxx 在x 0 上单调递增 即a b成立 其余选项用同 样方法排除 故选 A 点评 当问题中出现两数积与这两数和时 是构建一元二次方程的明显信息 构造方程后再利用方 程知识可使问题巧妙解决 当问题中出现多个变量时 往往要利用等量关系去减少变量的个数 如最后 能把其中一个变量表示成关于另一个变量的表达式 那么就可用研究函数的方法将问题解决 题型 3 函数思想在实际问题中的应用 例 3 2011 陕西理 14 植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树 每人植一棵 相邻两棵 树相距 10 米 开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边 使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返 所走的路程总和最小 这个最小值为 米 分析 把实际问题转化为数学模型 然后列式转化为函数的最值问题 解 方法一 设树苗放在第 个树坑旁边 如图 i 1 2 19 20i 那么各个树坑到第 i 个树坑距离的和是 1 10 2 10 10 1 10 20 10siiiiiii 1 20 120 10 20 22 i ii i i iii 2 10 21210 ii 所以当或时 的值最小 最小值是 1000 所以往返路程的最小值是 2000 米 10i 11s 方法二 根据图形的对称性 树苗放在两端的树坑旁边 所得路程总和相同 取得一个最值 所 以从两端的树坑向中间移动时 所得路程总和的变化相同 最后移到第 10 个和第 11 个树坑旁时 所得 的路程总和达到另一个最值 所以计算两个路程和即可 树苗放在第一个树坑旁 则有路程总和是 树苗放在第 10 个 或第 11 个 树坑旁边时 路程 19 1 19 10 1219 21023800 2 总和是 10 129 10 1210 2 9 1 9 10 1 10 102 102900 11002000 22 所以路程总和最小为 2000 米 点评 构造的二次函数形式在解题过程中起到了关键作用 函数是解决具体问题的有效工具 该题 通过分析实际模型建立了函数解析式 研究函数的性质 解释问题 题型 4 函数思想在数列中的应用 例 4 设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 已知 0 0 0 12 Sdda421444412 1 13 Sdda521567813 1 4 d 3 7 24 2 nddnd nn naSn 2 5 12 2 1 2 1 2 1 d 0 是关于 n 的二次函数 对称轴方程为 x n S d 12 2 5 d 3 6 7 24 d 12 2 5 2 13 当 n 6 时 最大 n S 点评 数列的通项或前 n 项和是自变量为正整数的函数 用函数的观点处理数列问题十分重要 题型 5 函数思想在立体几何中的应用 例 5 1 2012 高考江西 如右图 已知正四棱锥SABCD 所有棱长都为 1 点 E 是侧棱SC上 一动点 过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上 下两部分 记 01 SExx 截面下面部分的 体积为 V x则函数 yV x 的图像大致为 答案 A 解析 定性法 当 1 0 2 x 时 随着x的增大 观察图形可知 V x单调递减 且递减的 速度越来越快 当 1 1 2 x 时 随着x的增大 观察图形可知 V x单调递减 且递减的速度越来越 慢 再观察各选项中的图象 发现只有 A 图象符合 故选 A 点评 对于函数图象的识别问题 若函数 yf x 的图象对应的解析式不好求时 作为选择题 没必要去求解具体的解析式 不但方法繁琐 而且计算复杂 很容易出现某一步的计算错误而造成前功 尽弃 再次 作为选择题也没有太多的时间去给学生解答 因此 使用定性法 不但求解快速 而且准 确节约时间 2 已知由长方体的一个顶点出发的三条棱长之和为 1 表面积为 求长方体的体积的最值 16 27 解析 设三条棱长分别为 x y z 则长方体的体积 V xyz 5 由题设有 xyzxyyzzx 12 16 27 所以 yzxyzxxx 8 27 8 27 2 故体积 V x xyzxxx 32 8 27 下面求 x 的取值范围 因为 yzxyzxx 1 8 27 2 所以 y z 是方程的两个实根 tx txx 22 1 8 27 0 由 0 1 9 5 9 得x 因为Vxxx 32 8 27 2 3 2 9 4 9 xx 所以当时 当时 x 4 9 V x min 16 729 x 2 9 V x max 20 729 点评 