小波分析小结

小波分析的形成 小波分析是一门数学分支 是继 Fourier 变换之后新的时频域分析工具 小波理论的形 成经历了三个发展阶段 Fourier 变换阶段 Fourier 变换是将信号在整个时间轴上进行积分 它将信号的时域特征和频域特征联系 起来 分别进行分析 设信号 其 Fourier 变换为 f t i t Ff t edt 确定了在整个时间域上的频谱特性 但 Fourier 变换不能对信号从时域和频 F f t 域结合起来分析 它是一种全局变换 在时间域上没有任何分辨率 例 其 Fourier 变换对应图如下 1 22 f tt 短时 Fourier 变换阶段 短时 Fourier 变换即加窗 Fourier 变换 其思想是把信号分成许多小的时间间隔 用 Fourier 分析每个时间间隔 以确定该间隔存在的频率 达到时频局部化目的 其表达式为 j tj t f R Gf tg tef t g tedt 式中 为时限函数 即窗口函数 起频限作用 大致反映了在 g t j t e f G f t 时 频率为的信号成分含量 由上式 短时 Fourier 变换能实现一定程度上的时频局部化 但窗口函数确定时 窗口 大小和形状固定 所得时频分辨率单一 小波分析阶段 为了克服上述缺点 小波变换应运而生 小波变换在研究信号的低频成分时 其窗函数在时间窗长度上增加 即在频率宽上减小 在研究信号的高频成分时 其窗函数在时间窗长度上减小 而在频率宽上增加 对信号可以进行概貌和细 节上的分析 小波的定义 设 为能量有限的空间信号 其 Fourier 变换为 若满 2 tL R A 足容许条件 A 2 d 则称为母小波 由容许条件可得 说明具有波 t A 0 0t dt t 动性 在有限区间外恒为 0 或快速趋近于 0 以 Marr 小波为例 如下图 2 2 2 1 1 2 t tte 将母小波进行伸缩平移所得小波系列称为子小波 定义式如下 1 0 b a tb ta aa 其中 a 为伸缩因子 b 为平移因子 a 以 Marr 小波为例 分别取伸缩平移因子 a b 为 0 5 1 2 4 1 0 1 对应图形如下 Daubichies 小波 常见的小波有 Daubechies Symlets Morlet Mexican Hat Meyer 小波等 其 对应的图形及性质如下 Daubechies 小波是正交小波 没有解析表达式 除 Haar 小波外 其简写 形式为 dbN N 表示阶数 支集区间为 0 2N 1 Symlets 小波与 db 小波的差别是 sym 小波有更好的对称性 Morlet 小波不具备正交性 不存在紧支集 不能做离散小波变换 没有解析尺度函数 其小波函数为 2 2 cos 5 x xex Mexican Hat 小波不具有正交性 不存在尺度函数 是高斯函数的二阶导数 小波函数 为 2 1 4 2 2 3 x xe Meyer 小波为在频域定义的具有解析形式的正交小波 不存在紧支集 但其频谱有限 具有对称性 小波函数的特点 正交性 小波函数与自身内积为 1 而与其伸缩平移后的小波系列内积为 0 正交小波 的优点是小波变换可将信号分解到无重叠的子频带上 并且可以进行高效的离散小波变换 对称性 不具有对称性的小波函数所重构的信号会有相位失真 紧支性 具有紧支性的小波其小波函数仅在有限区间内是非零的 其局部化能力强 小波变换复杂度低 正则性 用于刻画小波函数的光滑程度 正则性越高 函数越光滑 消失矩 用于衡量小波逼近光滑函数时的能力 消失矩越大 压缩比越大 尺度函数 若函数 其整数平移系列满足 2 tL R k ttk kkkk tt 则称为尺度函数 t 对尺度函数进行平移和伸缩 可得一个尺度和位移均可变的函数集合 t 2 2 2 2 jjj j kk ttkt 称每一个固定尺度上的平移系列所张成的空间为尺度的尺度空间 j 2 j k t j Vj 2 j jk VspantkZ 正交多分辨分析 Hilbert 空间中 若一列闭子空间满足如下 2 L R jj z V 性质 嵌套性 1 jj VVjz 逼近性 2 0 jj j zj z VVL R 伸缩性 1 2 jj f tVftV 平移不变性 jj f tVf tkVjZ 正交性 Riesz 基 存在 使得是的标准正交基 0 tV tk kz 0 V 滤波器 在二尺度方程中 对系数系列和作 kk z h 1 1 k kk ghkz Fourier 变换得和 其中 称 H G 1 2 ik k k z Hh e 1 2 ik k k z Gg e 和分别为低通滤波器和高通滤波器 称和分别为低通 H G kk z h kk z g 滤波器系数和高通滤波器系数 小波变换 连续小波变换 设为一母小波 称 2 f tL R 1 2 a b tb W fa bfaf tdt a 为的连续小波变换 f 离散小波变换 离散小波 通过离散化连续小波变换中的平移因子 b 和尺度因子 a 得到 通 常取 000 mm aabnb am nZ 离散小波变换 2 000 m m a b W fa bfaf tatnb dt 若取 可以得到二进小波 00 2 1ab 2 2 2 mm m n ttn m nZ 信号的离散小波变换并不是直接由尺度函数和对应的小波与信号内积来实现 t t 而是利用滤波器组和来实现 用矩阵形式表述如下 h n g n 1 1 1 0 0 0 1 000 1 1 00 0 1 0 1 0000 0 1 1 2 j j j j j j c chhh k c chhh k n cnh khh c 1 1 1 0 0 0 1 000 1 1 00 0 1 0 1 0000 0 1 1 2 j j j j j j d cggg k d cggg k n cng kgg d 其中 设滤波器长度为 k 并且两滤波器系数间有如下关系 1 1 k kk ghkz 2 2 k k z h 2 k k z h 221 1 kk k zk z hh 20 2 knkn k z hhnz 以 db5 小波为例 其低通滤波器系数如下 这里取二尺度方程为 所得的系数 2 2 k k z thtk h 0 0 160102397974 h 1 0 603829269797 h 2 0 724308528438 h 3 0 138428145901 h 4 0 242294887066 h 5 0 032244869585 h 6 0 077571493840 h 7 0 006241490213 h 8 0 012580751999 h 9 0 003335725285 变换所得系数和分别为离散小波变换的不同尺度下的低频和高频系数 j c j d 小波逆变换即信号的重建运算 重构是从尺度最低的近似系数和细节系数开始 j c j d 通过低频和高频重构滤波器恢复出上一尺度的近