高中数学 函数及性质竞赛专题讲座（7）

用心 爱心 专心1 函数的性质及应用函数的性质及应用 函数的性质不仅是研究各类函数的基础 而且也是利用函数解决数学竞赛问题的主要理论基 础 函数的性质包括函数的有界性 对称性 周期性 单调性等 一 有界性一 有界性 定义定义 1 1 设 A 为函数 xf定义域的子集 若存在常数 M 使对所有Ax 都有 Mxf 或 Mxf 则称 xf在 A 上有上 或下 界 M 为它的一个上 或下 界 xf的所有上界中必然存在最小的 则称这个最小的上界为 xf在 A 上的上确界上确界 记作 supxf xf的所有下界中必然存在最大的 则称这个最大的下界为 xf在 上的下确界下确界 记作 infxf 若函数 xf在 上既有上界又有下界 则称 xf为 上的有界函数有界函数 不难看出 对于 上的有 界函数 xf 必存在正数 使对所有Ax 恒有 Mxf 有界函数的图象介于两条直线My 之间 在闭区间上连续的函数是有界函数 在中学里 最基本的有界函数是xyxycos sin 利用函数的有界性可以处理方程与不等式问题 例 1 解方程 1sincos Nnxx nn 例 2 设f和g是定义在 R 上的实函数 而且对于所有的yx 满足方程 2 ygxfyxfyxf 试证 若 xf不恒为零 且1 xf对所有的x都成立 则有 1 yg对所有y都成立 二 单调性二 单调性 定义定义 2 2 设函数 Axxfy 对于Axx 21 当 21 xx 时 总有 21 xfxf 则称 xf是 A 上的 严格 增函数增函数 21 xfxf 则称 xf是 A 上的 严格 减函数减函数 增函数和减函数统称为单调函数单调函数 定义有如下两种等价形式 设 baxx 21 那么 0 21 21 xf xx xfxf 在 ba 上是增函数 0 21 21 xf xx xfxf 在 ba 上是减函数 用心 爱心 专心2 0 2121 xfxfxfxx 在 ba 上是增函数 0 2121 xfxfxfxx 在 ba 上是减函数 单调函数有下面两个常用的性质 单调函数有下面两个常用的性质 定理定理 1 1 如果 Axxf 是 A 上的单调函数 则 xf与其反函数有相同的单调性 定理定理 2 2 设 xgxf在集合 A 上有相同的单调性 则 xgxf 是单调函数 且与 xgxf的单调性相同 若 xgxf在 A 上恒为正 或负 则 xgxf 是单调函数 且与 xgxf的单调性相同 反 定理定理 3 3 若函数 xgu 在 g D上 ufy 在 f D上均为单调函数 xg的值域为 G 且 f DG则 当 xgu 和 ufy 的增减性相同 相反 时 复合函数 xgfy 在定义域上是增 减 函数 定理定理 3 3 可推广为 可推广为 若讨论的复合函数是有限层的 且每层均有意义 并单调 则其中减函数的层 数为偶数时 复合函数是增函数 否则为减函数 例 3 设正数yx 满足myx 定值 试问yx 为何值时 下列函数取到最小值 并求出相应的 最小值 1 1 y y x xyxf 1 1 22 y y x xyxg 三 周期性三 周期性 定义定义 3 3 设函数 xfy 的定义域为 f D 若存在非零常数 T 使 xf满足 对于 f Dx 有 f DTx xfTxf 则称 xfy 为周期函数周期函数 常数 T 为 xfy 的一个周期 若在所有的周期中存在一个最小 的正数 那么这个最小正数称为函数 xfy 的最小正周期 最小正周期 周期函数周期函数 xf有如下性质 有如下性质 定义域 f D至少有一端无界 一个函数是周期函数 它并不一定有最小正周期 如 cxf c 为常数 若 T 为 xfy 的周期 则 0 nZnnT且均为 xfy 的周期 函数 xf可以没有周期 xf的图象不一定重复出现 但函数值重复出现 用心 爱心 专心3 图象重复出现的函数不一定是周期函数 例 4 判定下列函数的周期性并作出其图象 3 3 xxxy 或Rx Axxf 2 1 其中 1 1 1 1 1 1 n n n nn n nnA 关于周期性 有以下重要结论 关于周期性 有以下重要结论 函数 0 abaxfxF是以 a T 为最小正周期的周期函数的充要条件为 xf是以 T 为最小正周 期的周期函数 设 21 xfxf 定义在公共集合上 且分别是以 21 T T为正周期的函数 p q T