解决本题的关键在于确定目标函数时 根据相关条件的特征 构造了二次方程 并由此得出 定义域使问题得解 题型 6 利用方程思想处理解析几何问题 例 6 1 直线与圆相切 则 a 的值为 110 a xyxyx 22 20 A B C 1D 11 22 1 解析 由直线方程得 并代入圆方程 整理得 ya x 11 22210 22 aaxax 又直线与圆相切 应有 解得 44 22880 22 aaaa a 1 故选 D 点评 即把直线方程代入圆或圆锥曲线的方程 消去 y 得关于 x 的一元二次方程 其判别式为 则有 1 曲线 C 与直线相离 2 曲线 C 与直线相切 3 曲线 C 与直线l 0l 0 相交 l 0 2 ABC 的三边 a b c 满足 b 8 c 试确定 ABC 的形状 abca 2 12520 解析 因为 b c 8 bcaa 2 1252 所以 b c 是方程的两实根 ttaa 22 812520 故 841252 412360 22 2 aa aa 即 所以 a 6 从而得 b c 4 因此 ABC 是等腰三角形 460 2 a 点评 构建一元二次方程的模型解决数学问题 是一种行之有效的手段 其独特功能在于充分运用 构建的一元二次方程及根的判别式和求根公式变更命题 从而使问题获得圆满解决 题型 7 函数思想在三角中的应用 例 7 1 求的取值范围 sin cossincosxxxx 解析 设 sincosxxtt 22 6 则 构造二次函数 sin cosxx t 2 1 2 y t tt 2 2 1 2 22 由图 1 可知 1 1 2 2y 图 1 即 1 1 2 2sin cossincosxxxx 2 已知函数 当有实数解时 求 a 的取值范围 f xxxa sinsin 2 f x 0 解析 由得 分离 a 得 f x 0 sinsin 2 0 xxa axxx sinsinsin 2 2 1 2 1 4 问题转化为求 a 的值域 因为 所以 sinx 11 sinx 1 2 1 4 1 4 2 2 故当时 有实数解 a 1 4 2 f x 0 点评 该题通过三角换元构造了二次函数 最终求得最值 题型 8 方程思想在求函数最值中的应用 例 8 1 如果函数的最大值是 4 最小值是 1 求实数 a b 的值 y axb x 2 1 解析 由 y 的最大值是 4 知存在实数 x 使 4 即方程有实根 故有 axb x 2 2 1 440 2 xaxb 1 2 16 40 ab 又由 y 的最大值是 4 知对任意实数 x 恒有 即恒成立 故 axb x 2 1 4440 2 xaxb 从而有 1 2 16 40 ab 1 2 16 40 ab 7 同样由 y 的最小值是 1 可得 2 2 4 10 ab 由 可解得 1 2 0 0 a b 4 3 2 已知函数 y 的最大值为 7 最小值为 1 求此函数式 mxxn x 2 2 4 3 1 解析 函数式变形为 y m x 4x y n 0 x R 2 3 由已知得 y m 0 4 4 y m y n 0 3 2 即 y m n y mn 12 0 2 不等式 的解集为 1 7 则 1120 497120 mnmn mnmn 解得 或 y m n 5 1 m n 1 5 也可 由解集 1 7 而设 y 1 y 7 0 然后与不等式 比较系数而得 点评 本例解法中 对题设中给出的最值 一方面认为是方程的实数解 另一方面又认为是不等式 的恒成立条件 由于对题设条件的理解深刻 所以构思新颖 证法严谨 题型 9 方程思想在数列知识中的应用 例 9 若 z x 4 x y y z 0 求证 x y z 成等差数列 2 分析 题设正好是判别式 b 4ac 0 的形式 因此构造一个一元二次方程求解 2 证明 当 x y 时 可得 x z x y z 成等差数列 当 x y 时 设方程 x y t z x t y z 0 由 0 得 t t 并易知 t 1 是方程的根 2 12 t t 1 即 2y x z 12 yz xy x y z 成等差数列 点评 题设条件具备或经变形整理后具备 x x a x x b 的形式 则利用根与系数的关系 1212 构造方程 具备 b 4ac 0 或 b 4ac 0 的形式 可利用根的判别式构造一元二次方程 22 题型 10 方程思想在三角知识中的应用 例 10 ABC 中 求证 cosA cosB cosC 1 8 证明 设 k cosA cosB cosC cos A B cos A B cosC cosC cos A B 1 2 1 2 cosC 整理得 cos C cos A B cosC 2k 0 即看作关于 cosC 的一元二次方程 2 cos A B 8k 0 即 8k