高考数学一轮复习（例题解析） 15.2 点与直线、直线与直线的位置关系

用心 爱心 专心 1 高中数学一轮复习资料高中数学一轮复习资料 第十五章第十五章 解析几何解析几何 第二节第二节 点与直线 直线与直线的位置关系点与直线 直线与直线的位置关系 A A 组组 1 2009 年高考安徽卷改编 直线l过点 1 2 且与直线 2x 3y 4 0 垂直 则l的方程 是 解析 由题意知 直线l的斜率为 因此直线l的方程为y 2 x 1 即 3 2 3 2 3x 2y 1 0 2 2010 年西安调研 已知两条直线y ax 2 和y a 2 x 1 互相垂直 则a等于 解析 两条直线互相垂直 a a 2 1 a 1 3 2010 年苏州质检 直线x ay 3 0 与直线ax 4y 6 0 平行的充要条件是 a 解析 由两条直线平行可知Error a 2 4 若点P a 3 到直线 4x 3y 1 0 的距离为 4 且点P在不等式 2x y 3 0 表示的平面 区域内 则实数a的值为 解析 由 4 得a 7 或 3 又 2a 3 3 0 得a 0 a 3 4a 9 1 5 5 在平面直角坐标系中 定义平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量 若直线l 过点A 2 3 且法向量为n n 1 2 则直线l的方程为 解析 设P x y 是直线l上任意一点 则 2 x 3 y 且 n n PA PA 故 n n 0 即 2 x 3 y 1 2 x 2y 8 0 即直线l的方程为 PA x 2y 8 0 答案 x 2y 8 0 6 直线y 2x是 ABC中 C的角平分线所在的直线 若A B的坐标分别为A 4 2 B 3 1 求点C的坐标 并判断 ABC的形状 解 设A 4 2 关于直线y 2x对称的点A 的坐标是 m n 由Error 解得Error 即A 的坐标是 4 2 由B A 得BC所在的直线方程 3x y 10 0 由Error 解得C的坐标是 2 4 又 kAC kBC 3 1 3 AC BC 即 ABC 是直角三角形 B B 组组 1 已知点P 3 2 与点Q 1 4 关于直线l对称 则直线l的方程为 解析 kPQ 1 PQ的中点为 即 2 3 4 2 1 3 3 1 2 2 4 2 kl 1 直线l的方程为y 3 x 2 即x y 1 0 2 若三条直线l1 x y 7 l2 3x y 5 l3 2x y c 0 不能围成三角形 则c的值 为 解析 由l1 l2 l3的方程可知l1 l2 l3不平行 由Error 解得交点 3 4 代入l3的 方程得c 10 3 已知两条直线l1 ax by c 0 直线l2 mx ny p 0 则an bm是直线l1 l2的 条件 解析 l1 l2 an bm 0 且an bm 0 l1 l2 答案 必要不充分 4 过点P 1 2 作直线l 使直线l与点M 2 3 和点N 4 5 距离相等 则直线l的方程 为 解析 直线l为与MN平行或经过MN的中点的直线 当l与MN平行时 斜率为 4 故 用心 爱心 专心 2 直线方程为y 2 4 x 1 即 4x y 6 0 当l经过MN的中点时 MN的中点为 3 1 直线l的斜率为 故直线方程为y 2 x 1 即 3x 2y 7 0 答案 3 2 3 2 3x 2y 7 0 或 4x y 6 0 5 已知直线l经过点 2 其横截距与纵截距分别为a b a b均为正数 则使 1 2 a b c恒成立的c的取值范围为 解析 设直线方程为 1 1 a b a b x a y b 1 2a 2 b 1 2a 2 b 5 2 b 2a 2a b 9 2 故c 答案 9 2 9 2 6 2010 年苏南四市调研 若函数y ax 8 与y x b的图象关于直线y x对称 则 1 2 a b 解析 直线y ax 8 关于y x对称的直线方程为x ay 8 所以x ay 8 与 y x b为同一直线 故得Error 所以a b 2 答案 2 1 2 7 如图 已知A 4 0 B 0 4 从点P 2 0 射出的光线经直线 AB反射后再射到直线OB上 最后经直线OB反射后又回到P点 则光线所经过的路程是 解析 分别求点P关于直线x y 4 及y轴的对称点 为 P1 4 2 P2 2 0 由物理知识知 光线所经路程即为 P1P2 2 答案 2 1010 8 设a b c 分别是 ABC中 A B C所对边的边长 则直线xsinA ay c 0 与bx ysinB sinC 0 的位置关系是 解析 由bsinA asinB 0 知 两直线垂直 答案 垂直 9 2010 年江苏常州模拟 已知 0 k 4 直线l1 kx 2y 2k 8 0 和直线 l2 2x k2y 4k2 4 0 与两坐标轴围成一个四边形 则使得这个四边形面积最小的k值为 解析 l1 k x 2 2y 8 0 过定点 2 4 l2 k2 y 4 4 2x也过定点 2 4 如图 A 0 4 k B 2k2 2 0 S 2k2 4 4 k 4 2 4k2 k 8 当k 时 S取得最小值 答 1 2 1 2 1 8 案 1 8 10 在 ABC中 BC边上的高所在直线方程为x 2y 1 0 A的平分线所在直线方程为 y 0 若点B坐标为 1 2 求点A和C的坐标 解 由Error 得A 1 0 又B 1 2 kAB 1 x轴是 A的平分线 kAC 1 AC直线方程y x 1 又BC方程为 y 2 2 x 1 由Error 得C 5 6 11 在直线l 3x y 1 0 上求点P和Q 使得 1 P到A 4 1 和B 0 4 的距离之差最大 用心 爱心 专心 3 2 Q到A 4 1 和C 3 4 的距离之和最小 解 1 如图所示 设点B关于l的对称点B 的坐标为 a b 则kBB kl 1 即 3 1 b 4 a a 3b 12 0 又由于线段BB 的中点坐标为 且在直线l上 3 1 0 即 3a b 6 0 a 2 b 4 2 a 2 b 4 2 解 得a 3 b 3 B 3 3 于是AB 的方程为 即 2x y 9 0 y 1 3 1 x 4 3 4 解Error 得Error 即l与AB 的交点坐标为P 2 5 2 如图所示 设C关于l的对称点为C 求出C 的坐 标为 3 5 24 5 AC 所在直线的方程为 19x 17y 93 0 AC 和l交点坐标为 11 7 26 7 故Q点坐标为 11 7 26 7 12 2010 年济南模拟 已知n条直线 l1 x y C1 0 C1 l2 x y C2 0 l3 x y C3 0 ln x y Cn 0 其中 2 C1 C2 C3 Cn 在这n条平行直线中 每相邻两条直线之间的距离顺次为 2 3 4 n 1 求Cn 2 求x y Cn 0 与x轴 y轴围成图形的面积 3 求x y Cn 1 0 与x y Cn 0 及x轴 y轴围成的图形的面积 解 1 原点O到l1的距离d1为 1 原点O到l2的距离d2为 1 2 原点O到ln的 距离dn为 1 2 n Cn dn Cn n n 1 22 2n n 1 2 2