T 2 1 p q 为互质正整 数 则 21 xfxf 21 xfxf 0 2 2 1 xf xf xf 均是以 1 pT为周期的函数 证 证 令 21 qTpTT T是 21 T T的公倍数 则 21 TxfTxf 2211 qTxfpTxf 21 xfxf 1 pTT 是 21 xfxf 的周期 以下同理可证 注 注 本题结论可推广为 设 1 xfxf n 定义在公共集合上 且分别是以 n TT 1 为正周期的 函数 若 n TT 1 两两之比为有理数 则 n TT 1 的公倍数 T 必是这 n 个函数经和 差 积 商四则运算得到的函数的周期 结论中的 周期 不能改为 最小正周期 例如 xxfxxf2sin3 2sin 21 均以 为 最小正周期 但其和无最小正周期 四 函数的奇偶性四 函数的奇偶性 定义定义 4 4 设设函数 xfy 的定义域 f D是关于原点对称的集合 且对 f Dx 有 xfxf 则称 xf为偶函数偶函数 xfxf 则称 xf为奇函数奇函数 偶函数的图象关于y轴对称 奇函数的图象关于x轴对称 定义定义 5 5 对于定义在实数集 R 上的函数 xf 若存在常数a 使得 xafxaf 或 2 xafxf 则称 xf为 R 上的广义偶函数 广义偶函数 xafxaf 或 2 xafxf 则称 xf为 R 上的广义奇函数 广义奇函数 用心 爱心 专心4 当0 a时 即为一般的奇偶函数 广义偶函数许多许多图象关于直线ax 对称 广义奇函数的图象关于点 0 a成中心对称 关于函数的对称性 有以下有用的结论 关于函数的对称性 有以下有用的结论 若将函数 Rxxf 的图象关于直线ax 对称得到 xF的图象 则 xF的表达式为 2 xafxF 若将函数 Rxxf 的图象关于点 0 a对称得到 xF的图象 则 xF的表达式为 2 xafxF 若函数 xf的图象有两条对称轴 babxax 或两对称点 0 0 ba 则 xf是周期为 ab 2的函数 推广 推广 若在直线 babxax 之间再无平行于y轴的对称轴 则abT 2是 xf的最小正周期 若函数 xf的图象有一条对称轴ax 和一对称点 0 b 则 xf是周期为ab 4的函数 关于函数的奇偶性 也有以下一些结论 关于函数的奇偶性 也有以下一些结论 奇函数或偶函数的定义域必须关于原点对称 若 xgxf是定义域为 21 D D的奇函数 那么在 21 DD 上 xgxf 是奇函数 xgxf 是偶函数 类似的有 奇 奇 奇 奇 奇 偶 偶 偶 偶 偶 偶 偶 奇 偶 奇 若 xfy 是具有奇偶性的单调函数 则奇 偶 函数在正负对称区间上的单调性是相同 反 的 对于复合函数 xgfxF 若 xg为偶函数 则 xF为偶函数 若 xg为奇函数 xf为 奇函数 则 xF为奇函数 若 xg为奇函数 xf为偶函数 则 xF为偶函数 既为奇函数又为偶函数的函数是存在的 且有无数多个 其函数值均为零 定义域是关于原点 对称的区域 如果 xf是偶函数 那么 xfxf 定义域关于原点对称的任何一个函数都可以表示成一个偶函数和一个奇函数之 和 即 2 1 2 1 xfxfxfxfxf 例 4 设 0 xfa 是定义在 R 上的实函数 且对Rx 满足 2 1 2 xfxfaxf 试证 xf是周期函数 当1 a时 举出一个非常值函数的这种函数的例子 用心 爱心 专心5 该题有更一般的结论 该题有更一般的结论 命题命题 1 1 设 为大于零的常数 xfFxf 其中 1 xFxFRx 1 xF 是 xF 的反函数 则 xf为周期等于 2的周期函数 若 是满足条件的最小正数 则 2为 xf的最小 正周期 证明 证明 2 1 xfxfFFxfFFxfFxf 命题命题 2 2 设 为大于零的常数 若对函数 xf定义域中的任意x 恒有 xfwxf 其中 xw满足 xFxww 则 xf是周期函数 4是其一个周期 陕西 16 结论结论 1 1 若 为非零实常数 若对函数 xf定义域中任意x 恒有下列条件之一成立 xfxf 1 xf xf 1 xf xf 1 1 xf xf xf 1 1 xf xf xf 0 0 2 bcacRcba axcf bxaf xf xfxf xfxf 且 xf是奇函数 xfxf 且 xf是偶函数 则 xf是周期函数 2是其一个周期 结论结论 2 2 若 为非零实常数 若对函数 xf