cos A B 1 22 k 即 cosA cosB cosC 1 8 1 8 点评 既是方程思想 也属判别式法 还可用放缩法 cosA cosB cosC cos C cos A B cosC cosC cos A B cos A B 1 2 21 2 1 2 cos AB 2 21 8 21 8 21 8 题型 11 函数零点与方程的解 8 例 11 1 2012 年高考北京 函数 1 2 1 2 x f xx 的零点个数为 A 0 B 1 C 2 D 3 答案 B 解析 函数 1 2 1 2 x f xx 的零点 即令 0f x 根据此题可得 1 2 1 2 x x 在平面直角坐标 系中分别画出这两个函数的图像 可得交点只有一个 所以零点只有一个 故选答案 B 点评 函数的零点 方程的根以及函数图像与 x 轴的交点之间存在相互转化关系 本题主要考察学 生对方程的根与函数零点关系的理解 以及利用函数图象确定函数零点的个数的方法 2 已知函数 则方程在 内有没有实数解 说明理由 1ln 2 xxxf 0 xf2 1 解析 由基本初等函数的性质可知函数在其定义域内的图象连续 1ln 2 xxxf 1 且有 023ln 1 2 1 eeeef0 2 1 1 ln 1 1 2 1 1 eeee f 于是有 1 ef 0 1 1 e f 函数在区间 内至少有一个零点 xfe 1 e 1 1 即方程在区间 1 内至少有一个实数解 0 xfe 1 e 1 1 2 点评 本题主要考察学生对函数零点存在判定定理的理解与应用 方法技巧 1 函数描述了自然界中量的依存关系 反映了一个事物随着另一个事物变化而变化的关系和规律 函数思想的实质是剔除问题的非数学特征 用联系和变化的观点提出数学对象 抽象其数学特征 建立 函数关系 2 在解决某些数字问题时 先设定一些未知数 然后把它们当作已知数 根据题设本身各量间的制 约 列出等式 所设未知数沟通了变量之间的关系 这就是方程的思想 3 函数与方程是两个不同的概念 但它们之间有着密切的联系 一个函数若有解析表达式 那么 这个表达式就可看成是一个方程 一个二元方程 两个变量存在着对应关系 如果这个对应关系是函数 那么这个方程可以看成是一个函数 一个一元方程 它的两端可以分别看成函数 方程的解即为两个函 数图象交点的横坐标 因此 许多有关方程的问题可以用函数的方法解决 反之 许多有关函数的问题 则可以用方程的方法解决 总之 在复习中要注意领悟蕴含在知识和解题过程中函数和方程的思想 用它来指导解题 在解 题中 同时要注意从不同的角度去观察探索 寻求多种方法 从而得到最佳解题方案 专题训练 一 选择题 本题每小题 5 分 共 60 分 1 设直线 ax by c 0 的倾斜角为 且 sin cos 0 则a b满足 A B C D 1 ba1 ba0 ba0 ba 2 设 P 是的二面角内一点 垂足 60 l PAPB 平面平面 A B为 则 AB 的长为 4 2 PAPB 9 A B C D 2 32 52 74 2 3 若是等差数列 首项 则使前 n 项和成立的最 n a 12003200420032004 0 0 0aaaaa 0 n S 大自然数 n 是 A 4005 B 4006 C 4007 D 4008 4 每个顶点的棱数均为三条的正多面体共有 A 2 种 B 3 种 C 4 种 D 5 种 5 设函数 区间 M a b ag a g b 成立的是 A a b 0B a b0D ab 0 10 ABC 中 a b c 分别为 A B C 的对边 如果a b c 成等差数列 B 30 ABC 的 面积为 那么b 2 3 A B C D 2 31 31 2 32 32 11 两个正数 a b 的等差中项是 5 等比中项是 4 若 a b 则双曲线的离心率 e 等于 1 22 b y a x A B C D 2 3 4 15 2 5 3 12 天文台用 3 2 万元买一台观测仪 已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用 第 n 天的维修 保养费为元 n N 使用它直至报废最合算 所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资 10 49 n 最少 为止 一共使用了 A 800 天 B 1000 天 C 1200 天 D 1400 天 二 填空题 本题每小题 4 分 共 16 分 13 若的展开式中常数项为 20 则自然数 n 1 2 nx x 14 x0是x的方程ax logax 0 a 1 的解 则x0 1 a这三个数的大小关系是 10 15 已知函数互为反函数 又的图象关于直线yf xyfx 与 1 yfxyg x 1 1 与 对称 若 yx f xxxfx log 1 2 21 20 则g 6 16 已知矩形的边平面现有以下五个数据 ABCD PABCaAB 2 2 PAABCD 当在边上存在点 使 4 5 2 4 3 3 1 2 2 1 1 aaaaaBCQ 时 则可以取 填上一个正确的数据序号即可 QDPQ a 三 解答题 本大题共 6 小题 共 74 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 已知集合 A x x2 ax a2 19 0 集合 B x log2 x2 5x 8 1 集合 C x m 1 m 0 m 1 满足 A B A C 求实数a的值 82 2 xx 18 本小题满分 12 分 有一组数据的算术平均值为 10 若去掉其 2121nn xxxxxx 中最大的一个 余下数据的算术平均值为 9 若去掉其中最小的一个 余下数据 的算术平均值为 11 1 求出第一个数关于的表达式及第个数关于的表达式 1 xnn n xn 2 若都是正整数 试求第个数的最大值 并举出满足题目要求且取到最大值 n xxx 21 n n x n x 的一组数据 19 本小题满分 12 分 某公司生产的A型商品通过租赁柜台进入某商场销售 第一年 商场为吸引 厂家 决定免收该年管理费 因此 该年A型商品定价为每件 70 元 年销售量为 11 8 万件 第二年 商 场开始对该商品征收比率为p 的管理费 即销售 100 元要征收p元 于是该商品的定价上升为每件 元 预计年销售量将减少p万件 1 70 p 1 将第二年商场对该商品征收的管理费y 万元 表示成p的函数 并指出这个函数的定义域 2 要使第二年商场在此项经营中收取的管理费不少于 14 万元 则商场对该商品征收管理费的比 率p 的范围是多少 3 第二年 商场在所收管理费不少于 14 万元的前提下 要让厂家获得最大销售金额 则p应为 多少 20 本小题满分 12 分 求函数在 0 2 上的最大值和最小值 2 4 1 1ln xxxf 21 本小题满分 12 分 已知二次函数f x ax2 bx a b为常数 且a 0 满足条件 f x 1 f 3 x 且方程f x 2x有等根 1 求f x 的解析式 2 是否存在实数m n m n 使f x 的定义域和值域分别为 m n 和 4m 4n 如果存在 求出 m n的值 如果不存在 说明理由 22 本小题满分 14 分 设无穷等差数列 an 的前n项和为 Sn 1 若首项 公差 求满足的正整数k 1 a 3 2 1 d 2 2k k SS 11 2 求所有的无穷等差数列 an 使得对于一切正整数k都有成立 2 2k k SS 参考答案 一 选择题 每小题选择题 每小题 5 5 分 共分 共 6060 分 分 1 D 2 C 3 B 4 A 5 A 6 B 7 C 8 B 9 A 10 B 11 C 12 A 二 填空题 每小题二 填空题 每小题 4 4 分 共分 共 1616 分 分 13 3 14 10 或 10 15 16 或 3 1 1 2 214 x x 三 解答题 共三 解答题 共 7474 分 按步骤得分 分 按步骤得分 17 17 解 解 由条件即可得 B 2 3 C 4 2 由 A B A C 可知 3 A 2A 将 x 3 代入集合 A 的条件得 a2 3a 10 0 a 2 或 a 5 当 a 2 时 A x x2 2x 15 0 5 3 符合已知条件 当 a 5 时 A x x2 5x 6 0 2 3 不符合条件 A C 故舍去 综上得 a 2 18 18 解 解 1 依条件得 由得 又由 3 1 11 2 1 9 1 10 32 121 21 nxxx nxxx nxxx n n n 2 1 9 nxn 得 3 1 nx 11 1 2 由于是正整数 故 故当 10 时 1 x111 1 nx101 n199 nxnn 此时 1 1 x19 10 x80 932 xxx 6 2 x7 3 x8 4 x9 5 x11 6 x12 7 x13 8 x14 9 x 19 19 解解 1 依题意 第二年该商品年销售量为 11 8 p 万件 年销售收入为 11 8 p 万元 1 70 p 则商场该年对该商品征收的总管理费为 11 8 p p 万元 1 70 p 故所求函数为 y 118 10p p p 100 7 11 8 p 0 及p 0 得定义域为 0 p 5 59 2 由y 14 得 118 10p p 14 p 100 7 12 化简得p2 12p 20 0 即 p 2 p 10 0 解得 2 p 10 故当比率在 2 10 内时 商场收取的管理费将不少于 14 万元 3 第二年 当商场收取的管理费不少于 14 万元时 厂